一次函数分类讨论专题.

1 2 S t . 2
2t 4
1 S 4 (4 t ) 2 2
与一次函数有关的分类
在下图三角形的边上找出一点，使得该点与
三角形的两顶点构成等腰三角形！
A
110° 20° 50°
B
C
（分类讨论）
1、对∠A进行讨论
C 110° 20° 50°
C
20° 20°
A
B
A C
20° 20°
B 2、对∠B进行讨论 C
65°
3、对∠C进行讨论
C
110° 35° 50°
A C
80° 20° 80°
B
65°
35°
A
50°
C
BA
B
50°
A
BA
B
(2008中考）18.（9分）复习“全等三角形”的知识时， 老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中， AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转 至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接 BQ、CP，则BQ=CP．” 小亮是个爱动脑筋的同学，他通 过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得 BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的 条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证 明． Q
基本方法和步骤： 确定讨论对象； 确定分类标准； 对所分类逐步进行讨论； 归纳小结
与一次函数有关的分类
1、已知函数y=（3-a)x+1-2a. (1)当a取何值时，这个函数是一次函数？
(2)当a取何值时，这个函数是正比例函数？
2. 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是 -3≤x≤ 6,相应的函数值的取值范围是 -5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式 。 -5=-3k+b -2=6k+b -5 =6k+b
y
2
4 y= 3 x+4
B
P
1
A
0
3
x
P
4 2、若直线 y= x+b 与两坐标轴围成的三角形 3
的面积是6，求b的值。
y
4 y= 3 x+4
B
1
A
0
B
2
x
y= 4 x-4 3
3、若直线 y= 4 x+4 与两坐标轴交于点A、B， 3 直线L经过原点，与线段AB交于点C，把△ABO 的面积分为2:1两部分，求直线L的解析式。
A
A
Q P B
图①
P
C
B
图②
C
（2010中考）22.（1）操作发现 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折 叠后得到△GBE，且点G在举行ABCD内部．小明将BG 延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由． （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求 的值； （3）类比探求 保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求 的值．
-2=-3k+b
解析式为 Y= 1 x-4, 或 y=- 1 x-3
3
3
在平面直角坐标系中，已知直线y= 4 x+4与x轴交于 3 点A，与y轴交于点B,
求 :(1)点A、B的坐标， (2)点P（t，0）是x轴上的 一个动点。当t取何值时， △ABP是等腰三角形？
y
B
4 y= x+4 3
A
0
x
在平面直角坐标系中，已知直线y= 4 3 点A，与y轴交于点B,
分类讨论思想的应用
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如图，矩形ABCD中， AB=3，BC=4，点E是BC 边上一点，连接AE，把∠B 沿AE折叠，使点B落在点 B′处．当△CEB′为直角三角 形时，BE的长为______．
当△CEB′为直角三角形时，有三种情况 ①∠EB′C=90° ②∠B′CE=90° ③∠B′EC=90°
A
引起分类讨论的原因主要有： 1、涉及的数学概念是分类进行的 2、涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或 者条件限制，或者是分类给出的 3、解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围 进行讨论 4、某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不 确定的结论等
进行分类讨论时， 我们要遵循的原则是：“不漏不重”。
y
y= 3 x+4
4
B
C C
1
E
A
F
0
x
我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习,预 订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标 准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案．甲家是35人 （含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费 ；乙家是45人（含45人） 以内的按标准收费，超过45人的，超出部 分按八折收费．如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠 些？
D
B
B E
'
①当∠EB′C=90°时 如图1 此时点A、B′、C共线，
3 ∴BE= 2
C
B
A
''
②当∠B′CE=90°时，不存在。
D
③当∠B′EC=90°时，如图2 此时ABEB′为正方形， ∴BE=AB=3． 3 综上所述，BE的长为 或3．
2
B E
C
3 故答案为： 或3． 2
分类是在题目部分条件缺失或不明确的情况下，将数学 对象区分为不同种类的思想方法．在解答问题时，需要 对各种情况加以分类，并逐类求解，再加以综合。 分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想
（3）点P是坐标轴上的一 个点，以AB为一边作等腰 三角形△ABP，满足条件的 点P有几个？
x+4与x轴交于
y= 4 3 x+4
y
B
A
0
x
4 在平面直角坐标系中，已知直线y= 3 x+4与x轴交于 点A，与y轴交于点B,求点A、B的坐标，
（3）在坐标平面内确定一 点P（t，0),使以点A、B、 P O、P为顶点的四边形为平 行四边形
解：设总人数是x， 当x≤35时，选择两个，宾馆是一样的； 当35＜x≤45时，选择甲宾馆比较便宜； 当x＞45时，甲宾馆的收费是：y甲=35×120+0.9×120×（x﹣35）， 即y甲=108x+420； y乙=45×120+0.8×120（x﹣45）=96x+1080， 当y甲=y乙时，108x+420=96x+1080，解得：x=55； 当y甲＞y乙时，即108x+420＞96x+1080，解得：x＞55； 当y甲＜y乙时，即108x+420＜96x+1080，解得：x＜55； 总之，当x≤35或x=55时，选择两个，宾馆是一样的； 当35＜x＜55时， 选择甲宾馆比较便宜； 当x＞55时，选乙宾馆比较便宜．
与一次函数有关的分类
如图，边长为2的正方形 ABCD中，顶点A的坐标是 （0，2）.一次函数y＝x＋t的 图象l随t的不同取值变化时， 正方形中位于l的右下方部分 的图形面积为S．写出S与t的 函数关系式．
y C l A
D
B
O
x
t0y
D A Cl B
t2
D
y C
t4
l
A
B
O
x
O
x
0t 2