向量的数量积和向量积

证明：
a • b (x1i y1 j z1k ) • (x2i y2 j z2k )
x1x2i • i x1 y2i • j x1z2i • k y1x2 j • i y1y2 j • j y1z2 j • k z1x2k • i z1y2k • j z1z2k • k
5 向量在轴上的投影
设A为空间一点，u轴已知，如图。 过点A作与轴垂直的平面，平面与轴 A
的交点A‘称为A在轴上的投影。
对于已知向量 AB，u轴上的有向
A'
线段 AB 的模称为向量 AB 在轴u
上的投影，它是一个数量，记作
Pr ju AB
B
B'
u
那么
Pr ju AB | AB| cos
θ为向量 AB 与轴u的夹角。
（2）分配律 (a b) • c a • c b • c
（3）结合律 (a) • b (a • b) a • (b)
其中λ为常数。 4 数量积的计算公式 设向量
a x1i y1 j z1k, b x2i y2 j z2k
则有
a • b x1x2 y1 y2 z1z2
C= a×b
向量积又称为叉积。
c
★向量积模的几何意义是：以 a，b为邻边的平行四边形的面积。
b θ
a
★力学意义：力矩， 如下图所示。
O为一根杠杆L的支点，
F
有一个力F作用于其上点P处， O
F与OP 的夹角为θ，由力学
规定， 力F对支点O的力矩 是一个向量M，它的模
θ
P
L
Q
M OP F
| M ||OQ|| F ||OP|| F | sin
用e表示u轴上的单位向量，则a·e为向量a在e方向 上的投影，那么有
a • e | a || e | cos | a | cos
例1 已知a={1，1，-4}，b={1，-2，2}，求： （1）a·b； （2）a与b的夹角；
（3）a在b上的投影。
解：（1）a •b 11 1( 2 ) (-4) 2
一、两向量的数量积
1 定义 两个向量a和b的模与它们之间夹角的余弦之积，
称为向量a与b的数量积，记作a·b,即
a • b | a || b | cos(a, b)
数量积也称点积。
力学意义：一物体在力F的作用下，
F
沿直线AB移动了S，F与AB的夹角为α,
如右图，则力对物体做的功为
θ
A
S
B
W | F || S | cos
2 1 3
例4 设向量 a 2i 问a×b与c是否平行？
3
j

k
,b

i

k,
c

i

1 3
j

k
解：
ijk
a b 2 3 1 3i j 3k
显然
1 0 1



故a×b//c.
例5 问向量 a = -2i+ 3j + k,b = -j + k,c = i - j - k
令 | CB | a,| CA| b,| AB| c, 所以
c2 a2 b2 2ab cos
证毕
二、两向量的向量积
1 定义 设向量c由两个向量a和b按下列规定给出：
（1）|c|=|a| |b| sinθ，θ为向量a和b的夹角； （2）c a, c b ，且向量a，b ， c的方向满 足右手定则，如图； 那么向量c称为向量a和b的向量积，记作a×b，即
9
（2）cos(
a ,b
)

|
a a
•b || b
|

9
1
12 12 ( 4 )2 12 ( 2 )2 22
2
所以
( a,b ) 3 源自文库
（3） 因为
4
a • b | a || b | cos( a,b ) | b | Pr jba
所以
Pr
ju AB
a•b |b|

9 3
3
例2 求证余弦定理 c2 a2 b2 2ab cos
θ为边CA，CB的夹角。 A 证明：如图所示的△ABC，可得
那么
AB CB CA B
θ C
2
AB
( CB CA )2
( CB CA )•( CB CA )
2
2
CB CA 2CB • CA
sin | a b |
| a || b |
3 两向量的向量积的运算律 （1） a×b=-b×a； （2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b （λ为常数） （3）（a+b）×c=a×c+b×c
4 两向量的向量积的坐标表示 设向量
a x1i y1 j z1k, b x2i y2 j z2k
则有
i
jk
a b x1 y1 z1 x2 y2 z2
此时，对于非零向量a，b，有 a // b x1 y1 z1 x2 y2 z2
约定：若分母中有零，相应地，分子也为零。
例3 设向量 a 3i 2 j k,b 2i j 3k, 求a b.
解：
ijk
a b 3 2 1 5i 11 j 7k
2 性质： （1） a·a=|a|2
i • i 1, j • j 1, k • k 1
（2）a b a •b 0
i • j 0, j • k 0, k • i 0
（3）θ表示两非零向量a和b的夹角，则有
cos a • b
| a || b |
3 运算律 （1）交换律 a •b b • a
是否共面？ 解：判断三个向量是否共面，只要判断其中的两个
而M的方向垂直于 OP 与F所决定的平面，M的指向是
是按右手规则从 OP 以不超过π的角的转向F来确定， 因而实际上
M OP F
2 两向量积的性质 （1）a×a=o；
ii j j kk o
（2）a || b a b o
（3）若a≠o，b≠o，a，b的夹角为θ，则
x1x2 y1 y2 z1z2
则有两非零向量a和b的夹角θ的余弦坐标表示为
cos a • b
x1x2 y1 y2 z1z2
| a || b |
x12 y12 z12 x22 y22 z22
此时，对于非零向量a，b，有
a b x1x2 y1 y2 z1z2