上海市上南地区六校2015-2016学年八年级上学期12月月考数学试卷【解析版】(五四学制)

2015-2016学年上海市上南地区六校八年级（上）12月月考数学试卷（五四学制）一、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )A． B．C． D．2．下列命题中逆命题是假命题的是( )A．如果两个三角形的三条边都对应相等，那么这两个三角形全等B．如果a2=9，那么a=3C．对顶角相等D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等3．下列命题中，不正确的是( )A．各有一个角为95°，且底边相等的两个等腰三角形全等B．各有一个角为40°，且底边相等的两个等腰三角形全等C．各有一个角为40°，且其所对的直角边相等的两个直角三角形全等D．各有一个角为40°，且有斜边相等的两个直角三角形全等4．如图，花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”．他们仅仅少走了( )步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．A．6步B．5步C．4步D．2步二、填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分）5．等式=成立的条件是__________．6．二次根式、、、中，最简二次根式是__________．7．如果1≤a≤，则的值是__________．8．不等式2x+的解集是__________．9．已知a＞0，那么可简化为__________．10．已知关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有实数根，则实数m的取值范围是__________．11．已知x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a2=0的一个根，则a=__________．12．在实数范围内分解因式：3x2﹣2xy+2y2=__________．13．如图，在工地一边的靠墙处，用125米长的铁栅栏围一个所占地面积为2000平方米的长方形临时仓库，并在其中一边上留宽为3米的大门，设无门的那边长为x米．根据题意，可建立关于x的方程__________．14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，4），将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是__________．15．（1998•山西）以线段AB为底边的等腰三角形的顶点C的轨迹是__________．16．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=35°，D为AB中点，CE⊥AB，则∠DCE=__________°．17．等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为__________度．18．已知△ABC是边长为1的等边三角形，△DBC是以BC为斜边的等腰直角三角形，那么线段AD的长为__________．三、简答题（本大题共6题，每题6分，满分36分）19．计算：（1）+（﹣1）2（2）+x2．20．（1）用配方法解方程：4x2﹣2x﹣1=0（2）解方程：2x=（x2+1）21．如图：107国道OA和320国道OB在某市交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使P到OA、OB的距离相等，且PC=PD．请在∠AOB的内部画出货站的位置（不写画法，保留画图痕迹，写出结论）22．如图A、B、C、D在同一直线上，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别是B，C，AB=DC，AE=DF．求证：AF=DE．23．已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，CD=3，AD=1，求∠DAB的度数．24．点P在y轴上，A（4，1），B（1，4），如果△ABP是直角三角形，求点P的坐标．三、解答题（本大题共3题，每题8分，满分24分）25．已知：如图，点D是△ABC的边AC上的一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E、F 为垂足，再过点D作DG∥AB，交BC于点G，且DE=DF．（1）求证：DG=BG；（2）求证：BD垂直平分EF．26．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边BD、AC的中点．（1）求证：MN⊥AC；（2）当AC=8cm，BD=10cm时，求MN的长．27．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，点D是斜边AB中点，作DE⊥AB，交直线AC于点E．（1）若∠A=30°，求线段CE的长；（2）当点E在线段AC上时，设BC=x，CE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）若CE=1，求BC的长．2015-2016学年上海市上南地区六校八年级（上）12月月考数学试卷（五四学制）一、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )A． B．C． D．【考点】同类二次根式．【分析】首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定．【解答】解：A、不能化简，与不是同类二次根式，故选项错误；B、=，与不是同类二次根式，故选项错误；C、=，与是同类二次根式，故选项正确；D、==，与不是同类二次根式，故选项错误．故选C．【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．2．下列命题中逆命题是假命题的是( )A．如果两个三角形的三条边都对应相等，那么这两个三角形全等B．如果a2=9，那么a=3C．对顶角相等D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等【考点】命题与定理．【专题】推理填空题．【分析】首先写出各命题的逆命题（将每个命题的题设与结论调换），然后再证明各命题的正误．因为相等的角不只是对顶角，所以此答案是假命题，继而得到正确答案．【解答】解：A、逆命题为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三条边都对应相等．是真命题；B、逆命题为：如果a=3，那么a2=9．是真命题；C、逆命题为：相等的角是对顶角．是假命题；D、逆命题为：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上．是真命题．故选C．【点评】此题考查了命题与逆命题的关系．解题的关键是找到各命题的逆命题，再证明正误即可．3．下列命题中，不正确的是( )A．各有一个角为95°，且底边相等的两个等腰三角形全等B．各有一个角为40°，且底边相等的两个等腰三角形全等C．各有一个角为40°，且其所对的直角边相等的两个直角三角形全等D．各有一个角为40°，且有斜边相等的两个直角三角形全等【考点】全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】根据全等三角形的判定定理：SAS，SSS，AAS，ASA对各个选项逐一分析即可【解答】解：A、∵各有一个角为95°，这个角只能是顶角，∴这两个等腰三角形全等，本选项正确；B、∵不知这个角是顶角还是底角，∴这两个等腰三角形不一定全等，故本选项错误；C、∵各有一个角为40°，∴此直角三角形各个角相等，再加上且其所对的直角边相等，∴两个直角三角形全等，本选项正确，D、∵各有一个角为40°，∴此直角三角形各个角相等，再加上有斜边相等，∴两个直角三角形全等，本选项正确，【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．如图，花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”．他们仅仅少走了( )步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．A．6步B．5步C．4步D．2步【考点】勾股定理的应用．【分析】少走的距离是AC+BC﹣AB，在直角△ABC中根据勾股定理求得AB的长即可．【解答】解：在直角△ABC中，AB2=AC2+BC2AB===5m．则少走的距离是AC+BC﹣AB=3+4﹣5=2m=4步．故选C．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．二、填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分）5．等式=成立的条件是x＜2．【考点】二次根式的乘除法．【分析】直接利用二次根式的性质得出关于x的不等式组进而得出答案．【解答】解：∵等式=成立，∴，解得：x＜2．故答案为：x＜2．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及不等式组的解法，正确得出关于x的不等式组是解题关键．6．二次根式、、、中，最简二次根式是、．【考点】最简二次根式．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：、是最简二次根式，故答案为：、．【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．7．如果1≤a≤，则的值是1．【考点】二次根式的性质与化简．【专题】应用题．【分析】根据a的取值范围化简根式以及绝对值，即可得出结果．【解答】解：∵1≤a≤，∴==a﹣1，|a﹣2|=2﹣a，∴原式=a﹣1+2﹣a=1，故答案为1．【点评】本题主要考查了二次根式的化简以及绝对值的性质，难度适中．8．不等式2x+的解集是x＞3．【考点】二次根式的应用；解一元一次不等式．【分析】利用解一元一次不等式的方法与步骤求得方程的解，进一步化简得出答案即可．【解答】解：2x+，2x﹣3x＜﹣，﹣x＜﹣4，x＞3．故答案为：x＞3．【点评】此题考查二次根式的运用，解一元一次不等式的方法，掌握二次根式的化简方法，不等式的解法是解决问题的关键．9．已知a＞0，那么可简化为﹣．【考点】二次根式的性质与化简．【分析】根据二次根式的性质化简，即可解答．【解答】解：∵a＞0，∴﹣4a＜0，∵，∴b＜0，那么=，故答案为：﹣．【点评】本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是熟记二次根式的性质．10．已知关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有实数根，则实数m的取值范围是m＜3．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】分类讨论：当m﹣2=0，解m=2，原方程变形为一元一次方程，有一个实数解；当m﹣2≠0，即m≠2，方程为一元二次方程，根据判别式的意义得到△=4﹣4（m﹣2）=﹣4m+12＞0，然后综合两种情况即可．【解答】解：当m﹣2=0，解m=2，原方程变形为﹣2x+1=0，解得x=；当m﹣2≠0，即m≠2，则△=4﹣4（m﹣2）=﹣4m+12＞0，解得：m＜3，即当m＜3，且m≠2时，原方程有两个不相等实数根，所以m的取值范围为：m＜3．故答案为：m＜3．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．11．已知x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a2=0的一个根，则a=﹣2或1．【考点】一元二次方程的解．【专题】判别式法．【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=﹣1代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求得a的值．【解答】解：根据题意得：2﹣a﹣a2=0解得a=﹣2或1．故答案为：﹣2或1．【点评】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根一定满足该方程的解析式．12．在实数范围内分解因式：3x2﹣2xy+2y2=（x﹣y）2．【考点】实数范围内分解因式．【分析】根据完全平方公式，可得答案．【解答】解：原式=（x）2﹣2xy+（y）2=（x﹣y）2．故答案为：（x﹣y）2．【点评】本题考查了因式分解，利用了完全平方公式分解因式，注意分解要彻底．13．如图，在工地一边的靠墙处，用125米长的铁栅栏围一个所占地面积为2000平方米的长方形临时仓库，并在其中一边上留宽为3米的大门，设无门的那边长为x米．根据题意，可建立关于x的方程x（128﹣2x）=2000．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】几何图形问题．【分析】等量关系为：x×（铁栅栏长+3﹣2x）=围成矩形的面积，把相关数值代入即可．【解答】解：平行于墙的一面长为125+3﹣2x=123﹣2x，∴仓库面积为x（128﹣2x）=2000．故答案为x（128﹣2x）=2000．【点评】考查列一元二次方程；得到平行于墙的一面长是解决本题的易错点．14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，4），将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是（4，﹣1）．【考点】坐标与图形变化-旋转．【专题】压轴题．【分析】解题的关键是抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，通过画图得A′的坐标．【解答】解：由图知A点的坐标为（1，4），根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，从而得A′点坐标为（4，﹣1）．故答案为：（4，﹣1）．【点评】本题涉及图形的旋转变换，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，通过画图得A′．15．（1998•山西）以线段AB为底边的等腰三角形的顶点C的轨迹是线段AB的垂直平分线，不包括AB的中点．【考点】轨迹．【分析】满足△ABC以线段AB为底边且CA=CB，根据线段的垂直平分线判定得到点C在线段AB的垂直平分线上，除去与AB的交点（交点不满足三角形的条件）．【解答】解：∵△ABC以线段AB为底边，CA=CB，∴点C在线段AB的垂直平分线上，除去与AB的交点（交点不满足三角形的条件），∴以线段AB为底边的等腰三角形的顶点C的轨迹是线段AB的垂直平分线，不包括AB 的中点．故答案为线段AB的垂直平分线，不包括AB的中点．【点评】本题考查了轨迹：轨迹是动点按一定条件运动所经过的痕迹．也考查了线段的垂直平分线判定与性质．16．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=35°，D为AB中点，CE⊥AB，则∠DCE=20°．【考点】直角三角形斜边上的中线．【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半可求得CD=DA，可求得∠CDE=70°，再根据直角三角形两锐角互余可求得∠DCE．【解答】解：∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴DC=DA，∴∠A=∠ACD，∴∠CDE=2∠A=2×35°=70°，∵CE⊥AB，∴∠DCE=90°﹣∠CDE=90°﹣70°=20°，故答案为：20．【点评】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．17．等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为30或150度．【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．【专题】计算题．【分析】分为两种情况：①高BD在△ABC内时，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；②高CD在△ABC外时，求出∠DAC，根据平角的定义求出∠BAC即可．【解答】解：①如图，∵BD是△ABC的高，AB=AC，BD=AB，∴∠A=30°，②如图，∵CD是△ABC边BA 上的高，DC=AC，∴∠DAC=30°，∴∠BAC=180°﹣30°=150°，故答案为：30或150．【点评】本题考查了等腰三角形性质和含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生能否求出符合条件的所有情况，注意：一定要分类讨论啊．18．已知△ABC是边长为1的等边三角形，△DBC是以BC为斜边的等腰直角三角形，那么线段AD的长为．【考点】等边三角形的性质；等腰直角三角形．【专题】分类讨论．【分析】首先根据题意画出图形，根据AB=AC，DB=DC可证出点A、D都在BC的垂直平分线上，即AD是线段CB的垂直平分线，所以DE=BC，AE=AB，再由条件AB=CB=1，可知计算出AD的长．【解答】解：根据题意画出可图形，如右图：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），∵△DBC是以BC为斜边的等腰直角三角形，∴DB=DC，∴点D也在BC的垂直平分线上，∴AD是线段CB的垂直平分线，∴AD⊥CB，∴BE=CE=，∴DE=CB=，AE=AB•sin60°=1×=，∴AD=AE+DE=故答案为：．【点评】此题主要考查了等腰直角三角形，等边三角形的性质，解决此题的关键是证明AD 是线段CB的垂直平分线．三、简答题（本大题共6题，每题6分，满分36分）19．计算：（1）+（﹣1）2（2）+x2．【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】（1）先分母有理化，再利用完全平方公式计算，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【解答】解：（1）原式=4（3﹣）+5﹣2+1=12﹣4+6﹣2=18﹣6；（2）原式=2x+x+=．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．（1）用配方法解方程：4x2﹣2x﹣1=0（2）解方程：2x=（x2+1）【考点】解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．【专题】计算题．【分析】（1）利用配方法得到（x﹣）2=，然后利用直接开平方法解方程；（2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程．【解答】解：（1）x2﹣x=，x2﹣x+=+，（x﹣）2=，x﹣=±，所以x1=，x2=；（2）x2﹣2x+=0，△=（﹣2）2﹣4××=4，x=，所以x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了求根公式法解一元二次方程．21．如图：107国道OA和320国道OB在某市交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使P到OA、OB的距离相等，且PC=PD．请在∠AOB的内部画出货站的位置（不写画法，保留画图痕迹，写出结论）【考点】作图—应用与设计作图．【专题】作图题．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，作∠AOB的平分线与CD的垂直平分线，交点就是货站的位置．【解答】解：如图，作∠AOB的平分线OH，CD的垂直平分线EF，OH与EF的交点P就是货站的位置．所以点P就是所要求作的点．【点评】本题考查了应用与设计作图，主要利用了角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，都是基本作图，难度不大．22．如图A、B、C、D在同一直线上，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别是B，C，AB=DC，AE=DF．求证：AF=DE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】通过HL证得Rt△ABE≌Rt△DCF，推知EB=FC，则易证AC=DB，然后再利用SAS推知△AFC≌△DEB，故AF=DE．【解答】证明：∵如图，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠ABE=∠DCF=90°，在Rt△ABE与Rt△DCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴EB=FC．又∵AB=DC，∴AB+BC=DC+BC，即AC=DB．在△AFC与△DEB中，，∴△AFC≌△DEB（SAS），∴AF=DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．23．已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，CD=3，AD=1，求∠DAB的度数．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】由于∠B=90°，AB=BC=2，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC=45°，而CD=3，DA=1，易得AC2+DA2=CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD=90°，从而易求∠BAD．【解答】解：∵∠B=90°，AB=BC=2，∴AC==2，∠BAC=45°，又∵CD=3，DA=1，∴AC2+DA2=8+1=9，CD2=9，∴AC2+DA2=CD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD=90°，∴∠DAB=45°+90°=135°．故∠DAB的度数为135°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接AC，并证明△ACD是直角三角形．24．点P在y轴上，A（4，1），B（1，4），如果△ABP是直角三角形，求点P的坐标．【考点】勾股定理的逆定理；坐标与图形性质；勾股定理．【分析】设点P的坐标为（0，x），分两种情况：①当点B为直角顶点时，点P在y轴正半轴；②当点A为直角顶点时，点P在y轴负半轴；分别由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：设点P的坐标为（0，x），分两种情况：①当点B为直角顶点时，点P在y轴正半轴，作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图1所示：由勾股定理得：PB2+AB2=PA2，即12+（4﹣x）2+32+32=（x﹣1）2+42，解得：x=3，∴点P的坐标为（0，3）②当点A为直角顶点时，点P在y轴负半轴，作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，如图2所示：由勾股定理得：PA2+AB2=PB2，即42+（1﹣x）2+32+32=（4﹣x）2+12，解得：x=﹣3，∴点P的坐标为（0，﹣3）；综上所述：如果△ABP是直角三角形，点P的坐标为（0，3）或（0，﹣3）．【点评】本题考查了勾股定理、坐标与图形性质；熟练掌握勾股定理，根据题意运用勾股定理得出方程是解决问题的关键．三、解答题（本大题共3题，每题8分，满分24分）25．已知：如图，点D是△ABC的边AC上的一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E、F 为垂足，再过点D作DG∥AB，交BC于点G，且DE=DF．（1）求证：DG=BG；（2）求证：BD垂直平分EF．【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．【专题】证明题．【分析】（1）连接BD，先根据DE⊥AB，DF⊥BC且DE=DF可知∠ABD=∠DBC，再根据DG∥AB即可得出∠ABD=∠BDG，进而可得出∠BDG=∠DBC，由等角对等边可知DG=BG；（2）先根据（1）中∠ABD=∠DBC可知∠EDB=∠FDB，由全等三角形的判定定理可得出△BDE≌△BDF，再根据全等三角形的性质可得出BE=BF，DE=DF，故可得出BD垂直平分EF．【解答】证明：（1）连接BD．∵DE⊥AB，DF⊥BC且DE=DF，∴∠ABD=∠DBC，又∵DG∥AB，∴∠ABD=∠BDG，∴∠BDG=∠DBC，∴DG=BG；（2）由（1）∠ABD=∠DBC可知，∠EDB=∠FDB，在△BDE与△BDF中，∵∠ABD=∠DBC，BD=BD，∠EDB=∠FDB，∴△BDE≌△BDF，∴BE=BF，DE=DF，∴BD垂直平分EF．【点评】本题考查的是角平分线及线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．26．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边BD、AC的中点．（1）求证：MN⊥AC；（2）当AC=8cm，BD=10cm时，求MN的长．【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判定AM=MC=BD，从而推知N点是AC边上的中点，所以MN是AC的中垂线；（2）在Rt△AMN中，利用勾股定理求得MN的长．【解答】（1）证明：连接AM、MC．在△DCB和△BAD中，∠DAB=∠DCB=90°，M是边BD的中点，∴AM=MC=BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；∵N是AC的中点，∴MN⊥AC；（2）解：∵AC=8cm，BD=10cm，M、N分别是边BD、AC的中点．∴AM=5cm，AN=4cm；在Rt△AMN中，MN==3cm（勾股定理）．【点评】本题综合考查了直角三角形斜边上的中线、勾股定理．解题时，通过作辅助线AM、MC构建了直角三角形斜边上的中线，然后利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”来解答问题．27．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，点D是斜边AB中点，作DE⊥AB，交直线AC于点E．（1）若∠A=30°，求线段CE的长；（2）当点E在线段AC上时，设BC=x，CE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）若CE=1，求BC的长．【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】计算题；分类讨论．【分析】（1）连接BE，点D是AB中点且DE⊥AB，BE=AE，利用线段垂直平分线的性质和含30度角的直角三角形即可求出线段CE的长（2）连接BE，则AE=BE=6﹣y，由勾股定理得BC2+CE2=BE2，即x2+y2=（6﹣y）2，整理即可得出y关于x的函数解析式，根据≥0，即可求得定义域．（3）此题有两种情况：一是当点E在线段AC上时，由（2）得，解得x即可，二是当点E在AC延长线上时，AE=BE=7，由勾股定理得BC2+CE2=BE2即x2+12=72．解得x即可．【解答】解：（1）连接BE，点D是AB中点且DE⊥AB，∵∠A=30°，∴∠ABC=90°﹣30°=60°，又∵DE垂直平分AB，∴∠ABE=∠BAE=30°，∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°，又∵∠C=90°，∴，∵AC=6，∴BE=AE=4，CE=BE=×4=2答：线段CE的长为2；（2）连接BE，则AE=BE=6﹣y，在Rt△BCE中，由勾股定理得BC2+CE2=BE2，即x2+y2=（6﹣y）2，解得，得≥0，解得（0＜x≤6）答：y关于x的函数解析式是；定义域是0＜x≤6．（3）当点E在线段AC上时，由（2）得，解得（负值已舍）当点E在AC延长线上时，AE=BE=7，在Rt△BCE中，由勾股定理得BC2+CE2=BE2，即x2+12=72．解得（负值已舍）．综上所述，满足条件的BC的长为，．答：若CE=1，BC的长为和．【点评】此题主要考查学生对勾股定理、线段垂直平分线的性质和含30度角的直角三角形的理解和掌握，此题涉及到知识点较多，综合性较强，是一道难题．。