2019年重点中学自主招生考试数学试卷及答案

2019年重点中学自主招生考试数学试卷

满分：120分 时间：90分钟 2019.2

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） （1）如果一元一次不等式组⎩

⎨

⎧>>a x x 3

的解集为x ＞3，则a 的取值范围是 A ．a ＞3 B ．a ≥3 C ．a ＜3 D ．a ≤3 （2）若实数x 满足1222

3

-=++x x x ，则99

3

2

x x x x ++++ =

A ．1-

B ．0

C ．1

D ．99

（3）如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线, 称得它的质量为a 克，再称得剩余电

线的质量为b 克，那么原来这卷电线的总长度是

A ．a b 1+米

B ．（a b +1）米

C ．（a+b a +1）米

D ．（b a +1）米

（4）若实数n 满足2)45()46(2

2

=-+-n n ，则代数式)45)(46(n n --的值是

A ．1-

B ．2

1-

C ．21

D ．1

（5）已知方程2

(21)10x k x k +++-=的两个实数根12,x x 满足1241x x k -=-，则实数k

的值为 A ．—3，0 B ．1，43-

C ．1，1

3

- D ．1，0 （6）如图，矩形AOBC 的面积为16，反比例函数x

k

y =

的图象经过矩形的对角线的交点P ，则反比例函数的解析式是

A ．

x y 1= B ．x y 2

=

C ．x y 4=

D ．x y 8

= （7）设213a a +=，2

13b b +=，且a b ≠，则代数式3311b

a +的值为 A ．24- B ．18- C ．18 D ．24 （8）当x 分别取值

201，191，18

1

，…31，21，1，2，3，…，18，19，20时，计算代数

式2

2

11x x +-的值，将所得的结果相加，其和等于 A ．－20 B ．0 C ．1 D ．20

（9）如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当

滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为

A ．32

B ．4

C ．π

D ．2π

（10）方程81322

2

=++y xy x 的整数解(,)x y 的组数为

A ．7

B ． 6

C ．5

D ．4 A C B （第6题）

x

y O P

二、填空（本题有7个小题，其中11题6分，其余每小题4分，共30分） （11）直接写出下列关于x 的方程的根：

①015722

=-+x x ； ②24)3)(2)(1(=+++x x x x ；

③41

12

2

=+++

x x x

x ；④01)2(2=+--+a x a x ； （12）已知三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且x =a a ＋b b ＋c c ＋ab ab ＋ac ac ＋c

b bc

，

则ax 3＋bx 2＋cx ＋1=_________.

（13）若化简16812

+---x x x 的结果为52-x ，则x 的取值范围是 . （14）如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长

线交AB 于点Q ，那么:DPQ ABC S S ∆∆=______________. （15）若实数a 、b 满足b ＞a ＞0，且ab b a 42

2

=+，

则b

a b a +-= . （16）若实数b a ,满足0111=+--b

a b a ，则

=+ab b a 2

2

. （17）桌面上有三颗球，相互靠在一起。已知其中两个大球的半径均为3cm ，一个小球半径

1cm ，则这三颗球分别与桌面相接触的三点构成三角形的面积为 cm 2.

三、解答题（本题有6小题，共60分）

（18）本题满分8分

（Ⅰ）先化简，再求值：11)131()11(2

2-⨯--÷++x x

x x x ，其中x =︒60sin . （Ⅱ）已知正实数x ，y 满足：0622

2

=-+y xy x ，求2

22

2y

3xy 2-x y 6xy 5x 4++-的值.

如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，sin B =

3

5

，D 是BC 上一点，DE ⊥AB 于E ，CD =DE ，AC +CD =9．

（Ⅰ）求BC 的长； （Ⅱ）求CE 的长.

（20）本题满分8分

已知直线11

:n n l y x n n

+=-

+（n 是正整数）.当n =1时，直线1:21l y x =-+与 x 轴和y 轴分别交于点1A 和1B ,设△11OB A (O 是平面直角坐标系的原点)的面积为1s ；当n =2

时，直线231

:22

l y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点2A 和2B ，设△22OB A 的面积为2s ，…,

依此类推,直线n l 与x 轴和y 轴分别交于点n n A B 和，设n n A OB ∆的面积为n S .

（Ⅰ）求△11OB A 的面积1s ； （Ⅱ）求2013321s s s s +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++的值.

（21）本题满分12分

如图, 已知抛物线c bx x y ++=

2

2

1与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，1-）．

（Ⅰ）求抛物线的解析式；

（Ⅱ）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面

积最大时，求点D 的坐标；

（Ⅲ）若ΔABC 的外接圆⊙P 与y 轴的另一个交点为F ，请直接写出点F 的坐标和⊙P 的

面积．

B

A

（第19题）