2020届高三第二次教学质量监测理科数学试题(原卷版)
2020届高三数学第二次教学质量检测试题理
2020届高三数学第二次教学质量检测试题理本试卷4页，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，则A．B．C．D．2．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知函数与它的导函数的定义域均为，则下列命题中，正确的是A．若是的极值点，则B．若是偶函数，则一定是偶函数C．若，则D．若的图象在区间连续不断，则在上一定有最大值4．为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资．爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有第6题图A．10种B．40种C．80种D．240种5．已知非零向量，满足，则与的夹角为A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为A．4 B．5C．6 D．77．关于函数有下述四个结论：①在区间上是减函数；②的图象关于直线对称；③的图象关于点对称；④在区间上的值域为．其中所有正确结论的个数是A．1 B．2 C．3 D．48．已知外接圆面积为，，则周长的最大值为A．B．C．3 D．9．已知为椭圆的左焦点，为坐标原点，点在椭圆上且位于轴上方，点，若直线平分线段，则的大小为A．B．C．D．无法确定第10题图10．如图是某三棱柱的正视图，其上下底面为正三角形，则下列结论成立的是A．该三棱柱的侧视图一定为矩形B．该三棱柱的侧视图可能为菱形C．该三棱柱的表面积一定为D．该三棱柱的体积一定为11．设，若和被除得的余数相同，则称和模同余，记为，已知，则的值可能是A．B．C．D．12．梯形中，，，，，现将沿折起，使得二面角的大小为，若四点在同一个球面上，则该球的表面积为A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省合肥市2020年高三第二次质量检测理科数学试卷文字版含解析
合肥市2020年高三第二次教学质量检测数学试题（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题元效．第I 卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的．1．若集合{}{}22,0322≥=≤--=x x B x x x A ，则B A I =（ ） A ．]3,21[ B ．]1,21[ C ．]21,3[- D ．]3,2[2．欧拉公式θθθsin cos i e i +=把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数θcos 和θsin 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z 满足i z i e i =⋅+)(π，则z =（ ）A ．1B ．22C ．23 D ．2 3．若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≥-+032304042y x y x y x ，则y x z -=2的最小值是（ ）A ．5-B ．4-C ．7D ．164．已知)(x f 为奇函数，当0<x 时，2)(ex ex f x -=-（e 是自然对数的底数），则曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程是（ ）A ．e ex y +-=B ．e ex y +-=C ．e ex y +-=D ．e ex y +-=5．若110tan 380cos =+οοm ，则m =（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．4-6．已知函数)20,0)(tan()(πϕωϕω<<>+=x x f 的图象关于点)0,6(π成中心对称，且与直线y=a 的两个相邻交点间的距离为2π，则下列叙述正确的是（ ） A ．函数的最小正周期为πB ．函数)(x f 图象的对称中心为))(0,6(Z k k ∈+ππC ．函数)(x f 的图象可由2tan =y 的图象向左平移6π得到 D ．函数)(x f 的递增区间为))(62,32(Z k k k ∈+-ππππ 7．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱青），将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a+b ，宽为内接正接正方形的边长d ，由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图3．设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则下列推理正确的是（ ）①由图1和图2面积相等得b a ab d +=； ②由AE≥AF 可得2222b a b a +≥+； ③由AD≥AE 可得b a b a 112222+≥+； ④由AD≥AF 可得ab b a 222≥+。
普通高中2020届高三数学质量测评试题二理含解析
B. ，且 与 相交
C。 ，且 与 异面
D. ，且 与 平行
【答案】D
【解析】
【分析】
取CF的中点H，连接 ,通过证明四边形 为平行四边形,可得 且 ,由在 中, 分别为PD和PH的中点，可得 且 ，综上,即可得到本题答案.
【详解】
取CF的中点H，连接 ，则在 中， ,所以 ， ，又因为 且 ，所以 ，且 ,所以四边形 为平行四边形,所以 ，且 .在 中， 分别为PD和PH的中点,所以 ，且 ，所以 ，且 ，即 .
∴ 展开式中含 的项为 ，
展开式中含 的项 ，
故 的系数为 。
故选：D。
【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力.
5。已知函数 ，若函数 在 处 切线方程为 ，则 的值为（ )
A. 1B. 2C。 3D。 4
【答案】B
【解析】
【分析】
对函数求导得 ,求得 的值，再根据切点既在切线上又在曲线上，可求得 的值,即可得答案。
【答案】 (1）。 1520 (2）。
【解析】
【分析】
第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，若次品是第 袋，则15个产品中次品 个,正品 个，分别进行计算，即可得答案。
【详解】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个,第5袋取5个，共取15个。若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
参考公式：锥体的体积公式: （其中 为锥体的底面积, 为锥体的高).
第Ⅰ卷（共60分）
安徽省合肥市2020年高三第二次教学质量检测理科数学试题(含答案)
A. -5
3.r+ 2y- 3
B. -4
C. 7
· D. 16
4.已知 f(:r） 为奇函数，当 .T < （：）时， f（�T) = e-.-r … ex2 ( e 是自然对数的底数〉 ， 则曲线
Y = f(.r）在 .T = 1处的切线方程是
A. y ＝一 町 ＋ e B. y = er +e
C. y ＝町 － e
充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥气若复数 z 满足 （eiir +
cost)
i) •
和 sin8 联系在一起，
z = i，则 I zl =
A ....
R号
已号
nD. ..!?.
2.r+y-4 注。
时崎旧隅
； ：三。 3.若实数 .T 'y 满足约束条件 x-y 十 4 ；主 0，则 z = 2x-y 的最小值是
同理得，CN 平面 ABEF ，∴ DM // CN . 又∵ DM CN ∴四边形CDMN 为平行四边形 ∴CD // MN .
∵M，N 分别是 AF，BE 的中点 ∴MN // AB
∴CD // AB .
………………………………5 分
(2)在 AB 边上取一点 P ，使得 AP DF .
由图(1)可得， ADFP 为正方形，即 AP FP . ∵M 为 AF 的中点 ∴MP MA .
合肥市 2020 年高三第二次教学质量检测
数学试题（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
2020届河南省普通高中高三第二次质量检测数学(理)试卷及解析
2020届河南省普通高中高三第二次质量检测数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.2.全部答案在答题卡完成,答在本试题上无效.3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.参考公式:锥体的体积公式:13V Sh =（其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高）. 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,集合{}2|log 1A x x =<,{}2|0B x x x =->,则A B =（ ）A. {|12x x <<}B. {|2x x <}C. {|12x x ≤≤}D. {|14x x ≤<}【答案】A【解析】 求出不等式2log 1x <和20x x ->的解,然后根据集合的交集运算,即可得到本题答案.【详解】由2log 1x <,得02x <<,故{|02}A x x =<<,由20x x ->,得1x >或0x <,故{|1B x x =>或0}x <,所以,{|12}A B x x =<<.故选：A2.已知复数z 满足21i z i-=+,则z =（ ）A. 132i +B. 132i -C. 32i +D. 32i - 【答案】B【解析】利用复数的除法运算,即可得答案.【详解】∵2(2)(1)131(1)(1)2i i i i z i i i ----===++-. 故选：B.3.由我国引领的5G 时代已经到来,5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展,进而对GDP 增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带动国民经济各行业的发展,创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据,对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合下图,下列说法正确的是（ ）A. 5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B. 设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势【答案】ABD【解析】本题结合图形即可得出结果．【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位,而后期是信息服务商处于领先地位,故C 项表达错误．故选：ABD ．4.411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A. 10B. 24C. 32D. 56。
合肥市2020届高三第二次教学质量检测(理科数学)详细解析
x x
y1 ，
∴ 的分布列为
60x y1
60
3 4
x
x
y1
60 x x y1
p
0.4
0.4
0.2
E
0.4 60x
y1
0.4
60
3 4
x
x
y1
0.2 60
x x
y1
2 3
x3
15 2
x2
50x
160
.
………………………………9 分
设f
x E
2 3
x3
15 2
x2
50x
160
，0 x 20 ，∴ f x 2x2
15x 50 .
f x 0 0 x 10 ， f x 0 10 x 20 .
高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 4 页）
设平面 DFE 的一个法向量为m x，y，z .
由 FFDE
m m
0 0
得 xxzy00
.
令 x 1 ，则 y 1，z 1 ，∴m (1，1，-1).
由平面 ADF 是坐标平面 xMz 可得：平面 ADF 一个法向量为n (0，1，0).
由(1)知，MD 平面 ABEF ，∴MA，MP，MD 两两垂直.
以M 点为坐标原点，直线MA，MP，MD 分别为坐标轴建立空间直角坐标系M xyz ，如图.
设AF 2 ，则 D (0，0， 1)， A (1，0，0)， P (0，1，0)， F (-1，0，0)， ∴ FD (1，0，1)， FE AP (-1，1，0).
∵b1 b2 b3 bn 2 2 2 2 ，∴b1 b2 b3 bn1 2 2 ( n 2 )，
2020年山东省济南市高三第二次教学质量检测理科数学(PDF版)
5 3 15 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 19．（本小题满分 12 分)如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝ AC＝2，BC＝1，E，F 分别是 A1C1，BC 的中点.
π
|PQ|
(2)若直线θ＝
4
(ρ∈R)与曲线
C1
交于
M，N
两点，与曲线
C2
交于
P，Q
两点，求 的值． |MN|
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
1
(1)已知 x，y 均为正数，且 x>y，求证：2x＋
≥2y＋3；
x2－2xy＋y2
(2)设 a，b，c>0 且 ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥ 3.
等于( )
3π
π
A.
B.
4
3
π C.
4
π D.
6
7.如图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上 f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上 f(x)是减函数 C．在区间(4,5)上 f(x)是增函数 D．当 x＝2 时，f(x)取到极小值 8.已知△ABC 外接圆的圆心为 O，AB＝2 3，AC＝2 2，A 为钝角，M 是 BC 边的中点，则A→M·A→O 等于( )
A．[2，＋∞)
B．[1,2]
C．[1，＋∞)
D．(0,2]
2
ex
＋ln x
12.已知函数 f(x)＝ －k x
，若 x＝2 是函数 f(x)的唯一一个极值点，则实数 k 的
“四省八校”2020届高三第二次教学质量检测理科数学试题(含答案)
“四省八校”2020届高三第二次教学质量检测考试数学（理科）2019.11注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只高一个选项是符合题目要求的。
1.若全集U=R，集合A=(-oo , -1) U ( 4, + oo ) ,B = {x I I x I�2｝，则如图阴影部分所表示的集合为A. {x l -2�x <4}B. {x I x ：：：三2或z 注4}C.{x l -2�x � -1}D. {xl-l�x�2}2.已知（l+i)(l－αi)>O(i为虚数单位），则实数α等于A.-1 B.O C.l D.2u A 3.平面内到两定点A,B 的距离之比等于常数λ（λ＞0且λ;;if 1）的动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆．已知A(O,O) ,B(3 ,0), I P A I ＝上IPBI，则点P的轨迹围成的平面图形的面积为2A.2τB .4’rrc 卜D 卜4.α，b是单位向量，“（α＋b)2<2”是“α，b的夹角为钝角”的A.充要条件B.充分而不必要条件 c.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件5.设等差数列Ja n I的前几项和为止，己知s 11＝绍，则句＝A .6 B.5] h 1I 6.已知α＝log I 5O = , C = 6τ，则王4’4A.α＞b>cB.α＞c>b 7已知叮叮＋α）＝号，则sin 2α＝A.7－－25B.-+C .4c.c ＞α＞b c .l ...·s 数学｛理科）试题第l页｛共4页） D.3 D. b >c ＞αD 7 ·25。
陕西省2020届高三教学质量检测卷(二)数学 (理科)(word版)
2020年陕西省高三教学质量检测卷(二)数学(理科)一、选择题:本题共12小题每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数4(1zi=+i为虚数单位),则z的虚部为()A.2B.2iC. -2D.-2i2.已知集合A={x|-1≤x<1}2,{|,}B y y x x A==∈,则A∪B=()A,{x|-1≤x<1} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x< 1} D.{x|-1<x≤1}3.若变量x,y满足约束条件3,10,260,x yx yx y+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩则目标函数z=2x- y的最小值是A.-3B.01.3C10.3D4.已知向量a,b满足(1,3),(=a a-2b)⊥a,则b在a上的投影为()A.-1B.11.2C-1.2D5.已知函数2ln,01()43,1x xf xx x x-<≤⎧=⎨-+->⎩,若f(f(a))=1,则满足条件的实数a的个数是( )A.1B.2C.3D.46.设X~N(0,1),其正态分布密度曲线如图所示,点A(1,0),点B(2,0),点C(2,1),点D(1,1),向正方形ABCD内任意投掷一粒黄豆,则该黄豆落入阴影部分的概率是(注:2~(,)X Nμσ则P（μ-σ< X≤μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ< X≤μ +2σ）=0.9545，P（μ-3σ< X≤μ +3σ）=0.9973）A.0.8641B.0.6587C.0.5228D.0.97857.在公差不为0的等差数列{}n a中,213461,,a a a a==则2a=7.11A5.11B3.11C1.11D 8.已知(02παβ<<<,且6312cos(),sin 6513αββ-==,则sinα=3.5A -3.5B 4.5C -4.5D 9.若将函数()2sin(3)4f x x π=+的图象向右平移a(a>0)个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则a 的最小值为().4A π5.4B π.12C π5.12D π 10.在直三棱柱111ABC A B C -中,AB= BC= AC=a,1,AA b =若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且a+ b=2,则该球的表面积的最小值为()7.3A π13.4B π.2521C π.716D π11.已知抛物线2:4,C y x =点M(3,0),直线l 过焦点F 且与抛物线C 交于A,B 两点,若|AB|=8,则△AMB 的面积为()A.4.42B.43CD.812.已知函数21(),()2x f x xe x x a g x x =+++=lnx + 1,若存在1[2,2],x ∈-,对任意221[,]x e e∈，都有12()(),f x g x =，则实数a 的取值范围是()221.[32,32]A e e e e-----221.(32,32)B e e e e-----23.[32,]2C e e --23.(32,)2D e e --二、 填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分.13.如图是样本容量为1000的频率分布直方图，根据该图估计该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值是___14.在(51)(1)x ax ++的展开式中，2x 的系数为15,则a=___ 15.在△ABC 中,D 为AC 的中点,且AD: BD :73,AB =若7,BC =则△ABC 的周长为___16.已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>，过双曲线C 的左焦点F 2的直线交双曲线C 的左支于A,B 两点,若以AB 为直径的圆过坐标原点0,则双曲线C 的离心率为____三、解答题:共70分。
山东省济南市2020年高三第二次教学质量检测理科数学
(1)求证：平面 ABE⊥平面 B1BCC1； (2)求证：C1F∥平面 ABE； (3)求三棱锥 E－ABC 的体积.
x2 y2
11
20．（本小题满分 12 分）设椭圆 ＋ ＝1(a> 3)的右焦点为 F，右顶点为 A.已知 ＋
a2 3
|OF| |OA|
＝ 3e ，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率． |FA|
18．（本小题满分 12 分）某投资公司在 2019 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目 上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损
72 15%，且这两种情况发生的概率分别为 和 ；
99 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失 30%，
A．在区间(－2,1)上 f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上 f(x)是减函数 C．在区间(4,5)上 f(x)是增函数 D．当 x＝2 时，f(x)取到极小值 8.已知△ABC 外接圆的圆心为 O，AB＝2 3，AC＝2 2，A 为钝角，M 是 BC 边的中点，则A→M·A→O 等于( )
A.3
只一项是符合题目要求的． 1.若集合 A＝{x∈N|x≤ 2 020}，a＝2 2，则下列结论正确的是( )
A．{a}⊆A
B．a⊆A
C．{a}∈A
D．a∉ A
2.设 z＝1－i＋2i，则|z|等于( ) 1＋i
1
A.0
B.
C.1
D. 2
2
f x＋1
3.若函数 y＝f(x)的定义域是[0,2 020]，则函数 g(x)＝
31 1 也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 ， 和 .
广州市2020年高三第二次教学质量检测理科数学原卷版
广州市2020年高三第二次教学质量检测数学试题（理科）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题元效．第I卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的．1..已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围为( ) A．[－1,2) B．[－1,3]C．[2，＋∞) D．[－1，＋∞)2.若复数z满足i z＝2－2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数z在复平面内对应的点所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知函数f(x)＝x－x(x>0)，g(x)＝x＋e x，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则( ) A．x1<x2<x3B．x2<x1<x3C．x2<x3<x1D．x3<x1<x24.已知函数y＝f(x)的图象为如图所示的折线ABC，则ʃ1－1[(x＋1)f(x)]d x等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－15.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且∀x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0 6.已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( )A.(2,0)B.(－3,6)C.(6,2)D.(－2,0)7.已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( ) A.18 B.12 C.1 D.2 8.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A.a ≥43B.0<a ≤1C.1≤a ≤43D.0<a ≤1或a ≥439.已知函数f (x )＝x 2x －1，g (x )＝x 2，则下列结论正确的是( ) A ．h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数B ．h (x )＝f (x )＋g (x )是奇函数C ．h (x )＝f (x )g (x )是奇函数D ．h (x )＝f (x )g (x )是偶函数10.执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤252411.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P 都有|PF 2|2＝8a |PF 1|(a 为实半轴长)，则此双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(2,3]C ．(1,3]D ．(1,2]12.对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g (x )＝2x 3－6x 2＋4，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2100＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫199100＝（ ） A ．0 B ．3 C ．6 D ．8第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在答题卡上的相应位置．13．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.14．过点A (3,5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为__________．15．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．16．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是____________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若f (0)＝3，且AB →·BC →＝π28－8，B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若将f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．18．（本小题满分12分）某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ；(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.20．（本小题满分12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .21．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x ln x －e x ＋1.(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)证明：f (x )<sin x 在(0，＋∞)上恒成立．请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线C1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ.(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－1|，关于x的不等式f(x)<3－|2x＋1|的解集记为A.(1)求A；(2)已知a，b∈A，求证：f(ab)>f(a)－f(b)．。
2020届河南省信阳市高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年普通高中高三第二次教学质量检测数学(理科)第Ⅰ卷（共60分）本试卷分第I 卷(选择题)和第1卷(非选择题)两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷.上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项:1.答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B 铅笔将准考证号填涂在相应位置.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|160A x x =-≤，{}lg 20B x x =-，则A B =I （ ） A. [)(]4,13,4-⋃ B. [)(]4,31,4--⋃- C. ()()4,13,4-U D. ()()4,31,4--⋃-【答案】A 【解析】求解二次不等式可得：{}|44A x x =-≤≤， 求解对数不等式可得：{}31B x x x =<或， 结合交集的定义有：[)(]4,13,4A B ⋂=-⋃. 本题选择A 选项.2.复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z :满足122z z ⋅=-.则2z 等于（ ）A.B. 2C. D. 10【答案】A 【解析】 【分析】根据复数1z 的几何意义得出复数1z ，进而得出1z ，由122z z ⋅=-得出212z z =-可计算出2z ，由此可计算出2z .【详解】由于复数1z 对应复平面上的点()1,1--，11z i ∴=--，则11z i =-+，122z z ⋅=-Q ，()()()2121221111i z i i i i z +∴=-===+--+，因此，2z ==故选：A.【点睛】本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.3.正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ）A. 35B. 36C. 45D. 54【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列{}n a 通项公式得2375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能求出9S .【详解】Q 正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，2375150a a a +-+=，2552150a a ∴--=，解得55a =或53a =-（舍），()91959995452S a a a ∴=+==⨯=，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.4.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷500颗米1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A. 134B. 67C. 182D. 108【答案】B 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论. 【详解】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为12，12，小正方形的面积211222S ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为125001500(10.866)5000.134********⎛⎫⨯=-⨯≈-⨯=⨯= ⎪ ⎪⨯⎝⎭，故选：B .【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.5.在ABC ∆中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r，则λμ+等于（ ）A.12B.23C.16D.13【答案】A 【解析】 分析】根据题意，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,AH BH u u u r u u u r 与AM u u u u r，求出,λμ的值即可.【详解】解：根据题意，设BH xBC =u u u r u u u r，则11111()()()22222AM AH AB BH AB xBC AB x AC AB ==+=+=+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11(1)22x AB xAC =-+u u u r u u u r ，又AM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，11(1),22x x λμ∴=-=，111(1)222x x λμ∴+=-+=，故选：A .【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题. 6.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ，【A. 5?i >B. 5?i <C. 4?i >D. 4?i <【答案】D 【解析】 【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项，【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，， 第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，， 第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，， 此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D，【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题， 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可，7.将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6π=ϕ”是“()f x 是偶函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】求出函数()y f x =解析式，由函数()y f x =为偶函数得出ϕ的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为()sin 3sin 393f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若函数()y f x =为偶函数，则()32k k Z ππϕπ+=+∈，解得()6k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，6π=ϕ. 因此，“6π=ϕ”是“()y f x =是偶函数”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.8.已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是 A. 2()(2)3-∞+∞，，U B. 2(2)3， C. 22()33-，D. 22()()33-∞-+∞，，U 【答案】D 【解析】 【分析】先由(2)f x +是偶函数，得到()f x 关于直线2x =对称；进而得出()f x 单调性，再分别讨论232x -≥和232x -<，即可求出结果.的【详解】因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称； 因此，由(0)0f =得(4)0f =；又()f x 在(]2-∞，上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上单调递增；所以，当232x -≥即0x ≤时，由(23)0f x ->得(23)(4)f x f ->，所以234x ->， 解得23x <-； 当232x -<即0x >时，由(23)0f x ->得(23)(0)f x f ->，所以230x -<， 解得23x >； 因此，(23)0f x ->的解集是22()()33-∞-+∞，，U . 【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型. 9.函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.【详解】设()ln 1g x x x =--，(1)0g =，则1()ln 1f x x x =--的定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞U .1()1g x x'=-，当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单增，当(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单减，则()(1)0g x g ≥=.则()f x 在(0,1)x ∈上单增，(1,)x ∈+∞上单减，()0f x >.选B.【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.10.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A. 48 B. 72 C. 90 D. 96【答案】D 【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有13C •34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有44A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种 故答案为96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．11.已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. (2,)+∞B. 2)C.D.【答案】A 【解析】双曲线22x a﹣22y b =1的渐近线方程为y=b a ±x ，不妨设过点F 2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=ba（x ﹣c ），与y=﹣b a x 联立，可得交点M （2c ，﹣2bc a）， ∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF 2|，即有24c +2224b c a＞c 2， ∴22b a＞3，即b 2＞3a 2， ∴c 2﹣a 2＞3a 2，即c ＞2a ． 则e=ca＞2． ∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）． 故选A ．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12.已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在 1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭B. 13,24⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】可将问题转化，求直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定k 的取值范围即可【详解】可求得直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线为1y mx =-()m k =-，当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()'ln 1f x x =-，当x e =时，()'0f x =，则当()0,x e ∈时，()'0f x <，()f x 单减，当(),x e ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单增；当0x ≤时，()232f x x x =+，()3'22f x x =+，当34x =-，()'0f x =,当34x <-时，()f x 单减，当304x -<<时，()f x 单增； 根据题意画出函数大致图像，如图：当1y mx =-与()232f x x x =+（0x ≤）相切时，得0∆=，解得12m =-；当1y mx =-与()ln 2f x x x x =-（0x >）相切时，满足ln 21ln 1y x x xy mx m x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1,1x m ==-，结合图像可知11,2m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，即11,2k ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题第Ⅰ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在2nx ⎫⎪⎭的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.【答案】112 【解析】 【分析】由题意可得8n =，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值．【详解】2)nx的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，8n ∴=，通项公式为4843318(2)(2)n r r rrrrr nTC xC x--+=-=-g g g g ，令8403r-=，求得2r =， 可得二项展开式常数项等于284112C ⨯=， 故答案为112．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 14.设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14799a a a ++=，25893a a a ++=，若对任意*n N ∈都有n k S S ≤成立，则k 的值为__________． 【答案】20 【解析】 【分析】由已知条件得出关于首项和公差的方程组，解出这两个量，计算出n S ，利用二次函数的基本性质求出n S 的最大值及其对应的n 值，即可得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由14712581399931293a a a a d a a a a d ++=+=⎧⎨++=+=⎩，解得1392a d =⎧⎨=-⎩，()()()221139140204002n n n d S na n n n n n n -∴=+=--=-+=--+. 所以，当20n =时，n S 取得最大值，对任意*n N ∈都有n k S S ≤成立，则k S 为数列{}n S 的最大值，因此，20k =. 故答案为：20.【点睛】本题考查等差数列前n 项和最值的计算，一般利用二次函数的基本性质求解，考查计算能力，属于中等题.15.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过焦点F 且斜率为13的直线与抛物线相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则cos AOB ∠=__________. 【答案】313- 【解析】【分析】求得抛物线的焦点，设出直线AB 的方程，以及,A B 的坐标，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示和夹角公式，计算可得所求值. 【详解】解：抛物线()220y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， 设1:32p AB y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立22y px =， 可得224760x px p -+=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则2212121219,,4p x x p x x y y p +===-，则2121234OA OB x x y y p ⋅=+=-u u u r u u u r ，||||OA OB ⋅==u u u r u u u r2134p ===， 则22334cos 1313||||4p OA OB AOB OA OB p -⋅∠===-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，故答案为：313-.【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及向量的数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题. 16.若函数f （x ）=﹣56x ﹣112cos2x+m （sinx ﹣cosx ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则m 的取值范围是____________． 【答案】[3-，3] 【解析】 【分析】先求导得f ′，x ，=，56+16sin2x +m ，sin x +cos x ），令sin x+cos x =t，，t ≤≤则sin2x =t 2，1那么y =216t+ m t -1，h ，t ，=216t + m t -1≤0在t，[]恒成立．可得(00h h ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，解不等式得解.【详解】函数f ，x ，=，56x ，112cos2x +m ，sin x ，cos x ，,则f ′，x ，=，56+16sin2x +m ，sin x +cos x ），令sin x +cos x =t，，t ≤≤sin2x =t 2，1那么y =216t + m t -1，因为f ，x ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则h ，t ，=216t + m t -1≤0在t，[]恒成立．可得(00h h ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，即11031103⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩解得：m ≤≤，故答案为[3]， 【点睛】本题考查了利用导函数研究单调性，求解参数范围问题．属于中档题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在ABC V 中，已知点D 在边BC 上，且DAC 90∠=o，sin BAC 3∠=，AB =，AD 3=．()1求BD 长； ()2求cosC【答案】（1（2【解析】 【分析】()1由已知利用诱导公式可求cos BAD ∠的值，利用余弦定理即可计算BD 的长．()2由()1可求cos BAD ∠的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin BAD ∠，由正弦定理可求sin ADB ∠的值，根据诱导公式可求cosC 的值．【详解】（1）由题意，因为DAC 90∠=o ，πsin BAC sin BAD cos BAD 2∠∠∠⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，cos BAD ∠∴=在ABD V 中，由余弦定理得，222BD AB AD 2AB AD cos BAD ∠=+-⋅⋅，即2BD 1892333=+-⨯⨯=，得BD = ()2由cos BAD ∠=，得1sin BAD 3∠=， 在ABD V 中，由正弦定理，得：BD ABsin BAD sin ADB∠∠=．1AB sin BAD sin ADB BD 3∠∠⋅∴===， πADB DAC C C 2∠∠=+=+Q，cosC ∴= 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.设数列{}n a ，其前n 项和23n S n =-，又{}n b 单调递增的等比数列， 123512b b b =，11a b + 33a b =+.(Ⅰ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (Ⅱ)若()()21n n n n b c b b =-- ，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求证：213n T ≤<.【答案】（1）63n a n =-+，12n n b +=；（2）详见解析.【解析】【详解】（1）当1n =时，13n a S ==-，当2n ≥时，2213[3(1)]63n n n a S S n n n -=-=----=-+， 当1n =时，也满足63n a n =-+，∴63n a n =-+，∵等比数列{}n b ，∴2132b b b =， ∴3123225128b b b b b ==⇒=，又∵1133a b a b +=+，∴831582q q q -+=-+⇒=或12q =-（舍去）， ∴2122n n n b b q -+==；（2）由（1）可得：111112211(22)(21)(21)(21)2121n n n n n n n n n c +++++===-------，∴123n n T c c c c =++++L 2231111111()()()212121212121n n +=-+-++-------L 111121n +=-<-，显然数列{}n T 是递增数列，∴123n T T ≥=，即213n T ≤<.）19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆过点)（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M 、N 两点，点D 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2. 【解析】 【分析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，根据题意得出关于a 、b 、c 的方程组，求出2a 和2b 的值，即可得出椭圆C 的标准方程；（2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，当直线l x ⊥轴时，可得出直线l 的方程为1x =±，可求出四边形OMDN 的面积；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，求出点D 的坐标，将点D 的坐标代入椭圆C 的方程得出22212k m +=，计算出MN 以及原点O 到直线l 的距离，通过化简计算可得出四边形OMDN 的面积，进而得证.【详解】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题意可得222222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得24a =，22b =，因此，椭圆C 的标准方程为22142x y +=；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =.若直线l 的方程为1x =，联立221142x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩此时，MN =OMDN的面积为122= 同理，当直线l 的方程为1x =-时，可求得四边形OMDN； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，代人到22142x y +=，得()222124240k x kmx m +++-=，122412km x x k -∴+=+，21222412m x x k -=+，()228420k m ∆=+->， ()12122221my y k x x m k ∴+=++=+，12212MN x x k=-==+， 点O 到直线MN的距离d =由OM OC OD +=u u u u r u u u r u u u r，得122421D km x x x k =+=-+，122212D my y y k=+=+， Q 点D 在椭圆C 上，所以有222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m +=，由题意知，四边形OMDN 为平行四边形，∴平行四边形OMDN的面积为2122212OMDN OMNS S MN d k ∆==⨯⨯=+()222121k k +====+故四边形OMDN.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了四边形面积的计算，考查定值问题，一般利用直线与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，考查运算求解能力，属于中等题. 20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？ （3）如果用该区参赛考生成绩情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到0.001）附：①2204.75s =14.31=；②2(,)z N μσ:，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=.【答案】（1）70.5分；（2）634人；（3）0.499 【解析】 【分析】（1）根据平均数公式计算x ；（2）根据正态分布的对称性计算P （z ≥84.81），再估计人数； （3）根据二项分布的概率公式计算P （ξ≤3）． 【详解】（1）由题意知：∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯ 850.15950.170.5+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分. （2）依题意z 服从正态分布()2,N μσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布()()22,70.5,14.31N N μσ=，而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴()10.682684.810.15872P z -≥==.∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人.（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=.而()4,0.8413B ξ~，∴()()44431410.8413P P C ξξ≤=-==-⋅ 10.5010.499=-=.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1. 21.已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-，()ln g x b x x =-的最大值为1e． ()1求实数b 的值；()2当1a >时，讨论函数()f x 的单调性；()3当0a =时，令()()()22ln 2F x f x g x x =+++，是否存在区间[],(1m n ⊆，)+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域为()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦？若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 0b =;(2) 2a =时，()f x 在()0,+∞单调增；12a <<时, ()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增；2a >时,同理()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增；（3）不存在. 【解析】分析：(1)利用导数研究函数的单调性，可得当1x e=时， ()g x 取得极大值，也是最大值， 由111g b e e e⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可得结果；（2）求出()'f x ，分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（3）假设存在区间[](),1,m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域是()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦，则()()()()2222{22F m m mlnm k m F n n nlnn k n =-+=+=-+=+，问题转化为关于x 的方程()2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根，进而可得结果. 详解：(1) 由题意得()'ln 1g x x =--， 令()'0g x =，解得1x e=， 当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'>0g x ，函数()g x 单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()'<0g x ，函数()g x 单调递减.所以当1x e=时， ()g x 取得极大值，也是最大值， 所以111g b e e e⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得0b =. （2）()f x 的定义域为()0,+∞.()()()21111x x a a x ax a f x x a x x x-+---+-=-+==' ①11a -=即2a =,则()()21x f x x='-，故()f x 在()0,+∞单调增②若11a -<,而1a >,故12a <<,则当()1,1x a ∈-时，()0f x '<; 当()0,1x a ∈-及()1,x ∈+∞时，()0f x '>故()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增．③若11a ->,即2a >,同理()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增 （3）由（1）知()2ln 2F x x x x =-+，所以()'2ln +1F x x x =-，令()()'2ln +1x F x x x ω==-，则()1'20x xω=->对()1,x ∀∈+∞恒成立，所以()'F x 在区间()1,+∞内单调递增， 所以()()''110F x F >=>恒成立， 所以函数()F x 在区间()1,+∞内单调递增.假设存在区间[](),1,m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域是()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦，则()()()()2222{22F m m mlnm k m F n n nlnn k n =-+=+=-+=+，问题转化为关于x 的方程()2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根，即方程2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根，令()2ln 22x x x h x x -+=+， ()1,x ∈+∞，则()()22342ln '2x x x h x x +--=+， 设()2342ln p x x x x =+--， ()1,x ∈+∞，则()()()2122'230x x p x x x x-+=+-=>对()1,x ∀∈+∞恒成立，所以函数()p x 在区间()1,+∞内单调递增，故()()10p x p >=恒成立，所以()'0h x >，所以函数()h x 在区间()1,+∞内单调递增，所以方程2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内不存在两个不相等的实根. 综上所述，不存在区间[](),1,m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域是()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦. 点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值值，属于难题.求函数极值、最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 在 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2【解析】【分析】（1）首先利用221cos sin ϕϕ+=对圆C 参数方程1{x cos y sin ϕϕ=+=（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（2）设11P ρθ（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11ρθ，；设22Q ρθ（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22ρθ，，可得PQ ．【详解】（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=所以圆C 极坐标方程为2cos ρθ=.（2）设()11,ρθP ，则由2{3cos ρθπθ==解得11ρ=，13πθ=，得1,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭； 设()22Q ,ρθ，则由2sin 3{3πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=解得23ρ=，23πθ=，得3,3Q π⎛⎫ ⎪⎝⎭； 所以Q 2P =的【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.【此处有视频，请去附件查看】选修4-5：不等式选讲23.已知函数()1f x x =-.（1）解不等式()()48f x f x ++≥；（2）若1a <，1b <，0a ≠，求证：()b f ab a f a ⎛⎫>⎪⎝⎭. 【答案】（1）(][),53,-∞-+∞U ；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分3x <-、31x -≤≤、1x >三种情况解不等式()()48f x f x ++≥，即可得出该不等式的解集； （2）利用分析法可知，要证()b f ab a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证1ab a b ->-，只需证明2210ab a b --->即可，因式分解后，判断差值符号即可，由此证明出所证不等式成立.【详解】（1）()()22,34134,3122,1x x f x f x x x x x x --<-⎧⎪++=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩Q . 当3x <-时，由228x --≥，解得5x ≤-，此时5x ≤-；当31x -≤≤时，()8f x ≥不成立；当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥，此时3x ≥.综上所述，不等式()4f x ≤的解集为(][),53,-∞-+∞U ；（2）要证()a b f ab a f ⎛>⎫ ⎪⎝⎭，即证1ab a b ->-， 因为1a <，1b <，所以，21a <，21b <，()()222222222212121ab a b a b ab a ab b a b a b ∴---=-+--+=-+-()()()()2222211110a b b a b =---=--<. 所以，1ab a b ->-.故所证不等式成立.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用分析法和作差法证明不等式，考查分类讨论思想以及推理能力，属于中等题.。
陕西省西安市2020届高三下学期第二次质量检测理科数学试题 Word版含解析
西安市2020届高三年级第二次质量检测理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知R 是实数集，集合{}|2A x Z x =∈<，{}|210B x x =-≥，则()R AC B =（ ）A. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. {}1C. {}1,0-D. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】先求得的集合{}1,0,1A =-，1|2B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，进而得到R C B ，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}{}|21,0,1A x Z x =∈<=-，{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=-≥=≥⎨⎬⎩⎭， 所以1|2R C B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，所以(){}1,0R A C B =-.故选：C .【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的混合运算，其中解答中熟记集合运算的概念，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 2. 已知i 是虚数单位，复数31iz i+=+，则复数z 的共扼复数为（ ） A. 12i + B. 12i -C. 2i +D. 2i -【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算求出z 后，根据共轭复数概念得结论． 【详解】∵()()()()3134221112i i i iz i i i i +-+-====-++-，∴z 的共轭复数为2z i =+． 故选：C ．【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数的概念，属于基础题． 3. 已知向量()5,a m =，()2,2b =-，若()a b b -⊥，则实数m = ( ) A. -1 B. 1C. 2D. -2【答案】B 【解析】 【分析】根据向量坐标的线性运算得到a b -，再根据向量垂直的坐标表示，得到关于m 的方程，解出m 的值，得到答案.【详解】因为向量()5,a m =，()2,2b =- 所以()3,2a b m +=+，因为()a b b -⊥， 所以()0a b b -⋅=所以()6220m -+= 解得1m =. 故选：B.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，根据向量垂直关系求参数的值，属于简单题.4. 62x x ⎫-⎪⎭的展开式中常数项为（ ） A. 60 B. 60-C. 192-D. 192【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式，通过赋值法则问题得解.【详解】二项式62x x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为()33162rr r x r T C x -+=⋅-⋅，令3302r -=，求得2r ．可得展开式中常数项为()226260C -=．故选：A ．【点睛】本题考查利用二项式定理求制定项，属基础题.5. 某公司生产A ，B ，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则n =（ ） A. 96 B. 72C. 48D. 36【答案】B 【解析】 【分析】根据分层比例列式求解. 【详解】由题意得23872.99n n n -=-∴=选B. 【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.6. 已知a ，b 为非零实数，且0a b <<，则下列命题成立的是（ ） A. 22a b < B.2211ab a b < C. 22a b ab < D. b a a b<【答案】B 【解析】 【分析】举出反例,利用特殊值依次排除选项A 、D,由不等式的性质可排除C 【详解】对于选项A,令1a =-,1b =时,221a b ==,故A 不正确； 对于选项C,220a b ab >>,故C 不正确；对于选项D,令1a =-,1b =时,1b aa b =-=,故D 不正确； 对于选项B,220a b ab >>,则22110ab a b<<故选B【点睛】本题考查不等式的性质的应用,考查特殊值法处理选择题7. 如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三角形,则该几何体体积为（ ）A. 620π+B. 916π+C. 918π+D. 2063π+【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图可得该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥，根据三视图中的数据，利用椎体和球体的体积公式计算可得答案.【详解】由三视图可知：该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥， 该三棱锥中一条侧棱与底面垂直，底面三角形为等腰直角三角形， 其中腰长为323，而球体的半径为3， 所以该组合体的体积为：3 14113332329182332V V V ππ=+=⨯⨯+⨯⨯⨯=+半球体三棱锥.故选：C【点睛】本题考查了由三视图还原直观图，考查了椎体和球体的体积公式，属于基础题. 8. 点P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到点()0,1A -的距离与点P 到直线2x =-的距离和的最小值是 A.5 B.2C.21D.21【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线定义，将问题转化为求PA PF +的最小值加1，数形结合，则问题得解. 【详解】由24y x =得焦点为()1,0F ，准线1x =-．过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，根据抛物线的定义，抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离．所以有PN PF =，连接F 、A ，有FA PA PF ≤+， 所以P 为AF 与抛物线的交点时，点P 到点()0,1A -的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值为2FA = 所以点P 到点()0,1A -的距离与P 到直线2x =-21． 故选：D ．【点睛】本题考查抛物线上一点到定直线以及定点之间的距离之和的最小值，属基础题. 9. 将函数()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移()0a a >个单位得到函数()cos2g x x =的图象，则a 的最小值为（ ） A.3π B.512π C.23π D.12π【答案】B 【解析】 【分析】先写出平移的函数表达式，利用诱导公式得出a 所有取值，最小值即可确定．【详解】由题意知，()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移()0a a >个单位得到函数()()sin 2sin 2233h x x a x a ππ⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，所以()22Z 32a k k πππ-=+∈，当0k =时，a 取最小值512π． 故选：B ．【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换，考查诱导公式，解题关键是确定由sin()x ϕ+变成cos x 时ϕ的值．10. 已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A. ,1a e b ==-B. ,1a e b ==C. 1,1a e b -==D.1,1a e b -==-【答案】D 【解析】 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 11. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()1f x -是定义在R 上的奇函数，则()()20182020f f +的值为（ ）A. 1-B. 1C. 0D. 无法计算【答案】C 【解析】 【分析】先由f （x ）是定义在R 上的偶函数得f （﹣x ）＝f （x ），然后利用()1f x -与f （x ）的关系，以及()1f x -的奇偶性，得f （x +1）+f （x ﹣1）＝0，从而得到要求的数值．【详解】因为()1f x -是定义在R 上的奇函数，()()11f x f x --=--．因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -=，可得()()()111f x f x f x +=-+=--⎡⎤⎣⎦，所以()()110f x f x ++-=，因此()()()()2018202020191+2019+1=0f f f f +=-．故选：C ．【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质，以及整体代换思想，是个基础题．12. 设2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的渐近线的斜率为（ ）A. 27±B. 23±C. 7±D. 3±【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线的对称性可知四边形21MF PF 为平行四边形，所以12||||MF PF =，1//MF PN ，由双曲线的定义知，21||||2MF MF a -=，于是2||3MF a =，1||MF a =，在△12MF F 中，由余弦定理可得2247c a =，然后利用22222b c a a a -=，求出b a的值即可得解．【详解】解：设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线的对称性可知四边形21MF PF 为平行四边形．∴12MF PF =，1//MF PN ． 设2PF n =，则22MF m =，即1MF a =，23MF a =． ∵2122a MF MF m =-=，即1MF a =，23MF a =． ∵260MF N ∠=︒，∴1260F MF ∠=︒． 又122F F c =，在12MF F △中，由余弦定理可得：2224923cos60c a a a a =+-⋅⋅⋅︒，即2247c a =，∴2274c a =，2222314b c a a =-=．∴双曲线C 的渐近线的斜率为3． 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的定义与性质，考查学生的数形结合思想和运算能力，属于中档题．二、填空题13. 在区间[]1,5内任取一个实数，则此数大于2的概率为______． 【答案】34【解析】 【分析】区间[]1,5的长度为4，此区间内大于2的数所在区间长度为3，由几何概型概率公式可得概率． 【详解】根据几何概型可知，所求概率为：523514p -==-． 故答案为：34． 【点睛】本题考查求几何概型，属于基础题．14. 函数()25log 23y x x =+-的单调增区间是______. 【答案】()1,+∞ 【解析】【分析】求得函数()25log 23y x x =+-的定义域为(,3)(1,)-∞-⋃+∞，令()223g x x x =+-，利用二次函数的性质，求得函数的单调区间，结合据复合函数的单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，函数()25log 23y x x =+-满足2230x x +->，解得3x <-或1x >， 即函数()25log 23y x x =+-的定义域为(,3)(1,)-∞-⋃+∞，令()223g x x x =+-，则函数()g x 在(,3)-∞-单调递减，在区间(1,)+∞单调递增，再根据复合函数的单调性，可得函数()25log 23y x x =+-的单调递增区间为(1,)+∞. 故答案为(1,)+∞.【点睛】本题主要考查了复合函数的单调区间的求解，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .ABC ∆的面积()2214S a c =+，若2sin 2sin B A C =，则角B 的值为______.【答案】512π 【解析】 【分析】根据面积公式得到和余弦定理得到22sin 2cos ac B b ac B =+，结合2sin 2B A =sin C 得到1sin 42B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，化简得到答案.【详解】因为1sin 2S ac B =，又()2214S a c =+，所以()2211sin 42a c ac B += 所以222sin a c ac B +=，由余弦定理得2222cos a cb ac B +=+ 所以22sin 2cos ac B b ac B =+ 由2sin 2sin B A C =结合正弦定理，得22b ac =所以2sin 22cos ac B ac ac B =+)2sin cos 1B B -=，所以1sin 42B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,B π∈，所以得46B ππ-=，或546B ππ-=（舍去），所以512B π∠=. 故答案为：512π【点睛】本题考查了面积公式，正弦定理，余弦定理，意在考查学生对于三角公式的综合应用能力.16. 在三棱锥D ABC -中，已知AD ⊥平面ABC ，且ABC 为正三角形，3AD AB ==点O 为三棱锥D ABC -的外接球的球心，则点O 到棱DB 的距离为______. 【答案】12【解析】 【分析】设'O 为ABC 的中心，M 为AD 中点，连结OM ，'OO ，AO ，求得7OA =，设平面ODA 截得外接球是O ，D ，A ，F 是O 表面上的点，结合圆的性质和球的性质，即可求解.【详解】由题意，设'O 为ABC 的中心，M 为AD 中点， 连结OM ，'OO ，AO ，则'1AO =，23AM =，可得72OA =,即球的半径为72，作平面ODA 交BC 于E ，交BC 于F ， 设平面ODA 截得外接球的截面是O ，D ，A ，F 是O 表面上的点，又∵DA ⊥平面ABC ，所以90DAF ∠=︒，所以DF 是O 的直径，也是球O 的直径，7DF =DB BF ⊥.因为DA AB ⊥，3DA =3AB =6BD =，所以1BF =，做OH DB ⊥，所以//OH BF ，又由DO OF =，所以OH 是DBF 的中位线，所以12OH BF =，故12OH =. 故答案为：12【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及球的性质的应用，其中解答中熟练应用空间几何体的几何结构特征和球的性质是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：17. 在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，1BB 的中点．（1）求证：//EF 平面11A DC ；（2）若123AA =2AB =，求二面角11E A D C --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）32114. 【解析】 【分析】（1）证明四边形11ADC B 为平行四边形，可得11//AB DC ，进而得到1//EF DC ，由此得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面11A DC 及平面1EA D 的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．【详解】（1）证明：连接1AB ，∵E ，F 分别为AB ，1BB 的中点． ∴1//EF AB ．∵正四棱柱柱1111ABCD A B C D -中，11AD B C =，11//AD B C ． ∴四边形11ADC B 是平行四边形， ∴11//AB DC ，∴1//EF DC ．∵EF ⊄平面11A DC ，1DC ⊂平面11A DC ， ∴//EF 平面11A DC ．（2）在正四棱柱中，分别以DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()2,1,0E ，(12,0,23A ，(10,2,23C ．∴()112,2,0AC =-，(12,0,23DA =，(10,1,23EA =-， 设平面11A DC 的法向量(),,m x y z =，则22230x y x z -+=+=． 取3x =，则(3,3,3m =-． 同样可求出平面1A DE 一个法向量()3,23,1n =--．∴237cos 142116m n m n m n⋅<⋅>===-⋅．设二面角11E A D C --θ，则7cos θ=，由22cos sin 1,0π,θθθ+=≤≤，解得321sin θ=∴二面角11E A D C --的正弦值为32114． 【点睛】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．18. 某高校自主招生考试中，所有去面试的考生全部参加了“语言表达能力”和“竞争与团队意识”两个科目的测试，成绩分别为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，某考场考生的两科测试成绩数据统计如图，其中“语言表达能力”成绩等级为B 的考生有10人．（1）求该考场考生中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A 的人数；（2）已知等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分．求该考场学生“语言表达能力”科目的平均分． 【答案】（1）3；（2）2.9. 【解析】 【分析】（1）由“语言表达能力”科目中成绩为B 的考生有10人，能求出该考场有40人，由此能求出该考场中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A 的人数．（2）求出“语言表达能力”科目中成绩等级为D 的频率为0.100，由此能求出该考查考生“语言表达能力”科目的平均分．【详解】（1）因为“语言表达能力”科目中成绩为B 的考生有10人，所以该考场有100.25040÷=（人）．所以该考场中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A 的人数为()4010.3750.3750.1500.025400.0753⨯----=⨯=．（2）由题意可得：“语言表达能力”科目中成绩等级为D 的频率为10.3750.2500.2000.0750.100----=．该考查考生“语言表达能力”科目的平均分为()()()()11400.2002400.1003400.3754400.25040⎡⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⎣()5400.075 2.9⎤+⨯⨯=⎦．【点睛】本题考查频数、平均数的求法，考查条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．19. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，()*22N n n S a n =-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记n nnb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围． 【答案】（1）2nn a =；（2）122n T ≤<. 【解析】 【分析】（1）本小题运用借S n 求a n 直接求解即可；（2）本小题运用错位相减法求出 T n ，再根据T n 的增减性求解即可.【详解】（1）当1n =时，1122S a =-，得12a =； 当2n ≥时，22n n S a =-①，1122n n S a --=-②， ①-②得，12nn a a -=； 所以数列{}n a 是以12a =为首项，以2为公比的等比数列，即2nn a =；（2）由题，得122nn n n b n ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，因为12321n n n n T b b b b b b --=+++⋅⋅⋅+++， 所以()()23211111112321222222n n nn T n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，()()23111111111123212222222n nn n T n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②，①-②，得231111111112222222n n n n T n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，()1222nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，显然，2n T <，因为1110n n n n T T a +++-=>， 所以数列{}n T 是递增数列，且131222T =-=， 因此122n T ≤< 【点睛】本题考查借S n 求a n ，错位相减法，是中档题. 20. 已知函数()()22ln R f x x a x ax a =--∈．（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）记()()g x f x ax =+，若()g x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）122,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）,22,e e e e ⎡⎤--⋃⎣⎦.【解析】 【分析】（1）对参数a 进行分类讨论，在不同情况下求得()f x 的最小值，根据()0min f x ≥，即可求得参数的取值范围；（2）分离参数，将问题转化为对函数()2ln h x x x=单调性和值域的研究，则问题得解.【详解】（1）()()()222x a x a a f x x a x x-+'=--=， 令()0f x '=，解得1x a =，22ax =-； 当0a =时，显然成立；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． 则()()2min ln 0f x f a a a ==-≥，解得01a <≤；当0a <时，()f x 在0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 则()222minln 02422a a a a f x f a ⎛⎫⎛⎫=-=+--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1220e a -≤<；综上，实数a 的取值范围为122,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； （2）显然1x =不是()g x 的零点，由()0g x =得22ln x a x =．令()()2*ln x h x x=．则()()()22ln 1ln x x h x x -'=，令()0h x '=，解得12x e =；()0h x '>，解得12e x e <<；()0h x '<，解得11x e<<或121x e <<．当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭和1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()h x 单调递减，当时，()h x 单调递增， 又1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()0*h x <不成立．∴只需()122222a h e e a h e e ⎧⎛⎫>=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪≤=⎩，∴实数a 的取值范围为(,22,e e e e ⎡⎤--⋃⎣⎦．【点睛】本题考查利用导数研究恒成立问题以及零点问题，分离参数以及分类讨论是解决问题的关键.21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆经过点)6,1P-，且12PF F △的面积为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为1的直线l 与圆22:O x y b +=交于A ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且()R CD AB λλ=∈，当λ取得最小值时，求直线l 的方程并求此时λ的值．【答案】（1）22184x y +=；（2）263，y x=． 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积可2c =，将P 点代入椭圆得到22611a b+=，联立即可求得a ，b ； （2）设直线l 的方程为y x m =+，表示出2||82AB m =-式得到m 的取值范围，结合条件表示出2228134m λ=+-m 取值范围求得其范围. 【详解】解：（1）由12PF F △的面积可得12122c ⨯⨯=．即2c =，∴224a b -=．① 又椭圆C 过点)61P，∴22611a b +=．② 由①②解得22a =2b =．故椭圆C 的标准方程为22184x y +=．（2）由题知圆221:2O x y +=，设直线l 的方程为y x m =+，则原点到直线l 的距离2m d =，由弦长公式可得2222822m AB m =-=-将y x m =+代入椭圆方程22184x y+=，得2234280x mx m ++-=，由判别式()221612280m m ∆=-->，解得2323m -<< 由直线和圆相交的条件可得d r <22m <，也即22m -<<，综上可得m 的取值范围是()2,2-． 设()11,C x y ，()22,D x y ，则1243m x x +=-，212283m x x -=，由弦长公式，得()22212121683224293m m CD x x x x -=+-=-24123m =-由CD AB λ=，得222412228313482mCD AB m m λ-===+-- ∵22m -<<，∴2044m <-≤，则当0m =时，λ取得最小值263，此时直线l 的方程为y x =．【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的综合，根的判别式，弦长公式，考查学生运算能力，属于中档题．（二）选考题：请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，直线l 的参数方程为2,22y 12x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos a ρθ=，0a >．（1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于P ，Q ．设()0,1M -，且24PQ MP MQ =⋅，求实数a 的值．【答案】（1）cos sin 1ρθρθ-=；()2220x y ax a +=>；（2）1a =.【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．【详解】解：（1）由直线l 的参数方程221x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），消去t 得1x y -=，所以直线的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ-=， 由()2cos 0a a ρθ=>，得()22cos 0a a ρρθ=>，由cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得曲线C 的直角坐标方程为()2220x y ax a +=>，（2）显然M 在直线l 上，将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立 得)22110t a t ++=．则)22140a ⎤∆=+->⎦且)1221t t a +=+，121t t =，设点P ，Q 分别对应参数1t ，2t 恰为上述方程的根． 则1MP t =，2MQ t =，12PQ t t =-， 由题设得212124t t t t -=，则有()212128t t t t +=，得1a =或3a =-． 因为0a >，且1a =满足>0∆，所以1a =．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23. 设函数()213f x x x =--+． （1）解不等式()0f x >；（2）若()33f x x a ++≥对一切实数x 均成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）2{|3x x <-或4}x > ；（2）(,7]-∞． 【解析】 【分析】（1）方法一：根据绝对值不等式意义解不等式；方法二：将不等式2130x x --+>变形为213x x ->+，两端平方整理成关于x 的一元二次不等式，求解即可；（2）利用绝对值不等式()()33212321267f x x x x x x ++=-++≥--+=，可得7a ≤.【详解】（1）解法一：当12x ≥时，()()21340f x x x x =--+=->，解得4x >； 当132x -≤<时,()()213320f x x x x =-+-+=-->，解得233x -≤<-；当3x <-时，()()21340f x x x x =-+++=-+>，解得3x <-， 综上,原不等式的解集为2{|3x x <-或4}x > ； 解法二：()0213f x x x >⇔->+，两边平方整理得，231080x x -->，解得23x <-或4x >，所以，原不等式的解集为2{|3x x <-或4}x >；（2）()()33212321267f x x x x x x ++=-++≥--+=，当132x -≤≤时等号成立，所以7a ≤ ．故实数a 的取值范围为(],7-∞．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及利用绝对值不等式求参数的取值范围，属于高考常考题型.。
四省八校2020届高三第二次教学质量检测考试数学理科试题及参考答案
“四省八校”2020届高三第二次教学质量检测考试数学（理科）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若全集R U =，集合),4()1,(+∞--∞= A ，{}2||≤=x x B ，则如图阴影部分所表示的集合为A.{}42<≤-x xB.{}42≥≤x x x 或C.{}12-≤≤-x xD.{}21≤≤-x x 2. 已知)1)(1(ai i -+0>（i 为虚数单位）。
则实数a 等于A.1-B.0C.1D.23. 平面内到两定点B A ,的距离之比等于常数)10(≠>λλλ且的动点P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆。
已知)0,0(A ，)0,3(B ，||21||PB PA =，则点P 的轨迹围成的平面图形的面积为A.π2B.π4C.π49D.π234. ,是单位向量，“2)(2<+”是“,的夹角为钝角”的A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件5. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5511=S ，则=6aA.6B.5C.4D.3 6. 已知41log 31=a ，415=b ，316-=c ，则 A.c b a >>B.b c a >>C.b a c >>D.a c b >> 7. 已知54)4sin(=+απ，则=α2sin A.257-B.51-C.51 D.257 8. 已知),1(x =，)1,(y =)0,0(>>y x ，若//，则yx xy +的最大值为 A.21 B.1 C.2D.2 9. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为A.π50B.π250C.π100D.π210010. 某中学《同唱华夏情，共圆中国梦》文艺演出于2019年11月20日在学校演艺大厅开幕，开幕式文艺表演共由6个节目组成，若考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目《文明之光》必须排在前三位，且节目《一带一路》、《命运与共》必须排在一起，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共有A.120种B.156种C.188种D.240种11. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为25，B A ,是双曲线上关于原点对称的两点，M 是双曲线上异于B A ,的动点，直线MB MA ,的斜率分别为21,k k ，若]2,1[1∈k ，则2k 的取值范围为 A.]41,81[ B.]21,41[ C.]81,41[-- D.]41,21[-- 12. 已知x x ae x e x -+>-1ln 1对任意)1,0(∈x 恒成立，则实数a 的取值范围为 A.)1,0(+eB.]1,0(+eC.)1,(+-∞eD.]1,(+-∞e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知数列{}n a 是公比⎰=102dx x q 的等比数列，且213a a a ⋅=，则=10a _________. 14. 6)21(-+xx )0(>x 的展开式中含3x 项的系数为_________. 15. 已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤-0102202y x y x x ，若m m y x 42+-≥+-恒成立，则实数m的取值范围为_________.16. 对任意实数x ，以][x 表示不超过x 的最大整数，称它为x 的整数部分，如4]2.4[=，8]6.7[-=-等。
2020陕西省高三理科数学教学质量检测(二)答案
又∵a2－a1＝1，∴数列{an}是公差为 1 的等差数列，
∴an＝n.
（6 分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知 bn a2n 2n , an n,
∴Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n， 2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n×2n＋1，
（8 分）
两式相减得－Tn＝2＋22＋23－(n－1)2n＋1－2， 1－2
由(Ⅰ)可知 x1＝－a－1，x2＝－1，
∴g(a)在(3，4)上单调递减，
∴g(4)<g(a)<g(3)，即e34<g(a)<e53.
∵g(a)＝－ff（（xx12）），∴－e53<ff（ （xx12））<－e34.
（12 分）
21．解：(Ⅰ)解法一：由题意可得离心率 e＝c＝ 3， a2
又 a2＝b2＋c2，∴a＝2b，c＝ 3b， 令点 Q(x，y)为椭圆 C 上任意一点，
13
14
15
16
0.5
3 或1 2
5 7
3
评分标准：按参考答案给分，结果必须化简，完全正确，写错、未化简、多写答案、少写答
案均不给分，13 题评分标准：写成 1 也可给分，14 题评分标准：写成 1.5或1也可给分. 2
三、解答题：共 70 分.
评分标准
1.导函数：
求单调区间过程要清楚，最好列表，分类讨论各区间情况需做到无遗漏.遗漏不给分.
（2 分） （3 分） （4 分）
（5 分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知直线 l 的普通方程为 x＋y－4＝0(x≠0)，（6 分）
θ≠π 化为极坐标方程得ρcosθ＋ρsinθ－4＝0 2 ，
（7 分）
当θ＝π(ρ>0)时，设 4
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2020年高中毕业班第二次教学质量监测
理科数学试题
本试卷4页，满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知{|21}x A x =>，2
{|20}B x x x =+-≤，则A B =U （ ） A. {|2}x x >-
B. {|2}x x ≥-
C. {|01}x x <≤
D. {|01}x x ≤≤
2.已知复数122z =-
+，则复数2z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知函数()f x 与它的导函数()f x '的定义域均为R ，则下列命题中，正确的是（ ）
A. 若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=
B. 若()f x 是偶函数，则()f x '一定是偶函数
C. 若()2
2log f x x =，则()14f '= D. 若()f x 的图象在区间(),a b 连续不断，则()f x 在(),a b 上一定有最大值
4.为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资.爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有（ ）
A. 10种
B. 40种
C. 80种
D. 240种。