泛函分析考试试卷自制试卷

B、(A*)*=A**
D、(aA)*= a
A*
x?X有
泛函分析考试试卷
、选择题。

1、下列说法不正确的是( )
A、n维欧式空间R n是可分空间
B、全体有理数集为 R n的可数稠密子集
C、 I a是不可分空间
D、若X为不可数集则离散度量空间 X是可分的
答案：D
2、设T是度量空间(X,d )到度量空间(Y , d~)的映射，那么T在x°?x连续的充要条件是()
A、当xm x o (n fg)时，必有 Tx n i Tx o (n^m)
B、当 X n f x o (n ig)时，必有T X O T Tx n (n^m)
C、当 X O T x n (n fg)时，必有 Tx n i Tx o (n^m)
D、当 X n f x o (n^O)时，必有 Tx n f Tx o (n0)
答案：D
3、在度量空间中有()
A、柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列
B、柯西点列一定收敛，而且每一个收敛点列是柯西点列
C、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列
D、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列
答案：C
4、关于巴拿赫空间叙述不正确的是( )
A、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间
B、L p[a, b] (p》)是巴拿赫空间
C、空间l p是巴拿赫空间
D、赋范线性空间的共轭空间不是巴拿赫空间
答案：D
5、下列对共轭算子性质描述错误的是( )
A、(A+B)*=A*+B*;
C、当 X=Y 时,(AB)*=B*A*
答案：B
、填空题
1、度量空间X到Y中的映射T是X上的连续映射的充要条件为Y中的任意开集 M为
__________________ O
答案：原像T-1M是X中的开集
2、设T是赋范线性空间X到赋范线性空间 Y中的线性算子，则T为有界算子的充要条件是T是X上的。

答案：连续算子。

3、若T为复内积空间X上有界线性算子，那么T=0的充要条件是对一切
答案：(Tx , x) =0
4、有界线性算子T的共轭算子T x也是有界线性算子，并且
答案：=
5、设｛f n｝是巴拿赫空间 X上的一列泛函，如果｛f n｝在X的每点x处有界，那么｛f n｝_______ 。

答案：一致有界
三、判断题
1、自伴算子一定为正常算子，正常算子不一定是自伴算子。

()V
2、设T i和T2是希尔伯特空间 X上两个自伴算子，则T I*T2自伴的充要条件是T I*T2=T2*T I。

()V
3、强收敛必定弱收敛，弱收敛必定强收敛。

()x
4、设X和Y都是巴拿赫空间，如果 T是从X到Y上的一对一有界线性算子，则T的逆算子T-1不是有界线性算子。

()X
5、无界算子不是闭算子。

()X 四、证明题
1.设X是赋范线性空间，f是X上连续线性泛函，证明f的零空间N ( f )是X中闭子空间
证明：对任何 x, y N ( f ),及任何 , f ( x y) f (x) f (y) 0
所以 x y N ( f ).所以N (f)是线性空间.又设x n N ( f ),且x n x X,由f连续 f (x) lim n f (x n)
0 所以 x N ( f ).所以 N ( f )是闭集.
2•设X是赋范空间，A, B B (X X)是X上正则算子，证明T A B是X上正则算子.
证 A, B是正则算子，所以A 1, B 1存在，且A 1, B 1 B (X X)
令 S B 1 A 1 B (X X),贝U S T B 1 A 1 A B I, A B B 1 A 1 I 所以S T1,所以T是正则算子.
3.设H是实内积空间，A是H上自伴算子，证明A 0的充分必要条件是对所有x
H, A x, x 0.
证明必要性：A x, x 0, x 0, x H.
充分性：对任意x, y H
0 A (x y), x y
A x, x A x, y A y, x A y, y
A x, y A y, x
由T是自伴算子 A y, x y, A x A x, y ,
所以 2 A x, y 0 x, y H
所以 A x 0 x H
所以 A 0.
4、.证明：l p(1 P )是可分空间。

解：考虑集合 B {(SB，，
G ,0, )"Q，n 1}，即B是由至多有限个坐标不为0
且坐标都是有理数的元素构成。

因此, B是可数集。

|X j | p)
对于x (X i) l p，有i 1所以0, N 0 ,当当n N时，|X i |p) (二)p
i n 1 2，有有理数的稠密性, 可取得「1,「2, ,r n
i 1
p \ 1 X r| ) (-)p
使得i 1 2
令y (「1 ,「2, ,「n ,0,
)B l 。

且
II X yII ( I X i y i
1 p J / p
I )
n
(I X i
1 p
1 1 P\
r i
I
I x i
I )
i 1
i 1
i n 1
n
( I X i 「i I p )1/p
(I X i
I p )1/p
p 1 / p
(2H)p
) p
i 1
i n 1
2
即B 在lP(1 p )中稠密。

依定义知lP(1 p
)是可分的。

5、设 H 是内积空间，X n ,X,y n ,y H ，则当 X n X , y
n
y
时 J X
n ,y n )
(x
, y
),
即内积关于两变元连续。

解：H 是内积空间，设11 11
是由其内积导出的范数，由于
X n
x
，y n
y
，
所以 0，n 。

使得当n n
时均有11
X n X||和||
y n
y|
|
同时由于
y n y
，故知y n
有界，X H 所以
||X| 1
有限。

因此可取
M
sup(||x ||,|| y n ||)
1 n
因此 |(X n , y n ) (X,y) | | (X n ,y n ) (X , y n ) (X , y n ) (X, y) |
I (X n , y n ) (x,y n ) | |(x 」n ) (x,y)||(X n x, y .) | | (x, y . y)|
I|X n X||
II y n II
||x||||y n
y || | M | X n x || M || y . y|| 2M
J
im{ (x n
,y n
) (x,y
)} 0
”(x y)
(x y)
故 n
，即
(x n
, y n
)
(X, y)
五、计算题
p
1、在实数轴R 上，令d (x,y )
Ix yI
，当p 为何值时，R 是度量空间，p 为何值时，R
是赋范空间。

解：若R 是度量空间，所以x,y
,z R ，必须有：d(x,z) d(x,y
) d(y,z)成立 即 I x Z|p Ix
y I p
I y z|p ，取 x 1,y 0, z
1，
有2p
1p
1p
2，所以，
p 1
若R 是赋范空间，d
(x,0)
"XU Ix
〔
p
，所以x,k R
， 必须有：IIkxII IkI IIxII 成立，
即 IkxI p IkIIxI p ，p 1， 当
p 1
时，若R 是度量空间，
p 1
时，若R 是赋范空间。