运筹学06-运输问题

海华设备厂运输成本表 运输成本( 运输成本 ( 元 / 台 ) 分厂名称 用户1 用户2 用户3 用户 1 用户 2 用户 3 分厂A 分厂 A 6 7 5 分厂B 分厂 B 8 4 2 分厂C 分厂 C 5 9 10 下月设备需求量( 下月设备需求量 ( 吨 ) 22 13 12
用户4 用户 4 3 7 6 13
不平衡运输问题(2)：供不应求 不平衡运输问题(2)：供不应求 设置虚拟供应节点 供应节点
6 7 5
运输成本
需求节点 1 d1=22 需 求 量 3 d3=12
sA=14 供 应 量 sB=27 sC=19
1
2
3
3 8 4 2 7 0 0 0 0
2
d2=13
4
d4=13
6.2 初始基可行解的确定
i=1 i j =1
m
n
j
对于不平衡型运输问题通常通过设立虚拟供应节点或 对于不平衡型运输问题通常通过设立虚拟供应节点或 虚拟供应节点 虚拟需求节点将其转化为平衡型运输问题求解 将其转化为平衡型运输问题求解。 虚拟需求节点将其转化为平衡型运输问题求解。
平衡型运输问题的数学模型
Min Z = ∑∑cij xij
6.1 运输问题的数学模型
若一家公司拥有多个工厂，这些工厂位于不同的地点， 若一家公司拥有多个工厂，这些工厂位于不同的地点， 并且生产同一种产品。这些产品要运输到不同的地点， 并且生产同一种产品。这些产品要运输到不同的地点， 以满足用户的需求（或者如前例中类似的问题）。 以满足用户的需求（或者如前例中类似的问题）。 供应节点：这些工厂，它们是运输的起点； 供应节点：这些工厂，它们是运输的起点； 需求节点：用户所在点，它们是运输的终点或目的地。 需求节点：用户所在点，它们是运输的终点或目的地。 同时假定产品不能在供应节点之间运输， 同时假定产品不能在供应节点之间运输，也不能在需求 节点之间运输。 节点之间运输。 公司面临的问题是：应如何组织运输， 公司面临的问题是：应如何组织运输，才能在满足供应 节点的供应量约束和需求节点的需求量约束的前提下， 节点的供应量约束和需求节点的需求量约束的前提下， 使得运输成本最低。 使得运输成本最低。 这类问题就是运输问题。 这类问题就是运输问题。 运输问题
定义：凡能排列成 定义： 或
xi1 j1 , xi1 j2 , xi3 j2 ,L, xis js , xis j1 xi1 j1 , xi2 j1 , xi2 j3 ,L, xis js , xi1 js
i=1 i j
m
∑x = ∑
j =1 ij j =1
ai n = ∑bj = ai Q Q j=1
(i =1,2,L, m)
所以 xij =
aibj Q
(i =1,2,L, m) ( j =1,2,L, n)
n
是运输问题的一个可行解。 是运输问题的一个可行解。
又由于 cij ≥ 0 所以
m
(i =1,2,L, m; j =1,2,L, n)
22 22
13 13
12 0
最小元素法( ) (2) 最小元素法(3)
1 A 6 7 2 5 3 3 4 14 1
13
B 8 4 2 7 27 2
13
C 5 9 10
12
6 19 13 0 19
22 22
13 0
12 0
最小元素法( ) (2) 最小元素法(4)
1 A 6 7 2 5 3 3 4 14 1
且为极小化问题， 且为极小化问题， 故一定存在最优解。 故一定存在最优解。
Z = ∑∑cij xij ≥ 0
i=1 j =1
运输问题的基本性质 运输问题是一类特殊的线性规划问题 对于平衡型运输问题： 对于平衡型运输问题： 约束方程数为m+n个，但有一个冗余方程， 个 但有一个冗余方程， 约束方程数为 所以独立方程数为m+n-1个，即秩 所以独立方程数为 个 r(A)=m+n-1。 。 存在最优解 当供应量和需求量均为整数时， 当供应量和需求量均为整数时，存在整数最 优解。 优解。 基可行解中基变量个数为m+n-1个 个 基可行解中基变量个数为
m行
n行
(3) 运输问题的特征
定理：平衡运输问题必有可行解与最优解。 定理：平衡运输问题必有可行解与最优解。 证：对于平衡运输问题
Min Z = ∑∑cij xij
i=1 j =1 ij
m
n
s.t.
∑x ∑x
i=1 j =1 m
n
= ai = bj
i =1,2,L, m j =1,2,L, n 对 有 i和 所 的 j
Fra Baidu bibliotek
(2) 运输问题的分类
根据运输问题中总供应量与总需求量的关系可将运输 问题分为两类： 问题分为两类： 平衡型运输问题和不平衡型运输问题。 平衡型运输问题和不平衡型运输问题。 平衡型运输问题： 平衡型运输问题：
∑a = ∑b
i=1 i j =1
m
n
j
不平衡型运输问题： 不平衡型运输问题：
∑a ≠ ∑b
13
B 8 4 2 7 27 2
13
C 5 9 10
12
6 19 13 0 0
19
22 3 13 0 12 0
最小元素法( ) (2) 最小元素法(5)
1 A 6 1 7 2 5 3 3 4 14 0
13
B 8 4 2 7 27 2
13
C 5 9 10
12
6 19 13 0 0
19
22 2 13 0 12 0
例：海华设备厂下设三个位于不同地点的分厂A，B，C，该 海华设备厂下设三个位于不同地点的分厂 ， ， ， 三个分厂生产同一个设备，设每月的生产能力分别为14台 三个分厂生产同一个设备，设每月的生产能力分别为 台、 27台和 台。海华设备厂有四个固定的用户，该四个用户下 台和19台 海华设备厂有四个固定的用户， 台和 月的设备需求量分别为22台 台和13台 月的设备需求量分别为 台、13台、12台和 台。设各分厂 台 台和 的生产成本相同， 的生产成本相同，从各分厂到各用户的单位设备运输成本如 下表所示，而且各分厂本月末的设备库存量为零。 下表所示，而且各分厂本月末的设备库存量为零。
6 7 5
运输成本
需求节点 1 d1=22
3
3 8 4 2 7 5 9 10 6
2
d2=13 量 d3=12
3
4
d4=13
海华设备厂运输问题的表格表示
1 2 7 5 3 3 4 14
A B C
6
x11
8 4
x12
2
x13
7
x14 x24
6
x21
5 9
x22
10
x23 x33
12 13
27
x31
22 13
运输费用最小的运输方案。 求：运输费用最小的运输方案。
解：设xij为i 仓库运到j工厂的原棉数量 其中： 其中：i ＝1，2，3
j ＝1，2，3
Min Z= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 x11 + x12+ x13 ≤ 50 x21 + x22+ x23 ≤ 30 x31 + x32+ x33 ≤ 10 s.t x11 + x21+ x31 ≥ 40 x12 + x22+ x32 ≥ 15 x13 + x23+ x33 ≥ 35 xij ≥ 0 类似的例子： 类似的例子： 教材P6-P7，例3 教材 ，
最小元素法( ) (2) 最小元素法(6)
1 A 6 7 2 5 3 3 4 14 0
1
B 8 4 2 7
13
27 0
2
C 5 9
13
10
12
6 19 13 0 0
19
22 0 13 0 12 0
6.3 最优性检验与基可行解的改进
(1) 最优性检验 充要条件
σ ij ≥ 0
i = 1,2, L , m j = 1,2, L , n
月生产能力( 吨 ) 月生产能力 ( 14 27 19
问该厂应如何安排下月的生产与运输， 问该厂应如何安排下月的生产与运输，才能在满足四个用 户需求的前提下使总运输成本最低。 户需求的前提下使总运输成本最低。
海华设备厂运输问题网络图 运输问题网络图 供应节点 sA=14 供 应 量 sB=27 sC=19 2 1
两种获得基可行解的常用方法： 两种获得基可行解的常用方法： 西北角法 最小元素法
(1) 西北角法
14
8
13
6
6
13
(2) 最小元素法(0) 最小元素法( )
1 A 6 7 2 5 3 3 4 14 14
B
8
4
2
7
27
27
C
5
9
10
6
19 13 13
19
22 22
13 13
12 12
(2) 最小元素法(1) 最小元素法( )
求
供 应 量 约 束
不平衡运输问题(1)：供过于求 不平衡运输问题(1)：供过于求 设置虚拟需求节点 供应节点 sA=14 供 应 量 sB=27 sC=19 2 1
6 7 5
运输成本
需求节点 1 d1=22 需 求 量 3 d3=12
3
0 8 4 2 0 5 9 10 0
2
d2=13
4
d4=13
ij
xij ≥ 0,
n
令： Q = ∑ai = ∑bj
i=1 j =1
m
xij =
aibj Q
(i =1,2,L, m) ( j =1,2,L, n)
则有
xij ≥ 0
m ij
(i =1,2,L, m; j =1,2,L, n)
m
∑x = ∑ Q
i=1
n
aibj
aibj
=
bj
i=1
n
∑a = b ( j =1,2,L, n) Q
i =1 j =1 ij m n
模型包含
i =1,2,L, m j =1,2,L, n 对 所有 i和j 的
s.t.
∑x ∑x
i=1 j =1 m
n
= ai = bj
变量： 变量：m×n个 个 约束方程： 约束方程：m+n个 个 秩：r(A)=m+n-1
ij
xij ≥ 0,
1 1 L 1 1 1 L 1 L 1 1 L 1 A= 1 1 1 1 1 1 O O L O 1 1 1
第六章 运输问题
6.1 运输问题的数学模型 6.2 初始基可行解的确定 6.3 最优性检验与基可行解的改进 6.4 其他运输问题
运输问题（纺纱厂） 运输问题（纺纱厂）
运输 单价 仓 1 2 库 3 需求 工 1 2 2 3 40 2 1 2 4 15 厂 3 3 4 2 35 库存 50 30 10
由于基变量的检验数σij= 0,只需确定非基变量的检 由于基变量的检验数 只需确定非基变量的检 验数！ 验数！ 确定非基变量检验数的常用方法主要是： 确定非基变量检验数的常用方法主要是： 闭回路法——一个非基变量与某些基变量构成唯 闭回路法 一个非基变量与某些基变量构成唯 一闭回路,基可行解中基变量不含闭回路 基可行解中基变量不含闭回路。 一闭回路 基可行解中基变量不含闭回路。 位势法——利用对偶变量 位势法 利用对偶变量
(1) 运输问题数学模型
Min Z = ∑∑cij xij
i=1 j =1 ij m n
s.t.
∑x ∑x
i=1 j =1 m
n
≤ ai ≥ bj
i =1,2,L, m j =1,2,L, n 对 有 i和j 所 的
ij
xij ≥ 0,
xij —— 供应节点 至需求节点 的运输量； 供应节点i 需求节点j的运输量 的运输量； ai —— 供应节点 的可供应量，i=1,2, …,m； 供应节点i的可供应量 的可供应量， bj —— 需求节点 的需求量，j=1,2,…,n； 需求节点j的需求量 cij —— 供应节点 至需求节点 的单位运输成本。 供应节点i至需求节点 至需求节点j的单位运输成本
x32
x34
19
海华设备厂运输问题线性规划模型
min s.t.
z = 6x11 + 7x12 +5x13 +3x14 +8x21 + 4x22 + 2x23 + 7x24 +5x31 +9x32 +10x33 + 6x34 x11 + x12 + x13 + x14 x21 x11 x12 x13 x14 x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 + x21 + x22 + x23 + x24 x24 x31 x32 x33 + x22 + x23 + x24 x31 + x31 + x32 + x32 + x33 + x34 x34 + x33 + x34 ≤ 14 ≤ 27 ≤ 19 ≥ 22 需 ≥ 13 量 约 ≥ 12 束 ≥ 13 ≥ 0
1 A 6 7 2 5 3 3 4 14 14
B
8
4
2
7
27
15
12
C 5 9 10 6 19 13 13 19
22 22
13 13
12 0
最小元素法( ) (2) 最小元素法(2)
1 A 6 7 2 5 3 3 4 14 1
13
B 8 4 2 7 27 15
12
C 5 9 10 6 19 13 0 19