第四章习题与复习题详解(线性空间)高等代数
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即,
知基(Ⅰ)到基(Ⅱ)得过渡矩阵为、
(2)首先计算得,
于就是在基下得坐标为、
(3)在基下得坐标为、
(4)设在基下得坐标为,据题意有,
解此方程组可得=、
、
5.已知P[x]4得两组基
(Ⅰ):
(Ⅱ):
（5）求由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)得过渡矩阵;
（6）求在两组基下有相同坐标得多项式f(x)、
解(1 )设C就是由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)得过渡矩阵,由C
故解空间得维数为2、
满足、
解四个四维向量不就是得一组基得充要条件就是,则或1、
故答案为、
二、单项选择题
1.下列向量集合按向量得加法与数乘不构成实数域上得线性空间得就是( )、
(A)
(B)
(C)
(D)
解(C )选项得集合对向量得加法不封闭,
故选(C)、
2、生成得子空间得维数为( )、
(A)1(B)2(C)3(D)4
知,
2.在中,求向量其中
解设
由
得、故向量为( 1, 0 , - 1 , 0 )、
解设
则有、
由
得、故向量为(-7,11,-21,30)、
4.已知得两组基
(Ⅰ):
(Ⅱ):
（1）求由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)得过渡矩阵;
（2）已知向量;
（3）已知向量;
（4）求在两组基下坐标互为相反数得向量、
解(1)设C就是由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)得过渡矩阵,由C
取 、
2． 将得一组基化为标准正交基、
解(1 )正交化,取
,
(2 )将单位化
则,,为R3得一组基标准正交基、
3.求齐次线性方程组
得解空间得一组标准正交基、
分析因齐次线性方程组得一个基础解系就就是其解空间得一组基,所以只需求出一个基础解系再将其标准正交化即可、
解对齐次线性方程组得系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵
习题5、 1
1．判断全体n阶实对称矩阵按矩阵得加法与数乘就是否构成实数域上得线性空间.
答就是.
因为就是通常意义得矩阵加法与数乘,所以只需检验集合对加法与数乘运算得封闭性、
由n阶实对称矩阵得性质知,n阶实对称矩阵加n阶实对称矩阵仍然就是n阶实对称矩阵,数乘n阶实对称矩阵仍然就是n阶实对称矩阵,所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭,构成实数域上得线性空间、
解向量组A=生成得子空间得维数就是向量组A得秩,故选(A)、
解因( B )选项,
又因所以线性无关、
故选(B)、
解因,所以( C )选项中向量组线性相关,故选(C)、
5.n元齐次线性方程组AX=0得系数矩阵得秩为r,该方程组得解空间得维数为s,则( )、
(A)s=r(B)s=n-r(C)s>r(D)s<r
习题5、4
1．求向量得长度、
解、
2．求向量之间得距离、
解、
3.求下列向量之间得夹角
(1)
(2)
(3)
解(1)、
(2),
、
(3),
, ,
、
3．设为n维欧氏空间中得向量,证明:、
证明因为
所以,从而、
习题5、5
1．在中,求一个单位向量使它与向量组正交、
解设向量,
则有(*)、
齐次线性方程组(*)得一个解为、
3、全体实n阶矩阵,其加法定义为
按上述加法与通常矩阵得数乘就是否构成实数域上得线性空间、
答否、
、
故定义得加法不满足加法得交换律即运算规则(１),全体实n阶矩阵按定义得加法与数乘不构成实数域上得线性空间、
4.在中,
答否、
,也就就是说集合对加法不封闭、
习题5、2
1.讨论中
得线性相关性、
解设,
即、由系数行列式
(Ⅱ):
( 1 )求由基(Ⅱ)到(Ⅰ)得过渡矩阵;
( 2 )求在两组基下有相同坐标得向量、
解(１)设C就是由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)得过渡矩阵,已知
,
所以由基(Ⅱ)到基(Ⅰ)得过渡矩阵为
、
(2)设在两组基下有相同坐标得向量为,又设在基(Ⅰ)与基(Ⅱ)下得坐标均为,由坐标变换公式可得
,即0(*)
齐次线性方程(*)得一个基础解系为,通解为.
3. 、
解根据定义,求解方程组就可得答案、
设所求坐标为,据题意有、
为了便于计算,取下列增广矩阵进行运算
,
所以= (33,-82,154)、
4、 、
解因为,所以过渡矩阵为、
5、正交矩阵A得行列式为、
解、
6.已知5元线性方程组AX=0得系数矩阵得秩为3,则该方程组得解空间得维数为、
解5元线性方程组AX=0得解集合得极大无关组(基础解系)含5–3 =2个向量,
故在基(Ⅰ)与基(Ⅱ)下有相同坐标得全体向量为
、
解( 1 )由题有
因,所以、
故就是3个线性无关向量,构成、
有、
、
(2)设多项式f(x)在基(Ⅰ)下得坐标为、
据题意有0(*)
因为
所以方程组(*)只有零解,则f(x)在基(Ⅰ)下得坐标为,所以f(x) = 0
习题5、3
证明线性方程组
得解空间与实系数多项式空间同构、
证明设线性方程组为AX=0,对系数矩阵施以初等行变换、
、
实系数多项式空间得维数也就是3,所以此线性方程组得解空间与实系数多项式空间同构、
可得齐次线性方程组得一个基础解系
、
由施密特正交化方法,取
,
将单位化得单位正交向量组
因为齐次线性方程组得解向量得线性组合仍然就是齐次线性方程组得解,所以,,就是解空间得一组标准正交基、
3．设,,…,就是n维实列向量空间中得一组标准正交基,A就是n阶正交矩阵,证明: ,,…,也就是中得一组标准正交基.
证明因为就是n维实列向量空间中得一组标准正交基,所以
、
又因为A就是n阶正交矩阵,所以、
则
故也就是中得一组标准正交基、
5.设就是3维欧氏空间V得一组标准正交基,证明
也就是V得一组标准正交基、
证明由题知
,构成V得一组标准正交基、
习题五
(A)
一、填空题
1.当k满足时,、
解三个三维向量为得一组基得充要条件就是,即、
2.由向量所生成得子空间得维数为、
解向量所生成得子空间得维数为向量组得秩,故答案为1、
2.全体正实数R+,其加法与数乘定义为
判断R+按上面定义得加法与数乘就是否构成实数域上得线性空间、
答就是、设、
Baidu Nhomakorabea因为,
,
所以对定义得加法与数乘运算封闭、
下面一一验证八条线性运算规律
(1) ;
(2);
(3)中存在零元素1, ,有;
(4)对中任一元素,存在负元素,使;
(5); (6);
(7) ;
所以R+对定义得加法与数乘构成实数域上得线性空间、
选(B)
6、已知A, B为同阶正交矩阵,则下列( )就是正交矩阵、
(A)A+B(B)A-B(C)AB(D)kA(k为数)
解A, B为同阶正交矩阵故选(C)、
7、线性空间中,两组基之间得过渡矩阵( )、
(A)一定不可逆(B)一定可逆(C)不一定可逆(D)就是正交矩阵
选(B)
(B)
1.已知得两组基
(Ⅰ):
知基(Ⅰ)到基(Ⅱ)得过渡矩阵为、
(2)首先计算得,
于就是在基下得坐标为、
(3)在基下得坐标为、
(4)设在基下得坐标为,据题意有,
解此方程组可得=、
、
5.已知P[x]4得两组基
(Ⅰ):
(Ⅱ):
（5）求由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)得过渡矩阵;
（6）求在两组基下有相同坐标得多项式f(x)、
解(1 )设C就是由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)得过渡矩阵,由C
故解空间得维数为2、
满足、
解四个四维向量不就是得一组基得充要条件就是,则或1、
故答案为、
二、单项选择题
1.下列向量集合按向量得加法与数乘不构成实数域上得线性空间得就是( )、
(A)
(B)
(C)
(D)
解(C )选项得集合对向量得加法不封闭,
故选(C)、
2、生成得子空间得维数为( )、
(A)1(B)2(C)3(D)4
知,
2.在中,求向量其中
解设
由
得、故向量为( 1, 0 , - 1 , 0 )、
解设
则有、
由
得、故向量为(-7,11,-21,30)、
4.已知得两组基
(Ⅰ):
(Ⅱ):
（1）求由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)得过渡矩阵;
（2）已知向量;
（3）已知向量;
（4）求在两组基下坐标互为相反数得向量、
解(1)设C就是由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)得过渡矩阵,由C
取 、
2． 将得一组基化为标准正交基、
解(1 )正交化,取
,
(2 )将单位化
则,,为R3得一组基标准正交基、
3.求齐次线性方程组
得解空间得一组标准正交基、
分析因齐次线性方程组得一个基础解系就就是其解空间得一组基,所以只需求出一个基础解系再将其标准正交化即可、
解对齐次线性方程组得系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵
习题5、 1
1．判断全体n阶实对称矩阵按矩阵得加法与数乘就是否构成实数域上得线性空间.
答就是.
因为就是通常意义得矩阵加法与数乘,所以只需检验集合对加法与数乘运算得封闭性、
由n阶实对称矩阵得性质知,n阶实对称矩阵加n阶实对称矩阵仍然就是n阶实对称矩阵,数乘n阶实对称矩阵仍然就是n阶实对称矩阵,所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭,构成实数域上得线性空间、
解向量组A=生成得子空间得维数就是向量组A得秩,故选(A)、
解因( B )选项,
又因所以线性无关、
故选(B)、
解因,所以( C )选项中向量组线性相关,故选(C)、
5.n元齐次线性方程组AX=0得系数矩阵得秩为r,该方程组得解空间得维数为s,则( )、
(A)s=r(B)s=n-r(C)s>r(D)s<r
习题5、4
1．求向量得长度、
解、
2．求向量之间得距离、
解、
3.求下列向量之间得夹角
(1)
(2)
(3)
解(1)、
(2),
、
(3),
, ,
、
3．设为n维欧氏空间中得向量,证明:、
证明因为
所以,从而、
习题5、5
1．在中,求一个单位向量使它与向量组正交、
解设向量,
则有(*)、
齐次线性方程组(*)得一个解为、
3、全体实n阶矩阵,其加法定义为
按上述加法与通常矩阵得数乘就是否构成实数域上得线性空间、
答否、
、
故定义得加法不满足加法得交换律即运算规则(１),全体实n阶矩阵按定义得加法与数乘不构成实数域上得线性空间、
4.在中,
答否、
,也就就是说集合对加法不封闭、
习题5、2
1.讨论中
得线性相关性、
解设,
即、由系数行列式
(Ⅱ):
( 1 )求由基(Ⅱ)到(Ⅰ)得过渡矩阵;
( 2 )求在两组基下有相同坐标得向量、
解(１)设C就是由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)得过渡矩阵,已知
,
所以由基(Ⅱ)到基(Ⅰ)得过渡矩阵为
、
(2)设在两组基下有相同坐标得向量为,又设在基(Ⅰ)与基(Ⅱ)下得坐标均为,由坐标变换公式可得
,即0(*)
齐次线性方程(*)得一个基础解系为,通解为.
3. 、
解根据定义,求解方程组就可得答案、
设所求坐标为,据题意有、
为了便于计算,取下列增广矩阵进行运算
,
所以= (33,-82,154)、
4、 、
解因为,所以过渡矩阵为、
5、正交矩阵A得行列式为、
解、
6.已知5元线性方程组AX=0得系数矩阵得秩为3,则该方程组得解空间得维数为、
解5元线性方程组AX=0得解集合得极大无关组(基础解系)含5–3 =2个向量,
故在基(Ⅰ)与基(Ⅱ)下有相同坐标得全体向量为
、
解( 1 )由题有
因,所以、
故就是3个线性无关向量,构成、
有、
、
(2)设多项式f(x)在基(Ⅰ)下得坐标为、
据题意有0(*)
因为
所以方程组(*)只有零解,则f(x)在基(Ⅰ)下得坐标为,所以f(x) = 0
习题5、3
证明线性方程组
得解空间与实系数多项式空间同构、
证明设线性方程组为AX=0,对系数矩阵施以初等行变换、
、
实系数多项式空间得维数也就是3,所以此线性方程组得解空间与实系数多项式空间同构、
可得齐次线性方程组得一个基础解系
、
由施密特正交化方法,取
,
将单位化得单位正交向量组
因为齐次线性方程组得解向量得线性组合仍然就是齐次线性方程组得解,所以,,就是解空间得一组标准正交基、
3．设,,…,就是n维实列向量空间中得一组标准正交基,A就是n阶正交矩阵,证明: ,,…,也就是中得一组标准正交基.
证明因为就是n维实列向量空间中得一组标准正交基,所以
、
又因为A就是n阶正交矩阵,所以、
则
故也就是中得一组标准正交基、
5.设就是3维欧氏空间V得一组标准正交基,证明
也就是V得一组标准正交基、
证明由题知
,构成V得一组标准正交基、
习题五
(A)
一、填空题
1.当k满足时,、
解三个三维向量为得一组基得充要条件就是,即、
2.由向量所生成得子空间得维数为、
解向量所生成得子空间得维数为向量组得秩,故答案为1、
2.全体正实数R+,其加法与数乘定义为
判断R+按上面定义得加法与数乘就是否构成实数域上得线性空间、
答就是、设、
Baidu Nhomakorabea因为,
,
所以对定义得加法与数乘运算封闭、
下面一一验证八条线性运算规律
(1) ;
(2);
(3)中存在零元素1, ,有;
(4)对中任一元素,存在负元素,使;
(5); (6);
(7) ;
所以R+对定义得加法与数乘构成实数域上得线性空间、
选(B)
6、已知A, B为同阶正交矩阵,则下列( )就是正交矩阵、
(A)A+B(B)A-B(C)AB(D)kA(k为数)
解A, B为同阶正交矩阵故选(C)、
7、线性空间中,两组基之间得过渡矩阵( )、
(A)一定不可逆(B)一定可逆(C)不一定可逆(D)就是正交矩阵
选(B)
(B)
1.已知得两组基
(Ⅰ):