石家庄市一中实验学校数学几何模型压轴题单元测试卷 (word版,含解析)

石家庄市一中实验学校数学几何模型压轴题单元测试卷（word

版，含解析）

一、初三数学旋转易错题压轴题（难）

1．如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G 为FC的中点，连接GD，ED．

（1）如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．

（2）将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由．

（3）若AB＝5，AE＝1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．

【答案】（1）DE＝2DG；（2）成立，理由见解析；（3）DE的长为42或32．【解析】

【分析】

（1）根据题意结论：DE=2DG，如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM，证明△CMG≌△FEG（AAS），推出EF=CM，GM=GE，再证明△DCM≌△DAE （SAS）即可解决问题；

（2）如图2中，结论成立．连接EG，延长EG到M，使得GM=GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R，其证明方法类似；

（3）由题意分两种情形：①如图3-1中，当E，F，C共线时．②如图3-3中，当E，F，C 共线时，分别求解即可．

【详解】

解：（1）结论：DE＝2DG．

理由：如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°，

∵∠AEF＝∠B＝90°，

∴EF∥CM，

∴∠CMG＝∠FEG，

∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF，

∴△CMG≌△FEG（AAS），

∴EF＝CM，GM＝GE，

∵AE＝EF，

∴AE＝CM，

∴△DCM≌△DAE（SAS），

∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，

∴∠EDM＝∠ADC＝90°，

∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM，

∴△EGD是等腰直角三角形，

∴DE＝2DG．

（2）如图2中，结论成立．

理由：连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．

∵EG＝GM，FG＝GC，∠EGF＝∠CGM，

∴△CGM≌△FGE（SAS），

∴CM＝EF，∠CMG＝∠GEF，

∴CM∥ER，

∴∠DCM＝∠ERC，

∵∠AER+∠ADR＝180°，

∴∠EAD+∠ERD＝180°，

∵∠ERD+∠ERC＝180°，

∴∠DCM＝∠EAD，

∵AE＝EF，

∴AE＝CM，

∴△DAE≌△DCM（SAS），

∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，

∴∠EDM＝∠ADC＝90°，

∵EG＝GM，

∴DG＝EG＝GM，

∴△EDG 是等腰直角三角形， ∴DE ＝2DG ．

（3）①如图3﹣1中，当E ，F ，C 共线时，

在Rt △ADC 中，AC ＝22AD CD +＝2255+＝52，

在Rt △AEC 中，EC ＝22A AE C -＝22(52)1-＝7，

∴CF ＝CE ﹣EF ＝6，

∴CG ＝

12

CF ＝3， ∵∠DGC ＝90°， ∴DG ＝22CD CG -＝2253-＝4，

∴DE ＝2DG ＝42．

②如图3﹣3中，当E ，F ，C 共线时，同法可得DE ＝32．

综上所述，DE 的长为2或2．

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

2．已知抛物线y=ax 2+bx-3a-5经过点A(2，5)

（1）求出a 和b 之间的数量关系．

（2）已知抛物线的顶点为D 点，直线AD 与y 轴交于(0，-7)

①求出此时抛物线的解析式；

②点B 为y 轴上任意一点且在直线y=5和直线y=-13之间，连接BD 绕点B 逆时针旋转90°，得到线段BC ，连接AB 、AC ，将AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BH ．截取BC 的中点F 和DH 的中点G ．当点D 、点H 、点C 三点共线时，分别求出点F 和点G 的坐标．

【答案】（1）a+2b=10；（2）①y= 2x 2+4x-11，②G 1，)，

F 1(，，

G 2，F 2，) 【解析】

【分析】

（1）把点A 坐标代入抛物线y=ax 2+bx-3a-5即可得到a 和b 之间的数量关系；

（2）①求出直线AD 的解析式，与抛物线y=ax 2+bx-3a-5联立方程组，根据直线与抛物线有两个交点，结合韦达定理求出a ，b ，即可求出解析式；

②作AI ⊥y 轴于点I ，HJ ⊥y 轴于点J.设B （0，t ），根据旋转性质表示粗H 、D 、C 坐标，应含t 式子表示直线AD 的解析式，根据D 、H 、C 三点共线，把点C 坐标代入求出

1t =，2t =，分两类讨论，分别求出G 、F 坐标。 【详解】

解：（1）把A （2,5）代入y=ax 2+bx-3a-5得4a+2b-3a-5=5

∴a+2b=10

∴a 和b 之间的数量关系是a+2b=10

（2）①设直线AD 的解析式为y=kx+c

∵直线AD 与y 轴交于（0，-7），A （2,5）

∴2k c 5{c -7+==解得k 6{c -7

==即直线AD 的解析式为y=6x-7 联立抛物线y=ax 2+bx-3a-5与直线AD ：y=6x-7 得2y ax +bx-3a-5{y 6x-7

== 消去y 得ax 2+（b-6）x-3a+2=0

∵抛物线与直线AD 有两个交点

∴由韦达定理可得：x A +x D =b-6-

a =2a 2a +，x A x D =-3a 2a + ∵A （2,5）∴x A =2即x D =

2a -22a +∵x D =b -2a =a-104a ∴2a -22a +=a-104a 解得a=2∴b=10-a 2

= 4 ∴此时抛物线的解析式为y= 2x 2+4x-11