1.平面的概念及表示

D
C
α
A
B
2字母表示：(注意:“平面”二字不能省略) ①用希腊字母α,β,γ…来表示;例:平面α
②用图形的顶点字母来表示;例:平面ABCD;
③用平行四边形的一条对角线的顶点字母来 表示;例:平面AC;
长方体是我们非常熟悉的空间几何图 形，有8个顶点，12条棱，6个面。你能发 现图中的点、线、面之间有哪些位置关系 呢？请举例说明.
相交于点A
l

平面、 相 I l 交于直线l
例1、如图，用符号表示下列图形中点、 直线、平面之间的位置关系
α lβ
a
α a
l
B
β
A
b
解 : 在(1)中, l, a A, a B 在(2)中, l, a ,b ,
l a P,l b P
α
交线；再证点C是α与β的公共 A C B
点，从而点C在AB上，所以A、B、
β
C三点共线。
例4. 若空间四边形ABCD的 四边AB、BC、CD、DA上 各有一点P、Q、R、S，且 直线PS与QR交于点K，求 证：B、D、K三点共线。 B
A
P SK
DR
Q
C
二、共点问题：
证明三线l1,l2,l3共点, 一般先证明其中两条
观察下图，你能得到什么结论？
B
A
C
观察下图，你能得到什么结论？
B
B
A
C
A
C
观察下图，你能得到什么结论？
B
B
A
C
A
C
公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.
公理2：过不在一条直线上的三点，有且
只有一个平面. .C
图形表示：
α .A .B
说明：
①可以叙述为:不共线的三点确定一平面；
②这是确定一个平面的依据; ③“有且只有”和“确定”的含义包括两方 面,一是存在性,二是唯一性;
4、作业：P.51习题2.1： 3(1)、(2), 7
再见!要努力啊
5.空间平行线的传递性
公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行
即 a∥b,b∥c,则a∥c
说明:公理4是判断空间两直线平行的依据
例1 如图，定义:若A、B、C、D四点不共面， 顺次连接四点得四边形ABCD是称作空间四 边形。若空间四边形ABCD中，E、F、G、 H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证： 四边形EFGH是平行四边形
C 有无数个
D 只有0个
2．直线a、b、c两两平行，但不共面，经过其中
两条直线的平面共有（ B ）
A 1个
B 3个 C 0个 D 6个
3．过不共面的4个点中的3个点的平面共有（ C）
A 0个
B 3个 C 4个 D 无数个
4．空间可以确定一个平面的条件是（ C ）
A 两条直线
B 一点和一直线
C 一个三角形 D三个点
(7)直线a经过平面α外一点M；M a, M (8)直线l在平面α内，又在平面β内l 。 ,l
长方体是我们非常熟悉的空间几何 图形.你能发现图中的点、线、面之间 有哪些位置关系呢？
D1
C1
A1 B1
D A
C B
例2 三个平面可以将空间分为多少部分？
β
β
B
B
l
l
α
α
α
β
A
A
5．已知平面α与β、γ都相交，则这三个平面可
能的交线有（ C ）
A 1条或2条 B 2条或3条
C 1条或3条 D 1条或2条或3条
7．下列说法中正确的是（C ）
A 空间的三个点确定一平面 B 四边形一定是平面图形 C 梯形一定是平面图形 D 六边形一定是平面图形
8．下列的命题1）两条直线确定一个平面，2）
二、平面的表示方法
β
β
α
P. l
α
α
1几何表示：一般用平行四边形表示;但在特 殊情况下,也可以用三角形或其它图形来表示.
注意：(1)当平面水平放置时，通常把平行 四边形的锐角画成45°，横边画成邻边的 2倍长；
(2)画直线与平面或平面与平面相交时，被 遮挡的部分画成虚线或不画。
二、平面的表示方法
三、共面问题： 例7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、 F分别是AB、AA1的中点，求证： （1）E、C、D1、F四点共面； （2）CE、D1F、DA三线共点。
作业：P53 23
4或6或7或8部分
作业：P51 1、2、8
平面
P51 作业

C
D
1. l
A
B
2
A
A
B
B
8.解:共分为:3×9=27部分.
观察下图，你能得到什么结论？
桌面
B
A
观察下图，你能得到什么结论？
桌面
B
A
A
B l

观察下图，你能得到什么结论？
桌面
B
A
公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内，那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).
点A在平面α内，也在直线a上，则直线a在平
面α内，3）平面α和β相交于不在同一条直线
上的三个点A、B、C；4）三条直线两两平行，
则最多可确定三个平面。其中正确的有（ B ）
A0
B1
C2 D 3
2.小结:平面的基本性质: 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内, 那么这条直线上的所有点都在这个平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且
若再加条件AC=BD，则四边形EFGH 是什么图形？
8.已 知: 空 间 四 边 形ABCD中, E, F,G, H分 别
是AB, BC, CD, DA上 的 点, 且 AE AH 1 , EB HD 2
CF CG 2. FB GD (1)求 证: EFGH是 梯 形;
(2)若BD a, 求 梯 形EFGH的 中 位 线 长.A
④这三点必须是不共线的;
公理2：过不在一条直线上的三点，有且
只有一个平面.
.C
α .A .B
【练习】判断下列说法是否正确？
(1)三点确定一个平面; × (2)一个圆周上的三点可以确定一个平面;√
(3)如果两个平面有三个不共线的公共点,
那么这两个平面就重合; √
公理2 经过不共线的三点，有且只有一
2.1.1 平面
一、平面的特征 “平面”是最基本的几何概念，对它只能 描述而不加定义。
特点：“平”,“无限伸展”,“无大小”,“无厚
薄【”练习】判断下列说法是否正确？
(1)平行四边形是一个平面. × (2)一个平面的面积是100cm2. × (3)两个平面叠在一起比一个平面厚×. (4)一个平面把空间分成了两部分. √
公理3 P ,且P I l,且P l.
说明：
①这条公共直线叫做这两个平面的交线, 称这两个平面相交, 记作α∩β= l .
②这是判断两个平面相交的依据.
β
图形表示：
α
P. l
公理3 P ,且P I l,且P l.
【练习】1. 判断下列说法是否正确？
直线(如l1,l2 )交于一点A, 再证点A在l3上,而
l3常 常 为 两 个 平 面 的 交 线.
L1
L3 A
L2
例5
空间四边形ABCD中，E、F、G、H
分别是AB、BC、CD、DA上的点，已
知EH和FG交于P点，求证: EH、FG、
BD三线共点.
A
E
H
D
P
B
G F
C
三、共面问题：
例6.过直线l外一点引两条直线PA、PB和 直线l分别相交于A、B两点，求证：三条 直线PA、PB、l共面。
(1)两个平面相交至少有两个公共点; √ (2)两个平面相交,它们只有有限个公共点;× (3)过一条直线的平面有无数个; √ (4)两个平面的交线可能是一条线段; × (5)两个相交平面有不在同一直线上的公共点×;
(6)两个平面有无数个公共点,则它们重合。×
判断题：
（1）经过空间中一个点和一条直线只能作一个平
面。
（╳ ）
（2）若平面和有一条公共直线L和一个公共点P，
则P L ；
ห้องสมุดไป่ตู้(√ )
（3）三条直线两两相交，则它们在同一个平面内
（╳ ）
（4）三条直线两两平行，则它们在同一个平面内
（╳ ）
（5）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面
重合
（╳ ）
二 、选择题
1．经过同一条直线上三个点的平面 （ C ）
A 有且只有1个 B 有且只有3个
D1 A1
C1 B1
D A
C B
三、点、线、面的基本位置关系的符号表示
从运动的观点看，点动成线，线动成 面，从而可以把直线、平面看成是点的集 合，因此它们之间的关系亦可借用集合中 的符号来表示。
图形语言 符号语言 文字语言(读法)
·A
a A∈ a 点A在直线a上
·A a A a 点A不在直线a上
A
B l

一、平面的基本性质
公理1：如果一条直线 的两点在一个平面内, 那么这条直线上的所有 点都在这个平面内.
A
B
α
图形表示
公理1 A l, B l,且A , B l .
说明：
①也叫做直线在平面内或平面经过直线。
②这是判断一条直线是否在平面内的依据
③用图形表示时,表示直线的线段一定要画 在表示平面的平行四边形内部.
个平面。
α
A.
.C .B
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，
有且只有一个平面。

A
C B
推论2 经过两条相交直线，有且只有一
个平面。
AC

B
推论3 经过两条平行直线，有且只有一
个平面。

A CB
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共
点,那么它们有且只有一条过公共点的公共
直线
β
图形表示：
α
P. l
四、练习: 1.将下列文字语言转化为符号语言：
(1)点A、B在直线a上； A a, B a (2)点C在平面α内； C (3)直线a在平面α内； a
(4)点O不在平面α内； O (5)直线b不在平面α内； b
A ,
(6)点A在平面α内，但不在平面β内； A
只有一个平面. 推论1 一条直线和外一点确定一个平面。
推论2 两条相交直线确定一个平面。
推论3 两条平行直线确定一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过公共点的公共直线
(2)描述三个公理的三种语言：文字语言、 图形语言、符号语言。
3、练习：P.43：练习： 1、2、3、
E
H
B
DG
F
C
例:请你作出长方体ABCD-A1B1C1D1两个对 角面AA1C1C和BB1D1D的交线.
解:设AC与BD相交于O, A1C1与B1D1相交 于O1,连结OO1,即为所求.
证明:
D1 O1
C1
A1 B1
D
O
A
C B
一、共线问题：
证明A、B、C三点共线，一
般先证直线AB是平面α、β的
图形语言 符号语言 文字语言(读法)
A· A·

A 点A在平面内 A 点A不在平面内
· A
a
b aI b A
直线a、b相交 于点A
a
a 直线a在平面内
图形语言
a

a
A·
符号语言 文字语言(读法)
直线a与平面
a // 无公共点
a I A 直线a与平面