组合和组合数公式一
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⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个 人担任班长和团支部书记．
想一想
什么是两个相同的排列？ 什么是两个相同的组合？
相同排列：元素相同且顺序相同. 相同组合：元素相同
从 a , b , c三个不同的元素 中取出两个元素的所有组合分 别是
ab , ac , bc
已知4个元素a , b , c , d ,写出每
排列定义
一般地说，从 n 个不同元素 中，任取 m (m≤n) 个元素，按照 一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一 个排列。
组合 思考交流
1. 从9名学生中选出3人做值日,有 多少种不同的选法?
2. 有5 本不同的书,某人要从中借2 本,有多少种不同的借法?
对比
1. 北京、上海、广州三个民航站 之间的直达航线，需要准备多少种不 同的飞机票？
c
d
bc
d
abc ， abd ， acd ， bcd .
写出从 a , b , c , d 四个元素中任 取三个元素的所有排列.
c d b d b c c d a d a cb d a d a b b c a c a b
bcd acdabd abc
a
b
c
d
所有的排列为：
abc bac cab dab abd bad cad dac
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
求 P34 可分两步考虑：
第一步，C34（ 4）个；
第二步，P33（ 6）个；
根据乘法原理，P34 C34 P33 .
C3 4
P3 4
P3 3
从 n 个不同元素中取出m个元素
的排列数 Pmn Cmn Pmm
Cm n
Pm n
Pm m
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cm n
n! m!(n
m) !
例1 .计算：
(1)
C4 10
及
C3 7
；
(2) 3C83 2 C52 ；
(3)
已知
C3 n
P2 n
,求
n
．
解：
(2)
(31C) 83
C213740C5273140136243893.8152827311756.21202
5 ；1
4
(3)
由
C3 n
2. 北京、上海、广州三个民航站 之间的直达航线，有多少种不同的飞 机票价？
组合定义
一般地说，从 n 个不同元素 中，任取 m (m≤n) 个元素并成一 组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。
判断下列问题哪个是排列问题哪个是组 合问题：
⑴ 从A、B、C、D四个景点选出2个进行
游览；
P2 n
,
有
n(n 1)(n 2) n(n 1) 6
n26
n8
例２
求
证
:
C
m n
m 1 nm
C
m1 n
.
证明:
C
m n
m（! nn！m）!,
m 1 nm
C m1 n
m 1 nm
(m
n! 1)!(n
m
1)!
m1
n!
(m 1)! (n m)(n m 1)!
n! m!(n
m) !
Cm n
次取出两个元素的所有组合.
a
b
c
bcd c d
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd
练习
中国、美国、古巴、俄罗斯四 国女排邀请赛，通过单循环决出冠 亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 中国—古巴 中国—俄罗斯 美国—古巴 美国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
acb bca cba dba acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc cdb dcb
组合
abc abd acd bcd
Байду номын сангаас
排列
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
⑴ 平面内有10个点，以其中每2个点 为端点的线段共有多少条？
⑵ 平面内有10个点，以其中每2个点 为端点的有向线段共有多少条？
解：⑴ C120 45（组合问题）
⑵ P120 90（排列问题）
C61
，C41 C62
，
一共有
C
3 4
+
C
2 4
C61
+C
1 4
C62=100种方法．
解法二：（间接法）C130 C63 100
3．设 x∈N,求
C x1 2 x3
C
2 x3 x1
的值．
解：由题意可得：2x x1
3
x 2x
1 3
即：2≤x≤4 ∵ x∈N ∴x=2或3或4 当x=2时原式值为7； 当x=3时原式值为7； 当x=2时原式值为11． ∴所求值为4或7或11．
.
例3. 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学， 每人各得2本，有多少种不同的分法？
略解：C62 C42 C22 90
例4．4名男生和6名女生组成至少有1个 男生参加的三人实践活动小组，问组成 方法共有多少种？
解法一：（直接法）小组构成有三种情
形：3男，2男1女，1男2女，分别
有
C43
，C
2 4
（2）
冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古
俄
俄
俄
亚 军
美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄
中
美
古
组合数公式
从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个 元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的组合数，用符号
表C示。mn
写出从 a , b , c , d 四个元素中 任取三个元素的所有组合。
c
b
a
d
想一想
什么是两个相同的排列？ 什么是两个相同的组合？
相同排列：元素相同且顺序相同. 相同组合：元素相同
从 a , b , c三个不同的元素 中取出两个元素的所有组合分 别是
ab , ac , bc
已知4个元素a , b , c , d ,写出每
排列定义
一般地说，从 n 个不同元素 中，任取 m (m≤n) 个元素，按照 一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一 个排列。
组合 思考交流
1. 从9名学生中选出3人做值日,有 多少种不同的选法?
2. 有5 本不同的书,某人要从中借2 本,有多少种不同的借法?
对比
1. 北京、上海、广州三个民航站 之间的直达航线，需要准备多少种不 同的飞机票？
c
d
bc
d
abc ， abd ， acd ， bcd .
写出从 a , b , c , d 四个元素中任 取三个元素的所有排列.
c d b d b c c d a d a cb d a d a b b c a c a b
bcd acdabd abc
a
b
c
d
所有的排列为：
abc bac cab dab abd bad cad dac
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
求 P34 可分两步考虑：
第一步，C34（ 4）个；
第二步，P33（ 6）个；
根据乘法原理，P34 C34 P33 .
C3 4
P3 4
P3 3
从 n 个不同元素中取出m个元素
的排列数 Pmn Cmn Pmm
Cm n
Pm n
Pm m
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cm n
n! m!(n
m) !
例1 .计算：
(1)
C4 10
及
C3 7
；
(2) 3C83 2 C52 ；
(3)
已知
C3 n
P2 n
,求
n
．
解：
(2)
(31C) 83
C213740C5273140136243893.8152827311756.21202
5 ；1
4
(3)
由
C3 n
2. 北京、上海、广州三个民航站 之间的直达航线，有多少种不同的飞 机票价？
组合定义
一般地说，从 n 个不同元素 中，任取 m (m≤n) 个元素并成一 组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。
判断下列问题哪个是排列问题哪个是组 合问题：
⑴ 从A、B、C、D四个景点选出2个进行
游览；
P2 n
,
有
n(n 1)(n 2) n(n 1) 6
n26
n8
例２
求
证
:
C
m n
m 1 nm
C
m1 n
.
证明:
C
m n
m（! nn！m）!,
m 1 nm
C m1 n
m 1 nm
(m
n! 1)!(n
m
1)!
m1
n!
(m 1)! (n m)(n m 1)!
n! m!(n
m) !
Cm n
次取出两个元素的所有组合.
a
b
c
bcd c d
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd
练习
中国、美国、古巴、俄罗斯四 国女排邀请赛，通过单循环决出冠 亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 中国—古巴 中国—俄罗斯 美国—古巴 美国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
acb bca cba dba acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc cdb dcb
组合
abc abd acd bcd
Байду номын сангаас
排列
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
⑴ 平面内有10个点，以其中每2个点 为端点的线段共有多少条？
⑵ 平面内有10个点，以其中每2个点 为端点的有向线段共有多少条？
解：⑴ C120 45（组合问题）
⑵ P120 90（排列问题）
C61
，C41 C62
，
一共有
C
3 4
+
C
2 4
C61
+C
1 4
C62=100种方法．
解法二：（间接法）C130 C63 100
3．设 x∈N,求
C x1 2 x3
C
2 x3 x1
的值．
解：由题意可得：2x x1
3
x 2x
1 3
即：2≤x≤4 ∵ x∈N ∴x=2或3或4 当x=2时原式值为7； 当x=3时原式值为7； 当x=2时原式值为11． ∴所求值为4或7或11．
.
例3. 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学， 每人各得2本，有多少种不同的分法？
略解：C62 C42 C22 90
例4．4名男生和6名女生组成至少有1个 男生参加的三人实践活动小组，问组成 方法共有多少种？
解法一：（直接法）小组构成有三种情
形：3男，2男1女，1男2女，分别
有
C43
，C
2 4
（2）
冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古
俄
俄
俄
亚 军
美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄
中
美
古
组合数公式
从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个 元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的组合数，用符号
表C示。mn
写出从 a , b , c , d 四个元素中 任取三个元素的所有组合。
c
b
a
d