最新人教版高中数学选修1-1《四种命题的相互关系》教材梳理
高中数学人教A版选修1-1第一章 1.1 第2课时 四种命题及四种命题间的相互关系课件
(3)逆命题：若 x＝3，则 x2－2x－3＝0.真命题； 否命题：若 x2－2x－3≠0，则 x≠3.真命题； 逆否命题：若 x≠3，则 x2－2x－3≠0.假命题． (4)逆命题：若 x∈A∩B，则 x∈A.真命题； 否命题：若 x∉A，则 x∉A∩B.真命题； 逆否命题：若 x∉A∩B，则 x∉A.假命题．
由于逆命题和否命题也互为逆否命题，因此四种命题的真假 性之间的关系如下： ①两个命题互为逆否命题，它们有 相同 的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性 没有关系 ．
[问题思考] (1)命题“若 a≠0，则 ab≠0”的逆命题、否命题和逆否命题
各是什么？ 提示：逆命题：若 ab≠0，则 a≠0；否命题：若 a＝0，则 ab＝0；逆否命题：若 ab＝0，则 a＝0．
3．在命题“若 a>－3，则 a>－6”的逆命题、否命题、逆否 命题中假命题个数是________． 解析：容易判断，命题“若 a>－3，则 a>－6”为真命题， 而逆否命题与原命题同真假，从而它的逆否命题也是真命 题；它的否命题为“若 a≤－3，则 a≤－6”，是假命题， 而否命题与逆命题同真假，则它的逆命题也是假命题． 答案：2
法二：先判断原命题的真假． 因为 a，x 为实数，且关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0 的解集不是空集， 所以 Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即 4a－7≥0， 所以 a≥1.所以原命题成立． 又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真． (2)原命题的逆否命题为“已知函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的增 函数，a，b∈R，若 a＋b<0，则 f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．” ∵当 a＋b<0 时，a<－b，b<－a， 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)． ∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)， 即逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．
新版高中数学人教A版选修1-1课件1.1.2-1.1.3四种命题四种命题间的相互关系
1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系
首页
课前预习案 新知导学
课堂探究案 答疑解惑
当堂检测
【做一做 1】 已知命题 p:若 x=π3,则 cos x=12,则命题 p 的逆命题
为
;命题 p 的否命题为
;命题
p 的逆否命题为
.
答案:若 cos x=12,则 x=π3 若 x≠π3,则 cos x≠12 若 cos x≠12,则 x≠π3
假
假
假
真
真
假
假
假
逆否命题 真 真 假 假
(2)四种命题的真假性之间的关系如下:
①两个命题互为逆否命题,它们的真假性相同; ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
名师点拨由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以原命题与 其逆否命题是等价命题,因此当直接证明原命题困难时,可以转化 证明其逆否命题.
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1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系
探究一
探究二
思想方法
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课前预习案 新知导学
课堂探究案 答疑解惑
当堂检测
反思感悟1.给出一个命题,写出该命题的其他三种形式时,首先要 弄清楚该命题的条件和结论,若给出的命题不是“若p,则q”的形式, 则应先改写为“若p,则q”的形式,找出命.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系
探究一
探究二
思想方法
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课堂探究案 答疑解惑
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自主解答:(1)逆命题:若 tan α=√3,则 sin α=12. 否命题:若 sin α≠12,则 tan α≠√3. 逆否命题:若 tan α≠√3,则 sin α≠12.
人教版高中数学选修1-1课件：1.1.3 四种命题间的相互关系
常用逻辑用语
1.1 命题及其关系 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系
三维目标
1．知识与技能 (1)了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念． (2)掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假. 2．过程与方法 多让学生举例，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能 力；培养学生的抽象概括能力和思维能力． 3．情感、态度与价值观 通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及分析 问题和解决问题的能力．
备课素材
对于含有大前提的命题，在改写时大前提不动．如“已知a，b为正数，若a>b，则 |a|>|b|”中，“已知a，b为正数”在四种命题中是相同的大前提，写其他命题时都 把它作为大前提． 在写一个命题的否命题时要将命题中的关键词语改写成否定词语，特别地，“且” 的否定是“或”，“都是”的否定是“不都是”等．
备课素材
[例]写出下列命题的逆命题、否 命题和逆否命题． (1)若 a＋ 5是有理数，则 a 是无 理数； (2)若 ab＝0，则 a，b 中至少有 一个为零； (3)垂直于同一平面的两条直线 平行．
解： (1)逆命题：若 a 是无理数，则 a＋ 5是 有理数； 否命题：若 a＋ 5不是有理数，则 a 不是无 理数； 逆否命题：若 a 不是无理数，则 a＋ 5不是 有理数．
新课导入
[导入一] 情景引入 在商品大战中，广告成了电视节目中一道美丽的风景线．几乎所有的广告商都熟 谙这样的命题变换艺术，如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福， 幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效 果相当大．哪个家庭不希望幸福呢，掏钱买一盒就得了．你能写出其广告词的一 个等价命题吗？
高中数学选修1-1精品课件1：1.1.3 四种命题间的相互关系
解法二：原命题“若 m>0，则方程 x2＋2x－3m＝0 有实数 根”的逆否命题为“若方程 x2＋2x－3m＝0 无实数根，则 m≤0”．
方程 x2＋2x－3m＝0 无实数根， ∴Δ＝4＋12m<0.∴m<－13≤0. ∴“若方程 x2＋2x－3m＝0 无实数根，则 m≤0”为真．
[点评] 本题中解法一利用了原命题与它的逆否命题同真 同假的方法解决；解法二是先写出原命题的逆否命题，再判断 其真假．
逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个 四边形不是菱形．是真命题．
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．是 真命题．
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全 等．是真命题．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等 高．是假命题．
(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦 的垂直平分线．是假命题．
命题方向 互为逆否命题同真同假的应用
[例 2] 判断命题“若 m>0，则方程 x2＋2x－3m＝0 有实数 根”的逆否命题的真假．
[分析] 解答本题可以直接进行逻辑推理判断；可以从逆 否命题直接判断；也可以先判断原命题的真假，然后利用等价 命题的同真同假判断．
[解析] 解法一：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0. ∴方程 x2＋2x－3＝0 的判别式 Δ＝12m＋4>0. ∴原命题“若 m>0，则方程 x2＋2x－3m＝0 有实数根”为 真． 又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若 m>0，则方程 x2＋2x－3m＝0 有实数根”的逆否命题也为真．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不 平分弦所对的弧．是假命题．
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不 是弦的垂直平分线．是真命题．
高中数学《四种命题 四种命题间的相互关系》课件
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答案 (1)若 ab＝0，则 a＝0 (2)“若 p，则綈 q” (3)若|a|≠|b|，则 a≠b (4)若 a≤－4，则 a≤－3 真命题
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答案
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探究 1 四种命题的定义 例 1 把下列命题写成“若 p，则 q”的形式，并写出它们的逆命题、否 命题与逆否命题． (1)正数的平方根不等于 0； (2)当 x＝2 时，x2＋x－6＝0； (3)垂直于同一平面的两直线平行； (4)当 mn<0 时，方程 mx2－x＋n＝0 有实数根．
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答案
(3)原命题：若两条直线垂直于同一平面，则这两条直线平行． 逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面． 否命题：若两条直线不垂直于同一平面，则这两条直线不平行． 逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一平面． (4)原命题：若 mn<0，则方程 mx2－x＋n＝0 有实数根． 逆命题：若方程 mx2－x＋n＝0 有实数根，则 mn<0. 否命题：若 mn≥0，则方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根． 逆否命题：若方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根，则 mn≥0.
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【跟踪训练 3】 证明：若 a2－4b2－2a＋1≠0，则 a≠2b＋1.
证明 “若 a2－4b2－2a＋1≠0，则 a≠2b＋1”的逆否命题为“若 a＝2b ＋1，则 a2－4b2－2a＋1＝0”．
人教A版高中数学选修1-1课件-四种命题四种命题间的相互关系
『规律方法』 关于原命题的逆命题、否命题和逆否命题的写法： 首先：把原命题整理成“若p，则q”的形式． 其次：(1)“换位”(即交换命题的条件与结论)得到“若q，则p”，即为逆命题； (2)“换质”(即将原命题的条件与结论分别否定后作为条件和结论)得到“若非p，则非q”即为否命题； (3)既“换位”又“换质”(即把原命题的结论否定后作为新命题的条件，条件否定后作为新命题的结论)
3．命题的结论的否定和条件的否定，
我们把这样的两个命题叫做________________，其中一个命题叫做__________，另一个叫做原命题的
____________.
互否命题
原命题
否命题
原命题
互为逆否命题 逆否命题
4．四种命题的相互关系
『规律方法』 1.由原命题写出其他三种命题，关键是要分清原命题的条件与结论，尤其是写否命题和 逆否命题时，要注意对原命题中条件和结论的否定，这种否定要从条件和结论的真假性上进行否定， 而不是仅仅加上一个“不”字，为此可根据“互为逆否关系的命题同真假”进行检验．
2．当一个命题是否定性命题且不易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假以达到目的．
命题方向 3
正难则反，等价转化思想
我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明 原命题为真命题．
证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－
b)，则a＋b≥0.
[思路分典析例] 已3 知函数f(x)的单调性，可将自变量的大小与函数值的大小关系相互转化，本题中条件较
2．当命题“若p，则q”为真时，下列命题中一定是真命题的是( )
A．若q，则p
(完整版)人教版高中数学选修1-1知识点总结(全)(可编辑修改word版)
高中数学选修 1-1 知识点总结第一章简单逻辑用语●命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．真命题：判断为真的语句．假命题：判断为假的语句．●“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．●原命题：“若p ，则q ”逆命题：“若q ，则p ”否命题：“若⌝p ，则⌝q ”逆否命题：“若⌝q ，则⌝p ”●四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．●若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系：例如：若A ⊆B ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若A=B，则 A 是 B 的充要条件；●逻辑联结词：⑴且：命题形式p ∧q ；⑵或：命题形式p ∨q ；⑶非：命题形式⌝p ．●⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“ ∀”表示．全称命题p：∀x ∈M , p(x) ；全称命题p 的否定⌝p：∃x ∈M , ⌝p(x) ．⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“ ∃”表示．特称命题p：∃x ∈M , p(x) ；特称命题p 的否定⌝p：∀x ∈M , ⌝p(x) ．第二章圆锥曲线●平面内与两个定点F1，F2 的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹称为椭圆．即：| MF1 | + | MF2 |= 2a,(2a >| F1 F2 |) ．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．●椭圆的几何性质：x2 y2 y2 x2 ●平面内与两个定点F1，F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于线．即：|| MF1 | - | MF2||= 2a,(2a <| F1F2|) ．F1F2）的点的轨迹称为双曲这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距●双曲线的几何性质：x2 y2 y2 x2●实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．●平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．p p●抛物线的几何性质：●过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即AB = 2 p ．● 焦半径公式： 若点P ( x , y ) 在抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 上，焦点为 F ，则 P F = x + ；2若点P( x , y ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 上，焦点为 F ，则 P F = y + ；2第三章 导数及其应用●函数 f( x ) 从 x 到 x的平均变化率： f ( x 2 ) - f ( x 1 ) 1 2x - x210 ( ) ( ( ))0⎣ ⎦ ●导数定义： f( x ) 在点 x 0 处的导数记作 y '= f '(x ) = lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) ．x = x 0∆x →0 ∆x ● 函数 y = f ( x ) 在点 x 处的导数的几何意义是曲线y = f x P x , f x 在点 处的切线的斜率．●常见函数的导数公式：① C ' = 0 ；② (x n )' = nx n -1 ；③ (sin x )' = cos x ；④ (cos x )' = -sin x ；⑤ (a x )' = a x ln a ；⑥ (e x )' = e x ；⑦ (log ax )'=1 x ln a；⑧ (ln x )' = 1x●导数运算法则：(1) (2)⎡⎣ f ( x ) ± g ( x )⎤⎦' = ⎡⎣ f ( x )⋅ g ( x )⎤⎦' = f '( x ) ± g '( x ) ；f '( x )g ( x ) + f ( x ) g '( x ) ；⎡ f ( x ) ⎤' =f '( x )g ( x ) - f ( x ) g '( x )(3) ⎢ g ( x ) ⎥ ⎡⎣ g ( x )⎤⎦2( g ( x ) ≠ 0) ．● 在某个区间(a , b ) 内，若 f '( x ) > 0 ，则函数 y = 若 f '( x ) < 0 ，则函数 y = f ( x ) 在这个区间内单调递增；f ( x ) 在这个区间内单调递减．●求函数 y = f( x ) 的极值的方法是：解方程 f '( x ) = 0 ．当 f '( x 0 ) = 0 时：(1) 如果在 x 0 附近的左侧 f '( x ) > 0 ，右侧 f '( x ) < 0 ，那么 f ( x 0 ) 是极大值； (2) 如果在 x 0 附近的左侧 f '( x ) < 0 ，右侧 f '( x ) > 0 ，那么 f ( x 0 ) 是极小值．●求函数 y = f( x ) 在[a , b ] 上的最大值与最小值的步骤是：(1) 求函数 y = (2) 将函数 y = f ( x ) 在(a , b ) 内的极值；f ( x ) 的各极值与端点处的函数值 f (a ) ， f (b ) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．。
《1.1.3四种命题间的相互关系》ppt课件
若a+b<0,
则a<-b,b<-a,
又因为f(x)在(-≦,+≦)上是增函数,
所以f(a)<f(-b),f(b)<f(-a).
所以f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),
即逆否命题为真命题.
所以原命题为真命题.
【补偿训练】已知全集U的两个子集A,B,命题“若x∉A,则x∉B” 是真命题,则下列结论正确的是( A.B C.( A
【解析】(1)由于否命题是“若x2=1,则x=1”,是假命题.
答案:假
(2)由于原命题与其逆否命题等价,故命题p是真命题.
答案:真
(3)逆否命题为:若a2≤b2,则a≤b,由于原命题是假命题,故其 逆否命题也是假命题. 答案:若a2≤b2则a≤b 假命题
【要点探究】 知识点 四种命题间的关系
对四种命题相互关系的三点认识 (1)四种命题中原命题具有相对性,任意确定一个为原命题,其 逆命题、否命题、逆否命题就确定了,所以“互逆”“互 否”“互为逆否”具有对称性.
【审题】抓信息,找思路
【解题】明步骤,得高分
【点题】警误区,促提升
失分点1:解题时若在①处对原命题的等价命题写错 ,则会导致 本例不得分. 失分点2:本例若对不等式考虑不全面,即忽略②处对参数a的讨 论,漏掉一解,则本例最多得8分. 失分点3:若解题步骤不规范,漏掉③处最后的归纳,则本例最多 得10分
【方法技巧】“正难则反”的处理原则 (1)当原命题的真假不易判断,而逆否命题较容易判断真假时, 可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假. (2)在证明某一个命题的真假性有困难时,可以证明它的逆否命 题为真(假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.
最新人教版高中数学选修1-1《四种命题》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一,逆命题一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题(original proposition),另一个命题叫做原命题的逆命题(inverse proposition).因此，交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的逆命题.误区警示 在改写时一定要分清命题的条件和结论，产生错误的原因分不清条件和结论.若在命题中含有大前提，大前提应单独给出，不能把大前提放在命题的条件部分内. 二,否命题对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好为另一个命题的条件的否定和结论的否定,把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做原命题的否命题 (negative proposition).同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的否命题.知识拓展 一般地，用p 和q 表示原命题的条件和结论，用瘙p ⌝和q ⌝分别表示p 和q 的否定，于是四种命题的形式就是：原命题为“若p 则q”；它的否命题为“若p ⌝则q ⌝”.三、逆否命题对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题,其中一个命题叫做原命题,则另一个命题叫做原命题的逆否命题(inverse and negative proposition).交换原命题的条件和结论并同时否定，所得的命题是原命题的逆否命题.辨析比较 否命题与命题的否定否命题是只对命题的条件和结论进行同时否定，而命题的否定是对命题的结论否定.命题的否定需注意将命题中的关键词语改成它的否定词组.下面把常用的一些词语和它的否定词语问题 如何从集合的角度恰当的解释互为逆否的两个命题的等价性呢？探究:命题的四种形式之间的关系，为我们提供了一个判断命题真假的变通手段.由于互为逆否的两个命题是等价命题，它们同真假，所以当一个命题不易判断时，可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.互为逆否的两个命题的等价性可以从集合的角度给出恰当的解释，设A={x|x ∈p},B={x|x ∈q}，其中p 和q 是集合A 和B 的特征性质.若A ⊄B ，则意味着对于元素x 具有性质p 必具有性质q ，所以可认为A ⊄B 与p→q 等同，具有同真假性.由venn 图发现有下面的结论：A ⊄B 与B ⊄A 等价，也就说明p→q 与⌝p→⌝q 是等价的.典题·热题例1 在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是__________(把符合要求的命题序号都填上).思路分析：本题考查点共线、点共面和异面直线的基本知识,考查命题的有关概念，具有较强的开放性.应先写出它们的逆命题，再判断真假.①的逆命题是，若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.显然这个命题不正确.②的逆命题是，若两条直线是异面直线,则这两条直线没有公共点.这个命题为真命题.答案：②深化升华利用逆命题的定义，在判断命题为假命题时可以举一个反例.例2 命题“若a>b，则2a>2b-1”的否命题是___________.思路分析：该题将不等式与命题联系在一起，特别要注意不等号的方向和等号的取舍.因为“a>b”的否命题是“a≤b”，“2a>2b-1”的否命题是“2a>2b-1”，所以原命题的否命题是“若a≤b，则2a≤2b-1”.答案：若a≤b，则2a≤2b-1例3 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.(1)若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根；(2)若ab=0,则a=0或b=0；(3)若x2+y2=0,则x、y全为零.思路分析：本题主要考查了已知原命题写它的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.应先把命题改写成“若p则q”的形式，把条件和结论互换，得逆命题；把条件和结论都加以否定就得到否命题；再把逆命题中的条件和结论都加以否定就得到逆否命题.解：(1)逆命题：若方程x2+2x+q=0有实根,则q<1,假命题；否命题：若q≥1,则方程x2+2x+q=0无实根,假命题；逆否命题：若方程x2+2x+q=0无实根,则q≥1,真命题.(2)逆命题：若a=0或b=0,则ab=0,真命题；否命题：若ab≠0,则a≠0且b≠0,真命题；逆否命题：若a≠0且b≠0,则ab≠0,真命题.(3)逆命题：若x、y全为零,则x2+y2=0,真命题；否命题：若x2+y2≠0,则x、y不全为零,真命题；逆否命题：若x、y不全为零,则x2+y2≠0,真命题.深化升华在判断命题的真假性时,充分利用原命题与逆否命题、逆命题和否命题是等价，它们同真假，所以当一个命题不易判断时，可以通过它的逆否命题的真假而判断原命题的真假.例4 写出下列命题的否定和否命题.(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；(2)零的平方等于零.与否命题的区别,命题的否思路分析：本题的关键是弄清命题的否定与否命题的区别,即p定是对命题的结论加以否定,而否命题是对命题的条件和结论都加以否定.解：(1)命题的否定：正n边形(n≥3)的n个内角不全相等；否命题：不是正n边形(n≥3)的n 个内角不全相等.(2)命题的否定：零的平方不等于零；否命题：不等于零的数的平方不等于零.误区警示解答此类问题常见的思维误区是：否命题与命题的否定混淆以及否定错误.因此求命题的否定需注意将命题中的关键词语改成它的否定词组.例5 下面是一位同学写的命题：若x2+y2=0,则x,y全为零的逆命题、否命题、逆否命题，以及它们的真假，他的写法正确吗？若不正确，请你写出正确的命题.解：逆命题为：若x,y全为零，则x2+y2=0，是真命题；否命题为：若x2+y2≠0，则x,y全不为零，是真命题；逆否命题：若x,y全不为零，则x2+y2≠0，是真命题；思路分析：对命题中条件和结论的否定不全面，对x,y全为零的否定，应为不全为零，而不是全不为零.解：错误，其正确解法是：逆命题为：若x,y全为零，则x2+y2=0，是真命题；否命题为：若x2+y2≠0，则x,y不全为零，是真命题；逆否命题为：若x,y不全为零，则x2+y2≠0，是真命题.深化升华求命题的否定需注意将命题中的关键词语改成它的否定词组，要注意不要出现否定错误.。
高中数学人教A版选修(1-1) 1.1 教学课件 《四种命题间的相互关系》(人教A版)
A．原命题为真，逆命题为假 B．原命题为假，逆命题为真 C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
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四种命题的关系
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一般地，四种命题的真假性有且仅有下面四种情况：
原命题 真 真 假 假
逆命题 真 假 真 假
否命题 真 假 真 假
逆否命题 真 真 假 假
几点说明
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四种命题的真假关系 (1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命 题真假性相同的是____逆__否__命_题_____． (2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性 _____没_有__关__系_____．
命题方向2 ⇨原命题与逆否命题的等价应用
判断命题“已知 a，x 为实数，若关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋ a2＋2≤0 的解集为空集，则 a<2”的逆否命题的真假.
[思路分析] 判断这个命题的逆否命题的真假，可先写出它的逆否命题再判 断，也可以利用互为逆否命题的等价性来判断．
[规范解答] 解法一：原命题的逆否命题为：“已知 a，x 为实数，若 a≥2， 则关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0 的解集不是空集”．
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2．命题“若 a>－3，则 a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真
命题的个数为 ( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 易知原命题正确，则其逆否命题也正确，原命题的逆命题“ 若a>－6，则a>－3”不正确，其否命题也不正确，故选B．
人教版选修1-11.1.3四种命题间的相互关系课件
命题的结论正确
否命题与命题的否定
否命题是用否定条件也否定结论的方式 构成新命题。
命题的否定是逻辑联结词“非”作用于 判断,只否定结论不否定条件。
对于原命题: 若 p , 则 q 有 否命题: 若┐p , 则┐q 。
命题的否定: 若 p ，则┐q 。
例 设原命题是“当c >0 时，若a >b ，则ac >bc ”，写出它 的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：
回顾
交换原命题的条件和结论，所得的命题是 ___逆__命__题_ 。
同时否定原命题的条件和结论，所得的命 题是___否__命__题_ 。
交换原命题的条件和结论，并且同时否定， 所得的命题是_____逆__否__命_ 题。
原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题情势: 原命题: 若 p, 则 q 逆命题: 若 q, 则 p 否命题: 若┐p, 则┐q 逆否命题: 若┐q, 则┐p
原命题:若p,则q 否命题:若┐p,则┐q
视察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间 分别有什么关系？
1.
4.
若若f(fx(x)不)是是正周弦期函函数数，p，则则f(fx(x)是)不周是期正函弦数函；数q .
┐q
┐p
互为逆否命题 原命题 (原命题的)逆否命题
原命题: 若p, 则q
逆否命题: 若┐q, 则┐p
四种命题之间的相互关系
原命题 若p 则q 互
否 否命题
若p 则 q
互逆 互逆
逆命题 若q 则p
互
否 逆否命题
若q 则p
思考
原命题的真假与其它三 种命题的真假有什么关 系？
高中数学选修1-1知识点及课本例题
第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1、命题（1）一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
（2）“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论。
2、四种命题（1）对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫做原命题（“若p，则q”），另一个叫做原命题的逆命题（“若q，则p”）。
（2）对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题（“若p⌝，则q⌝”）。
（3）对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题（“若q⌝，则p⌝”）。
3、四种命题间的相互关系例1下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）指数函数是增函数吗？（4）若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行；（5）2)2-；(2=（6）15x。
>例2指出下列命题中的条件p和结论q：（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。
例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）负数的立方是负数；（3）对顶角相等。
例4证明：若022=x，则0=+yx。
-y1.2 充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理得出q。
这是，我们就说，由p可推出q，记作qp⇒，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件。
2、充要条件一般地，如果既有qq⇒，就记作qp⇔。
秋人教A版高二数学选修1-1课件：第一章 1.1.3四种命题的相互关系 (共68张PPT)
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
人教版高中数学选修四种命题间的相互关系ppt课件
例1： 证明：若p＋q＞2，则p2＋q2≠2.
假设原命题结论的 反面成立 看能否推出原命题条件的 反面成立 尝试成功 得证
证明二（反证法）：假设p2＋q2=2， 则2=p2＋q2≥2pq ∴pq≤1 ∴（p+q）2 =p2＋q2+2pq=2+2pq ≤4 ∴p+q ≤2， 这与命题的条件p＋q＞2相矛盾， ∴假设不成立，即p2＋q2≠2， 故原命题为真命题。
关于反证法
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果.
──它其实是反证法的一种特殊表现 : 从命 题结论的反面出发 , 引出矛盾 ( 如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.
1.1.3
四种命题间的相互关系
四种命题之间的相互关系
四种命题间的相互关系
原命题 若p 则q 互 否 否命题 p 若 则 互 逆 逆命题 若q 则p 互 否
q
互
逆
逆否命题 q p 若 则
一般的，四种命题的真假性，有且仅有以下四种情况：
原命题
真 真 假
逆命题
真 假 真
否命题
真 假 真
逆否命题
（对）
（对） （错） （错）
3:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题。 2 2 a则 b a b 真命题 (1)原命题： 若 2 2 假命题 a b a 则 b 答:逆命题： 若 2 2 假命题 a b a则 b 否命题： 若 2 2 真命题 a b 逆否命题： 若 a 则 b
(2)原命题：若一个数是负数，则它的平方是0； 逆命题：若一个数的平方是0，则它是负数； 否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是0； 逆否命题：若一个数的平方不是0，则它不是负数.
高中数学新课标人教A版选修1-1《1.1.3四种命题间的相互关系》课件
题型一 四种命题间的相互关系 【例1】 命题a的否命题是b，命题b的逆否命题是c，命题c的 逆命题是d，则命题a与命题d的关系是怎样的？ [思路探索] 设命题a为“若p，则q”，再根据已知各命题的关 系写出各命题．
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课堂讲练互第动八页，编辑于星期活一：页点规十二范分。训练
解 设命题a：若p，则q， 则命题b：若綈p，则綈q，
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课堂讲练互第动十四页，编辑【例3】 (12分)判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命 题的真假． 审题指导 本题的命题意图是考查逆否命题的应用．由于原命 题与它的逆否命题同真同假，所以，可写出原命题的逆否命 题，再判断其真假，或者由判断原命题的真假得出逆否命题的 真假．
【变式2】 判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数 根”的逆否命题的真假． 解 ∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0. ∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0. ∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为 真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程 x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．
命题c：若q，则p， 命题d：若p，则q， ∴命题a与命题d是同一命题． 规律方法 判断两个命题的关系，从其结构上分析条件和结论 是最本质的方法，解题关键是熟练掌握四种命题的概念．
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课堂讲练互第动九页，编辑于星期活一：页点规十二范分。训练
【变式1】 若命题p的否命题是q，命题q的逆命题是r，则r是p
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课堂讲练互第动十一页，编辑于星活期一页：规点 十范二分训。练
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庖丁巧解牛
知识·巧学
一、四种命题之间的关系
互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题或逆否命题.四种命题间的相互关系如下图所示.
一般地，这四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：
这四种命题的真假性的关系如下：两个命题若互为逆否命题，则它们具有相同的真假性；两个命题若互为逆命题或互为否命题，则它们的真假性没有关系.
重点提示原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真.
二、间接证明有关问题
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以我们在直接证明某一问题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题，这种证明问题的方法叫做反证法.
用反证法证明命题的一般步骤是:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立；从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾；由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
联想发散反证法证明问题的类型
(1)某些命题的结论是否定形式,如不是、不能、不存在等；
(2)某些命题的结论以至少、至多、唯一等形式出现；
(3)某些命题的结论的反面非常明显或结论的反面容易证明；
(4)某些命题的直接证法较困难.有些命题,虽然其表面似乎不是以上形式,但本质上仍属以上形式,或很容易化归为以上形式的命题均可用反证法证明.
问题·探究
问题在证明问题时可以利用间接法，那么间接法可以证明哪些问题呢？可以得出什么矛盾呢？
探究:(1)证明唯一性、无理性等问题可用反证法.
(2)命题以否定的形式出现(如不存在、不相交等),并伴有“至少……”“不都……”“都不……”“没有……”等指示性词语,此时也可选用反证法.
(3)若从正面考虑解决不好入手或比较麻烦,可以从命题的反面入手解决.
(4)得出的矛盾一般有三种情况.一是与原命题的已知条件矛盾；二是与自身矛盾；三是与另一个已知的真命题（如定理、公理、定义、公式或与实际）相矛盾.
典题·热题
例1 列说法是否正确？为什么？ （1）x 2=y 2⇔x=y ；
（2）x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y.
思路分析：在（2）中，由于是不等量关系，不易判断，所以可以考虑判断它的逆否命题，在逆否命题中，不等关系就转化为等量关系了. 解：（1）显然不正确；
（2）“x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y”的逆否命题为:“x=y 且x=-y ⇔x 2=y 2”.
我们可以看出x=y 且x=-y ⇒x 2=y 2，但x 2=y 2不能推出x=y 且x=-y ，从而逆否命题不正确. 故原命题不正确.即x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y 不正确.
深化升华 将不等关系通过转化为等量关系，有利于问题解决. 例2 判断命题“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”的逆否命题的真假.
思路分析：可以直接进行逻辑推理判断，可以从逆否命题直接判断，也可以先判断原命题的真假，然后利用原命题与逆否命题等价使问题等价获解. 解：∵m>0,∴4m+1>0，方程x 2+x-m=0的判别式Δ=4m+1>0. ∴原命题“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”为真命题.
因为原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”的逆否命题为真命题.
例3 若a 、b 、c 均为实数,且a=x 2-2y+
2π,b=y 2-2x+3π,c=z 2-2x+6
π
.求证:a 、b 、c 中至少有一个大于0.
思路分析：本题主要考查用间接法证明问题，可以利用互为逆否命题两个命题的等价性间接证明.首先写出它的逆否命题，然后证明逆否命题正确. 证明：
(用反证法)假设a 、b 、c 都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0. a+b+c=x 2-2y+
2π+y 2-2z+3π+z 2-2x+6
π =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3.
∵π-3>0且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0, ∴a+b+c>0.这与a+b+c≤0矛盾. 因此,a 、b 、c 中至少有一个大于0.
深化升华 含有“至多、至少”类型的命题常用反证法证明.命题以否定的形式出现也可以选用反证法证明.
例4 已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a 、b ∈R .对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”. (1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论； (2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.
思路分析：本题主要考查四种命题的定义.由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个问题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，间接地证明原命题为真命题.
解：(1)逆命题：若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.该逆命题为真命题. 用反证法证明： 假设a+b<0, 则a<-b,b<-a.
∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,
则f(a)<f(-b),f(b)<f(-a).
∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).这与题设相矛盾,
∴逆命题为真.
(2)逆否命题：若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),
则a+b<0,真命题.
证明：∵a+b≥0,
∴a≥-b,b≥-a.
又∵f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,
∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).
∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
∴逆否命题为真.
深化升华互为逆否命题的两个命题,在证明其中一个的真假性时,可转而去证明它的等价命题.。