最新人教版高中数学选修1-1《四种命题的相互关系》教材梳理

庖丁巧解牛

知识·巧学

一、四种命题之间的关系

互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题或逆否命题.四种命题间的相互关系如下图所示.

一般地，这四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：

这四种命题的真假性的关系如下：两个命题若互为逆否命题，则它们具有相同的真假性；两个命题若互为逆命题或互为否命题，则它们的真假性没有关系.

重点提示原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真.

二、间接证明有关问题

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以我们在直接证明某一问题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题，这种证明问题的方法叫做反证法.

用反证法证明命题的一般步骤是:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立；从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾；由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确.

联想发散反证法证明问题的类型

(1)某些命题的结论是否定形式,如不是、不能、不存在等；

(2)某些命题的结论以至少、至多、唯一等形式出现；

(3)某些命题的结论的反面非常明显或结论的反面容易证明；

(4)某些命题的直接证法较困难.有些命题,虽然其表面似乎不是以上形式,但本质上仍属以上形式,或很容易化归为以上形式的命题均可用反证法证明.

问题·探究

问题在证明问题时可以利用间接法，那么间接法可以证明哪些问题呢？可以得出什么矛盾呢？

探究:(1)证明唯一性、无理性等问题可用反证法.

(2)命题以否定的形式出现(如不存在、不相交等),并伴有“至少……”“不都……”“都不……”“没有……”等指示性词语,此时也可选用反证法.

(3)若从正面考虑解决不好入手或比较麻烦,可以从命题的反面入手解决.

(4)得出的矛盾一般有三种情况.一是与原命题的已知条件矛盾；二是与自身矛盾；三是与另一个已知的真命题（如定理、公理、定义、公式或与实际）相矛盾.

典题·热题

例1 列说法是否正确？为什么？ （1）x 2=y 2⇔x=y ；

（2）x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y.

思路分析：在（2）中，由于是不等量关系，不易判断，所以可以考虑判断它的逆否命题，在逆否命题中，不等关系就转化为等量关系了. 解：（1）显然不正确；

（2）“x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y”的逆否命题为:“x=y 且x=-y ⇔x 2=y 2”.

我们可以看出x=y 且x=-y ⇒x 2=y 2，但x 2=y 2不能推出x=y 且x=-y ，从而逆否命题不正确. 故原命题不正确.即x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y 不正确.

深化升华 将不等关系通过转化为等量关系，有利于问题解决. 例2 判断命题“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”的逆否命题的真假.

思路分析：可以直接进行逻辑推理判断，可以从逆否命题直接判断，也可以先判断原命题的真假，然后利用原命题与逆否命题等价使问题等价获解. 解：∵m>0,∴4m+1>0，方程x 2+x-m=0的判别式Δ=4m+1>0. ∴原命题“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”为真命题.

因为原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”的逆否命题为真命题.

例3 若a 、b 、c 均为实数,且a=x 2-2y+

2π,b=y 2-2x+3π,c=z 2-2x+6

π

.求证:a 、b 、c 中至少有一个大于0.

思路分析：本题主要考查用间接法证明问题，可以利用互为逆否命题两个命题的等价性间接证明.首先写出它的逆否命题，然后证明逆否命题正确. 证明：

(用反证法)假设a 、b 、c 都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0. a+b+c=x 2-2y+

2π+y 2-2z+3π+z 2-2x+6

π =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3.

∵π-3>0且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0, ∴a+b+c>0.这与a+b+c≤0矛盾. 因此,a 、b 、c 中至少有一个大于0.

深化升华 含有“至多、至少”类型的命题常用反证法证明.命题以否定的形式出现也可以选用反证法证明.

例4 已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a 、b ∈R .对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”. (1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论； (2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.

思路分析：本题主要考查四种命题的定义.由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个问题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，间接地证明原命题为真命题.

解：(1)逆命题：若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.该逆命题为真命题. 用反证法证明： 假设a+b<0, 则a<-b,b<-a.

∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,

则f(a)

∴f(a)+f(b)

∴逆命题为真.

(2)逆否命题：若f(a)+f(b)

则a+b<0,真命题.

证明：∵a+b≥0,

∴a≥-b,b≥-a.

又∵f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,

∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).

∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).

∴逆否命题为真.

深化升华互为逆否命题的两个命题,在证明其中一个的真假性时,可转而去证明它的等价命题.