(word完整版)相似三角形六大证明技巧(提高类技巧训练).doc

第 2 讲相似三角形6大证明技巧模块一相似三角形证明方法之反A型与反X型回顾相似三角形的判定方法总结：1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2.三边成比例的两个三角形相似 . （ SSS）3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)4.两角分别相等的两个三角形相似.(AA)5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)模型一：反 A 型：如图，已知△ ABC，∠ ADE =∠C，若连 CD 、BE，进而能证明△ ACD ∽△ ABE (SAS) 试一试写出具体证明过程AEDC B模型二：反X 型：如图，已知角∠BAO=∠CDO ，若连 AD， BC，进而能证明△AOD∽△ BOC.试一试写出具体证明过程BAOD C应用练习：1. 已知△ ABC 中，∠ AEF= ∠ ACB ，求证：（ 1） AE AB AF AC （2）∠ BEO= ∠ CFO ，∠EBO= ∠FCO （ 3）∠ OEF= ∠OBC ，∠ OFE=∠ OCBAEFOB C2.已知在△ABC 中 ,∠ ABC=90°,AB=3,BC=4. 点 Q 是线段 AC 上的一个动点 , 过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB( 如图 1) 或线段 AB 的延长线 ( 如图2) 于点 P.(1)当点 P 在线段 AB 上时 , 求证：△APQ ∽ △ABC ；(2)当△PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长。

模块一相似三角形证明方法之射影定理与类射影模型三：射影定理如图已知△ ABC，∠ ACB =90°， CH ⊥ AB 于 H ，求证：AC 2 AH AB ， BC 2 BH BA ，，HC 2 HA HB ，试一试写出具体证明过程CA HB 模型四：类射影如图，已知 2 BD ABAB AC AD ，求证：，试一试写出具体证明过程BC ACADC B应用练习：1.如图，在△ ABC中， AD⊥ BC于 D， DE⊥ AB 于 E，DF⊥ AC 于 F。

求证：2.如图，在△ABC中，AD BC 于 D ， DE AB 于 E ， DF AC 于 F ，连EF，求证：∠AEF=∠ CAEFBD C模块一相似三角形证明方法之一线三等角模型五：一线三等角如图，已知∠B=∠ C=∠EDF ，则△ BDE ∽△ CFD （ AA ），试一试写出具体证明过程AEAFFE A EBD 图1 C BD 图2C B CD 图3应用练习：1.如图，△ ABC和△ DEF两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠ EDF=90°，△DEF 的顶点 E与△ABC 的斜边 BC 的中点重合．将△ DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q．（1）如图①，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP=AQ时，求证：△BPE≌△ CQE；（2）（2）如图②，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当 BP=a，CQ=9a/2 时，P、Q 两点间的距离（用含 a 的代数式表示）2.△ABC 中， AB=AC ， D 为 BC 的中点，以 D 为顶点作∠ MDN= ∠ B （1）如图（ 1）当射线 DN 经过点 A 时， DM 交 AC 边于点 E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE 相似的三角形．（2）如图（ 2），将∠ MDN 绕点 D 沿逆时针方向旋转， DM ，DN 分别交线段 AC ，AB 于 E，F 点（点 E 与点 A 不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．（3）在图（ 2）中，若 AB=AC=10 ，BC=12 ，当△DEF 的面积等于△ABC 的面积的时，求线段 EF 的长．3. 如图，点在线段上，点、在同侧，，，。

（ 1）求证：。

（ 2）若，，点为线段上的动点，连接，作，交直线于点。

①当点与、两点不重合时，求的值。

②当点从点运动到的中点时，求线段的中点所经过的路径（线段）长。

（直接写出结果，不必写出解答过程）通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（ A 型，X 型，线束型），也离不开上述的 6 种“相似模型” . 但是“模型” 只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题 . 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。

在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧.技巧一：三点定型法技巧二：等线段代换技巧三：等比代换技巧四：等积代换技巧五：证等量先证等比技巧六：几何计算技巧一：三点定型横向与纵向观察所证线段比列式（如果是等积式，则将其化为等比式）的分子分母，三个字母即可确定三角形，从而证三角形相似即可。

1.如图，在 Rt△ ABC 中， AD 是斜边 BC 上的高，ABC 的平分线BE交AC于E，交 AD 于BF AB ．F ．求证：BE BCAEFB D C2.如图，平行四边形ABCD 中，E是AB延长线上的一点，．DE 交 BC 于F，求证：DC CFAE AD D CFA B E3.如图，△ ABC 中，BAC 90 ，M为 BC 的中点， DM BC 交 CA 的延长线于D，交AB于 E ．求证：AM2 MD MEDAE若三点定型法无法确定哪两个三角形相似，则考虑用等量代换替代其中线段，然后再用三点定型法确定三角形证相似，常用的方法有：等线段代换，等比代换，等积代换1如图，在△ ABC，AD 平分∠ BAC，AD 的垂直平分线交AD 于 E，交 BC 的延长线于【例】2F，求证：FD FB FC证明 :连接 AF, A 是的平分线 ,E,B DC F是 AD 的垂直平分线,(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等),(等边对等角 ),,,,又,,【例 2】如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 在边 BA 的延长线上，CE交AD于 F ，ECAD ．求证：AC BE CE AD．D CFEA B【例 3】如图，△ACB为等腰直角三角形，AB=AC，∠ BAC=90°，∠ DAE=45°，求证：2AB BE CDABD EC4如图，△ ABC中，AB AC， AD 是中线，P是 AD 上一点，过C作CF ∥ AB，【例】延长 BP 交AC于 E ，交CF 于F．求证：BP2 PE PF．AFEPB D C模块二比例式的证明方法之等比代换【例 5】如图，平行四边形ABCD 中，过 B 作直线 AC 、AD于 O ， E 、交 CD 的延长线于 F ，求证：OB 2OE OF ．【解题方法提示】要证OB2=OF·OE ，即证=，接下来你有思路了吗？因为 AB ∥CE ，由平行线分线段成比例定理，可得=；同理因为AF ∥ BC，可得=，由等式的传递性，问题即可得证.证明：∵ AB ∥ CE ，∴=.∵AF ∥BC ，∵=，∴=，∴OB 2=OE·OF ．【例 6】如图，在△ABC中，已知 A 90 时， AD BC 于D，E为直角边AC的中点，过 D 、 E 作直线交 AB 的延长线于 F ．求证：AB AF AC DF ．AEBD CF【例 7】 如图，在 △ ABC 中（ AB ＞ AC ）的边 AB 上取一点 D ，在边 AC 上取一点 E ，使AD AE ，直线 DE 和 BC 的延长线交于点 P ．求证： BP CE CP BDADEBCP例 8.（ 1）如图 1，在 △ABC 中，点 D 、E 、Q 分别在 AB 、AC 、BC 上，且 DE ∥ BC ， AQ 交 DE 于点 P ，求证：DP =PE；BQPC（ 2）如图， △ABC 中，∠ BAC=90° ，正方形 DEFG 的四个顶点在 △ABC 的边上，连接 AG ， AF 分别交 DE 于 M ，N 两点．①如图 2，若 AB=AC=1 ，直接写出 MN 的长；②如图 3，求证： MN 2=DM?EN ．模块二比例式的证明方法之 等积代换8 如图， △ ABC 中， BD 、 CE 是高， EHBC于 H 、交 BD 于 G、交 CA 的延长 【例 】线于 M ．求证： HE 2 HG MH ．MA EDGBHC9如图，在 △ ABC 中，BAC 90 ， D 为 AC中点， AEBD ， E 为垂足，求证：【例 】CBDECD ．ADCEB【例 10】 在 Rt △ABC 中， AD ⊥ BC ， P 为 AD 中点， MN ⊥ BC ，求证 MN 2AN NCANPBCD M11.如图，已知 △ ABC 中， AD ， BF 分别为 BC ， AC 边上的高，过 D 作 AB 的垂线交 AB 于 E ，交 BF 于 G ，交 AC 延长线于 H 。

求证：2DE=EG?EH模块二比例式的证明方法之证等量先证等比【例 11】已知，平行四边形 ABCD 中， E、 F 分别在直线AD、 CD 上， EF//AC， BE、 BF 分别交 AC 于 M、 N.，求证： AM=CN.A E DMFNB C【例 12】已知如图AB=AC， BD //AC，AB//CE，过 A 点的直线分别交BD、 CE 于 D、 E. 求证： AM=NC， MN //DE.EADNMB C【例 13】如图，△ ABC 为等腰直角三角形，点P 为 AB 上任意一点， PF ⊥ BC， PE⊥ AC，AF 交 PE 于 N， BE 交 PF 于 M.，求证： PM =PN， MN//AB.AE N PMC BF【例 14】如图，正方形BFDE 内接于△ ABC ， CE 与 DF 交于点 N， AF 交 ED 于点 M， CE 与AF 交于点 P. 求证：（ 1） MN//AC；（ 2）EM =DN.AM DEP NB CF【例 15】（※）设E、F 分别为 AC、 AB 的中点， D 为 BC 上一点， P 在 BF 上， DP //CF ，1Q 在 CE 上， DQ//BE，PQ 交 BE 于 R，交 CF 于 S，求证：RS PQ3AEFG QR SPCB D【例 16】（※）如图，梯形 ABCD 的底边 AB 上任取一点 M，过 M 作 MK //BD ， MN//AC，分别交 AD、BC 于 K 、N，连 KN ，分别交对角线 AC、BD 于 P、Q，求证： KP=QN.D CO NQPSKRA B模块二比例式的证明方法之几何计算【例 17】（ 2016 年四月调考）如图，在△ABC 中， AC＞ AB，AD 是角平分线， AE 是中线，BF⊥ AD 于 G，交 AC 于点 M，EG 的延长线交AB 于点 H.（ 1）求证： AH =BH ，（ 2）若∠ BAC=60 °，求FG 的值.DGAMHFGB CD E【例 18】（ 2016 七一华源）如图：正方形ABCD 中，点 E、点 F 、点 G 分别在边BC 、AB、CD 上，∠ 1＝∠ 2＝∠ 3＝α. 求证：（ 1）EF ＋EG＝ AE（2）求证：CE＋CG＝AF模块二比例式的证明方法之动点问题运动问题中经常涉及没有明确对应关系的相似三角形，此时分类讨论思想在动态问题中尤其重要，应充分考虑所有可能出现的情况避免遗漏。