学生在几何证明题中常见错误分析-

学生在几何证明题中常见错误分析

作几何证明题时为了保证证题的正确性，除了要准确运用几何概念、公理、定理作为依据，还必须遵守同一律、矛盾律、排中律和充足理由律等逻辑思维的基本规律。 在几何教学的过程中，会常常看到学生有一些似是而非的证法，这个时候教师如果了解学生产生这些错误的原因，及时给予纠正或作为典型例题给予讲解，就能使学生在今后的学习中尽量防止或减少这些错误的出现。总的来说学生所出现的错误可以归结为偷换概念、虚假理由、偷换命题、循环论证等。下面我将列举一些有代表性的、常见的错例进行剖析，并指出正确的证法。

1.偷换概念

在命题的证明过程中，把不属于某一概念外延的事物误认为属于这一概念，从而误认为该事物具有此概念的某些属性，得出错误的证明，这就是犯了偷换概念的错误，也违反了同一律。这种错误在学生的证明经常出现。

例1已知：如图（1）AB//CD,MG 、HN 分别为∠EGA 、∠EHC 的平分线， 求证：GM//HN

错证：Θ AB//CD ∴∠EGA =∠EHC

又Θ MG 、HN 分别为∠EGA 、∠EHC 的平分线， ∴∠MGA =∠ NHC

∴ GM//HN(同位角相等两直线平行)

分析：上述证法把∠MGA 、∠ NHC 当成GM 、NH 被EF 所截得的同位角而得出结论，显然是犯了偷换概念的错误。

正证：把上面证法中“∠MGA =∠ NHC ”换成“∠MGE =∠ NHE ”即可。

例2已知：如图（2）梯形ABCD 中，AD//BC, 两对角线交于O ，过O 作EF//BC ，分别交AB 、CD 于E 、F ， 求证：OE=OF

G H

A B N C D

M E

G

H

F 图（１）

错证：Θ EF//BC//AD

∴∆AOE ～∆ACB ∆DOF ～∆DBC

EB AE BC OE =∴ FC DF BC OF = 而FC DF

EB AE =∴ BC

OF BC OE =∴ 即OE=OF.

分析：事实上，是相似的对应边，而不是这两个三角形的对应边，所以。以上错证把当作是相似三角形的对应边，也犯了偷换概念的错误。要防止这种常见的错误就要求教师要将相似三角形的对应的概念、平行线分线段成比例的概念讲清楚，并通过练习帮助学生理解、掌握概念。

正证：Θ EF//BC//AD

∴∆AOE ～∆ACB ∆DOF ～∆DBC

AB AE BC OE =∴

,DC DF

BC OF = 而DC

DF

AB AE =∴

BC

OF

BC OE =∴

即OE=OF 2.虚假理由

A D

E O F

B C 图（２）

有些学生在几何学习中对有关的概念、定理没有真正的理解掌握或者只是一知半解，因此常常任意的推广引申定理得出有利于论题成立的假判断作为论证的根据而造成的错误，可以归结为犯了虚假理由的错误，违反了逻辑上的充足理由律。

例3已知：如图（3）∆ABC 中，AB=AC,AD 为∠A 的平分线, DE ⊥AB,DF ⊥AC 垂足分别为E 、F.求证： AD 为EF 的中垂线.

错证：ΘAD 为∠A 的平分线, DE ⊥AB,DF ⊥AC

∴ DE=DF （角平分线上的点到角两边的距离相等）

∴ AD 为EF 的中垂线

（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上） 分析：以上证法表面上看干脆利落，但是由DE=DF 只可能推出为EF 的中垂线上的点，而点D 的直线有无数条如图（３.1）故不能说明AD 为EF 的中垂线，犯了虚假理由的错误。

正证：ΘAD 为∠A 的平分线, DE ⊥AB,DF ⊥AC ∴DE=DF （角平分线上的点到角两边的距离相等） ∴Rt ∆AED ≅Rt ∆AFD(HL) ∴AE=AF

又Θ∆AEF 中AD 为∠A 的平分线 ∴ AD 为EF 的中垂线（三线合一）

例４如图（４）两个不等的圆交于点P 、Q ，AB 与CD 为两条外公切线

图（３）

求证：AC//PQ//BD

错证：延长PQ 与AB 交于E,与CD 交于F

由切割线定理

EB

EA EB EQ EP EA =∴=•=22 同理FC=FD

∴ 有

FD

CF

EB AE = ∴

AC//EF//BD （平行线分线段成比例定理逆定理）

即AC//PQ//BD

分析：上述证法错在最后一步，众所周知，原命题成立，其逆命题不一定成立平行线分线段成比例定理逆定理恰好不成立。所以这一证法是犯了虚假理由的错误。

正证：Θ两圆不等 ∴两外公切线必交于一点 G （如图4.1）由切线长定理 GB=GD GA=GC GC

GD

DA GB =∴

∠BGD=∠AGC

∴∆ BGD ～∆ AGC ∠GBD=∠GAC ∴AC//BD

四边形ABDC 是梯形

延长PQ 与AB 交于E,与CD 交于F ，则由圆幂定理 EB

EA EB EQ EP EA =∴=•=22

同理 FC=FD

∴EF 是梯形ABDC 的中位线

∴ AC//EF//BD 即AC//PQ//BD

3.偷换命题

偷换命题是指证明时证明者偷偷加入某些条件，由特例代替一般情形来加以证明。这种错误也叫做以特殊代一般，它违反了同一律。

例5已知： P 是∆ABC 内任意一点 求证：PA+PB+PC

图图5.1图