向量的数量积和向量积
向量的数量积与向量积
2
z
b +b +b
2 x y
z
(二)、两向量的向量积 二、 1、定义 、
c = a × b，它的模为 | c |=| a || b | sinθ
c 的方向既垂直于 又垂直于b，指向符合右手系 a .
2、向量积的坐标计算式
a × b = (a ybz − azby )i + (azbx − axbz ) j + (axby − a ybx )k
a⊥b ⇐⇒ axbx + ayby + azbz = 0
1 a 例 已知 = i + j , b = i + k,求a ⋅ b,cos(a, b)及ab.
解
a ⋅ b = {1,1,0} ⋅ {1,0,1} = 1 + 0 + 0 = 1,
1 a⋅b = cos(a, b) = 2 + 12 + 02 12 + 02 + 12 a⋅b 1 1 = 2 1 2 . ab = a cos(a, b) = 2 ⋅ = 2 2
= (a ybz − azby )i + (azbx − axbz ) j + (axby − a ybx )k
向量积还可用三阶行列式表示
i bx
按第一行展开就得到
j by
k az bz
a ×b = ax ay
a × b = (aybz − az by )i + (az bx − axbz ) j + (axby − aybx )k
仅就下图所示的情形给出证明， 仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可 仿此证明 a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c;
第七讲。数量积,向量积讲解
2
所以
( a,b ) 3
（3） 因为
4
a • b | a || b | cos( a,b ) | b | Pr jba
所以
Pr
ju AB
a•b |b|
9 3
3
例2 试用向量证明三角形的余弦定理.
证明 在DABC中, ∠BCA, |CB|a, |CA|b, |AB|c,
要证c2a2b22abcos .
3 运算律 （1）交换律 a •b b • a
（2）分配律 (a b) • c a • c b • c
（3）结合律 (a) • b (a • b) a • (b)
其中λ为常数。 4 数量积的计算公式 设向量
a x1i y1 j z1k, b x2i y2 j z2k
则有
a • b x1x2 y1 y2 z1z2
| a || b |
3 两向量的向量积的运算律 （1） a×b=-b×a； （2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b （λ为常数） （3）（a+b）×c=a×c+b×c
向量积还可用三阶行列式表示
i j k a b ax ay az
bx by bz
由上式可推出
ห้องสมุดไป่ตู้
a// b
ax ay az
θ
A
S
B
W | F || S | cos
2 性质： （1） a·a=|a|2
i • i 1, j • j 1, k • k 1
（2）a b a •b 0
i • j 0, j • k 0, k • i 0
（3）θ表示两非零向量a和b的夹角，则有
cos a • b
| a || b |
向量的数量积和向量积
向量的数量积和向量积向量是数学中一个重要的概念，它具有大小和方向两个属性。
在向量运算中，有两种主要的运算：数量积和向量积。
一、向量的数量积数量积，也称为点积或内积，是两个向量之间的一种二元运算。
它的结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角以及它们的长度之积。
设有两个向量a和b，它们的数量积可以通过以下公式计算：a·b = |a| |b| cosθ其中，a·b表示向量a和b的数量积，|a|和|b|表示向量a和b的长度，θ表示向量a和b之间的夹角。
数量积有以下几个重要的性质：1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数乘结合律：(λa)·b = λ(a·b)数量积有许多应用，例如用来计算向量的投影、判断两个向量是否垂直、计算力的功等。
二、向量的向量积向量积，也称为叉积或外积，是两个向量之间的一种二元运算。
它的结果是一个向量，其方向垂直于参与运算的两个向量所构成的平面，并遵循右手定则。
设有两个向量a和b，它们的向量积可以通过以下公式计算：a×b = |a| |b| sinθ n其中，a×b表示向量a和b的向量积，|a|和|b|表示向量a和b的长度，θ表示向量a和b之间的夹角，n为单位向量，其方向垂直于向量a和b所构成的平面，并符合右手定则。
向量积有以下几个重要的性质：1. 反交换律：a×b = -b×a2. 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 数乘结合律：(λa)×b = λ(a×b)向量积也有许多应用，例如用来计算向量的面积、判断两个向量是否平行、计算力矩等。
综上所述，向量的数量积和向量积是两种不同的运算。
数量积的结果是一个标量，表示了夹角及长度之间的关系，而向量积的结果是一个向量，表示了向量所在平面的法向量。
矢量的乘法
矢量的乘法
矢量的乘法可以分为两种情况：数量积（又称点乘）和向量积（又称叉乘）。
1. 数量积（点乘）：
数量积是两个矢量相乘得到一个标量的运算，用符号"."表示。
对于两个矢量a和b的数量积，可以表示为a·b。
计算公式为：a·b = |a| |b| cosθ
其中，|a|和|b|分别表示矢量a和b的模长，θ表示两个矢量之
间的夹角。
2. 向量积（叉乘）：
向量积是两个矢量相乘得到一个新矢量的运算，用符号"×"表示。
对于两个矢量a和b的向量积，可以表示为a×b。
计算公
式为：
a×b = |a| |b| sinθ n
其中，|a|和|b|分别表示矢量a和b的模长，θ表示两个矢量之
间的夹角，n为垂直于a和b所在的平面上的单位法向量。
矢量的乘法在物理学和工程学中有广泛的应用，例如力的乘法可以得到力矩，电场强度的乘法可以得到电场感应强度等。
数量积 向量积 混合积
关于这一类运算，在实际问题中很多，为此，给出向量数量积 的定义．
一、向量的数量积
定义1
设有两个非零向量a与b，它们正向间的夹角为 θ(0≤θ≤π)，则称|a|·|b|·cosθ为两向量a与b的数量积（又称 点积），记为a·b，即
【例1】
已知M1(0,2,－1),M2(1,0,1),M3(1,3,2),求 解 因为
所以
一、向量的数量积
【例2】
设力F={1,3,5}作用在一物体上，物体的位移是 s={2,－1,3}，求力F对物体做的功W．
解 W=F·s=1×2+3×(－1)+5×3=14．
一、向量的数量积
【例3】
已知三角形的三个顶点为 A(1,2,2),B(1,1,1),C(1,2,0),求证：△ABC为直角三角形， 并求∠A．
而M的方向（按右手系法则确定）垂直于OA和F所确定的平面． 根据此类实际问题研究的需要，我们引入向量积的定义．
二、向量的向量积
图 7-19
二、向量的向量积
定义2
设a，b为两个非零向量，我们定义向量a与b的向量积（又称叉 积）．向量积是满足下面条件的一个向量，记为a×b，它的模和方向分别为
（1）|a×b|=|a|·|b| ·sinθ(θ为a与b夹角). （2） a×b垂直于a与b所确定的平面，且a，b，a×b符合右手规则（见 图7-20），从几何上看|a×b|等于以a，b为邻边的平行四边形的面积．
三、向量的混合积
事实上，由图7-21可知 ［abc］=a·(b×c)=|a|·|b×c|cosθ=±|b×c|h，其中θ为a与b×c 的夹角，h为两平行底面间的距离．显然a在b×c方向的投影为 ±h，θ为锐角时取正，θ为钝角时取负．注意到|b×c|等于以b， c为邻边的平行四边形的面积，所以|b×c|h 为以a，b，c为棱的 平行六面体的体积的值．如果a，b，c符合右手系法则，θ为锐 角，［abc］>0；否则，θ为钝角，［abc］<0．
数量积和向量积的关系(数量积与向量积的区别)
数量积和向量积的关系（数量积与向量积的区别）
数量积是一种乘积，它有两个参与乘积的量，可以是两个数量的乘积或者某个因素的n次方。
通常，数量积的结果也是一个数量。
向量积是一种积，它有两个参与积的向量，并且它的结果也是一个向量。
向量积主要分为点积和叉积。
点积可以用来表示二个向量的夹角，叉积可以用来表示两个向量的垂直夹角。
总之，数量积是一种乘积，它有两个参与乘积的量，并且它的结果也是一个数量。
而向量积是一种积，它有两个参与积的向量，并且它的结果也是一个向量。
- 1 -。
向量的数量积与向量积
向量的数量积与向量积向量是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
向量的数量积和向量积是向量运算中的两个重要概念。
本文将详细介绍向量的数量积和向量积的定义、性质和应用。
一、向量的数量积向量的数量积也被称为点积或内积，用符号"·"表示。
给定两个向量a和b，向量的数量积定义为a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角。
数量积具有以下性质：1. 对于任意向量a和b，a·b = b·a，即数量积满足交换律。
2. 对于任意向量a，a·a = |a|^2，其中|a|^2表示向量a的长度的平方。
3. 如果两个向量a和b垂直（夹角为90度），则a·b = 0，即垂直向量的数量积为零。
4. 对于任意向量a和b，有a·b = |a||b|cosθ，其中θ为向量a和b之间的夹角。
数量积的应用非常广泛，例如在力学中，可以通过计算向量的数量积来求解两个力的合力和共线力。
在几何学中，可以利用数量积的性质来证明两个向量是否垂直或平行。
二、向量的向量积向量的向量积也被称为叉积或外积，用符号"×"表示。
给定两个向量a和b，向量的向量积定义为a×b = |a||b|sinθn，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角，n表示垂直于a和b所在平面的单位法向量。
向量积具有以下性质：1. 对于任意向量a和b，a×b = -b×a，即向量积满足反交换律。
2. 对于任意向量a，a×a = 0，即向量与自身的向量积为零。
3. 对于任意向量a和b，有|a×b| = |a||b|sinθ，其中θ为向量a和b之间的夹角，|a×b|表示向量a和b的向量积的长度。
向量积在物理学、几何学和工程学等领域中被广泛应用。
向量积和数量积的区别计算
向量积和数量积的区别计算今天，我们要讨论的是向量积和数量积之间的区别。
向量积是指两个投射到同一基向量上的两个矢量和它们两个矢量之间的夹角的积，而数量积指的是两个具有相同单位的量之间的乘积。
显然，它们是不同的概念，并且在物理学和数学中有各自独特的用法。
在本文中，我们将探讨向量积和数量积之间的区别，并说明它们在物理学和数学中的具体用法。
首先，我们来讨论向量积的概念。
向量积是指两个投射到同一基向量上的两个矢量和它们两个矢量之间的夹角的积，也可以被称为“乘积”。
它与常见数学中的点积或内积是不同的，它们在数学上可以表示为：向量积=|A|costheta |B|，其中|A|和|B|分别表示两个矢量的模，而theta是两个矢量之间的夹角，由此可以看出，向量积融合了两个矢量的模和夹角，它用于表示物理量之间具有某种现存关系。
其次，我们来讨论数量积的概念。
数量积指的是两个具有相同单位的量之间的乘积，它们可以表示为：它们的乘积=acdot b，其中a 和b分别表示两个量的值，它们用于表示物理量之间具有某种现存关系，当量积为正时，说明两个量之间有某种协调一致的关系；量积为负时，则表示两个量之间有某种抵消的关系。
最后，我们来讨论向量积和数量积在物理学和数学中的具体用法。
在物理学中，向量积常用于求解某个物理量的大小和方向，比如求解力的大小和方向；而数量积则常用于表示物理量之间的关系，比如求取能量的律、质量的定律等等。
在数学中，向量积常用于计算矩阵的行列式、变换矩阵的行列式、特殊内积以及求解方程组的解等；而数量积则用于计算形如ax^2+bx+c的二次多项式的根，以及计算复数的指数和对数等。
通过上面的讨论，我们可以得出结论：向量积和数量积是不同的概念，它们各自在物理学和数学中有独特的用法，一起帮助我们更好地理解和应用它们。
向量积和数量积的区别计算
向量积和数量积的区别计算
向量积和数量积是数学中两种重要的乘法运算，它们有着不同的性质和用途。
本文将介绍向量积和数量积的各自计算过程以及它们之间的不同之处。
首先，向量积并不是一种乘法运算，而是由多个向量相互叉乘所得到的积，它们可以是二维向量或三维向量，也可以是更高维度的向量。
向量积的结果是另外一个向量，其方向与输入的两个向量的夹角成反比，大小和输入的两个向量的叉乘有关。
其次，数量积是指两个数字值的乘积，也就是一个数乘以另外一个数。
它们的运算结果是另外一个数，它的大小取决于输入的两个数的大小关系。
最后，在不同的数学问题中，向量积和数量积都有各自的应用，它们在分析向量和数量因素时，能够处理各种不同的问题。
例如，向量积可以用于计算两个向量的夹角或者分析曲线的极坐标，而数量积则可以用于计算两个数值的乘积、分析空间的三个方向的积分或者计算特定积分项的值。
另外，在计算机视觉领域，向量积和数量积是两种常用的数学算法。
一般来说，向量积可以用于图像识别和特征提取，而数量积则可以用于位置信息的估计和相关算法的实现。
总之，向量积和数量积是数学计算中两种重要的乘法运算，它们有着不同的计算过程和应用场景。
我们可以根据不同的数学问题来灵活运用它们，以获得得出最优解的效果。
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向量的三种乘法
向量的三种乘法
向量的三种乘法包括点乘（也称为内积或数量积）、叉乘（也称为向量积或外积）和外展（也称为广义的叉积）。
以下是这三种乘法的详细介绍：
点乘（Dot Product）：也叫向量的内积、数量积。
两个n维向量a和b的点积定义为：a·b = a1b1+a2b2+...+anbn。
点乘的几何意义是一个向量在另外一个向量上的投影。
点乘的结果是一个标量，表示两个向量的相似度，两个向量越“相似”，它们的点乘越大。
叉乘（Cross Product）：也叫向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积。
叉乘是两个三维向量之间的运算，其结果是一个向量，模长等于两个向量模长的乘积与它们之间夹角正弦值的乘积，方向垂直于这两个向量所在的平面，且遵守右手定则。
外展（Outer Product）：对于任意n维向量a和b，外展的结果是一个n×n的矩阵，其元素aij为ai和bj的乘积。
总的来说，点乘主要用来衡量两个向量的相似度，叉乘主要用来生成一个与已有两个向量都垂直的新向量，而外展则可以将一个向量转化为一个矩阵，这在一些数学和物理计算中非常有用。
向量积 数量积
向量积数量积向量积，也称为数量积或点积，是线性代数中的一个重要概念。
它是两个向量的乘积，得到的结果是一个标量。
本文将深入探讨向量积的定义、性质和应用。
一、向量积的定义向量积是两个向量的乘积，表示为A·B，读作A点乘B。
对于二维向量A=(x1, y1)和B=(x2, y2)，它们的向量积定义为A·B = x1x2 + y1y2。
对于三维向量A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，它们的向量积定义为A·B = x1x2 + y1y2 + z1z2。
二、向量积的性质1. 向量积满足交换律：A·B = B·A。
这意味着两个向量的顺序对结果没有影响。
2. 向量积不满足结合律：(A·B)·C ≠ A·(B·C)。
这意味着向量积不具备结合性质。
3. 向量积与向量的夹角：A·B = |A||B|cosθ，其中θ是A和B 之间的夹角。
4. 向量积与正交性：如果两个向量的向量积为0，即A·B = 0，那么它们是正交的，也就是说它们的夹角为90度。
三、向量积的应用1. 计算力矩：在物理学中，力矩是指力对物体产生旋转的效果。
对于一个力F作用在位置矢量r上，其力矩M定义为M = r × F，其中×表示向量积。
通过向量积可以方便地计算力矩的大小和方向。
2. 判断向量的方向：通过向量积可以判断两个向量的相对方向。
如果A·B > 0，那么A和B的夹角小于90度；如果A·B < 0，那么A和B的夹角大于90度；如果A·B = 0，那么A和B是正交的。
3. 计算平面的法向量：对于一个平面上的两个非零向量A和B，它们的向量积A·B可以得到平面的法向量。
法向量垂直于平面，可以用来描述平面的性质和方程。
4. 计算三角形的面积：对于三角形的两条边A和B，它们的向量积的大小的一半可以表示三角形的面积。
《高等数学》第七章-数量积-向量积-混合积
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3. 运算律
(1) 交换律 (2) 结合律
b a
a ( b)
( a ) ( b) a ( b)
(ab)
(3) 分配律
(a b) c
Pr jc a Pr jc b Pr jc ( a b)
事实上, 当 c 0 时, 显然成立 ; 当c 0时
a b c c Pr jc a b c Prjc a Prjc b
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
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例1. 证明三角形余弦定理
c2 a2 b2 2abcos
证: 如图 . 设
i j jk ki 0
a b axbx ayby azbz
两向量的夹角公式 当 为非零向量时, 由于
a b cos , 得
cos
axbx ayby azbz
ab
a
2 x
a
2 y
az2
bx2 by2 bz2
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例2. 已知三点 M (1,1,1), A( 2, 2,1), B( 2,1, 2), 求
叉积:
i jk ab ax ay az
bx by bz
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结束
ax ay az
混合积: a b c ( a b ) c bx by bz
2. 向量关系:
cx cy cz
ab 0
bx by bz ax ay az
向量的数量积、向量积、混合积
混合积
混合积在解析几何中可以用于表示向量的旋 转和缩放。例如，在三维空间中，混合积可 以用来计算三个向量的旋转角度和缩放因子。
在物理学中的应用
向量积
在物理学中，向量积可以用于描述矢量场中的矢量线。 例如，在电磁学中，向量积可以用来计算磁场中的矢量 线。
混合积
在物理学中，混合积可以用于描述物体的转动惯量。例 如，在刚体动力学中，混合积可以用来计算刚体的转动 惯量。
性质
混合积为标量，其值与三个向量的顺序有关，但与向量的排列顺序无关。
几何意义
几何意义
向量$mathbf{a}$、$mathbf{b}$、 $mathbf{c}$的混合积等于以这三个向量 为邻边的平行六面体的体积。
VS
特殊情况
当其中一个向量是零向量时，混合积为零 ；当两个向量共线时，混合积为零。
运算性质
交换律
$(mathbf{a}, mathbf{b}, mathbf{c}) = (mathbf{c}, mathbf{b}, mathbf{a})$
分配律
$(mathbf{a} + mathbf{b}, mathbf{c}, mathbf{d}) = (mathbf{a}, mathbf{c}, mathbf{d}) + (mathbf{b}, mathbf{c}, mathbf{d})$
运算性质
要点一
分配律
$mathbf{A} times (mathbf{B} + mathbf{C}) = mathbf{A} times mathbf{B} + mathbf{A} times mathbf{C}$。
要点二
结合律
$(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。
向量的乘法运算法则
向量的乘法运算法则在数学中，向量是具有大小和方向的量，可以用来表示力、速度、位移等物理量。
向量的乘法运算是向量代数中的重要内容，它有不同的定义和运算法则。
本文将介绍向量的乘法运算法则，并探讨其在几何和物理问题中的应用。
向量的乘法运算可以分为数量积（点积）和向量积（叉积）两种。
数量积是两个向量的数量乘积，结果是一个标量；而向量积是两个向量的向量乘积，结果是一个新的向量。
接下来将分别介绍这两种乘法运算的法则。
一、数量积的乘法运算法则。
设有两个向量a和b，它们的数量积（点积）定义为：a·b = |a| |b| cosθ。
其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示a和b之间的夹角。
根据这个定义，可以得出数量积的乘法运算法则如下：1. 交换律，a·b = b·a。
2. 分配律，a·(b+c) = a·b + a·c。
3. 数乘结合律，(λa)·b = λ(a·b)，其中λ为实数。
4. 零向量，零向量与任意向量的数量积都为0。
数量积的应用非常广泛，例如在物理学中可以用来计算力的功和力矩，还可以用来判断两个向量的夹角大小和方向关系。
二、向量积的乘法运算法则。
设有两个向量a和b，它们的向量积（叉积）定义为：a×b = |a| |b| sinθ n。
其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示a和b之间的夹角，n为垂直于a和b所在平面的单位向量。
根据这个定义，可以得出向量积的乘法运算法则如下：1. 反交换律，a×b = -b×a。
2. 分配律，a×(b+c) = a×b + a×c。
3. 数乘结合律，(λa)×b = λ(a×b)，其中λ为实数。
4. 零向量，任意向量与零向量的向量积都为零向量。
向量积的应用也非常广泛，例如在物理学中可以用来计算力矩和角动量，还可以用来判断两个向量的夹角大小和方向关系。
向量的数量积和向量积的概念和计算
向量的数量积和向量积的概念和计算向量是代表有大小和方向的量，常用于物理学、力学和几何学等领域。
在向量运算中，数量积和向量积是两个重要的概念，它们在解决问题和分析向量关系时起着重要的作用。
一、数量积的概念和计算数量积也被称为点积或内积，是两个向量的运算结果，其结果是一个标量（即一个实数）。
对于两个向量A和B，它们的数量积可以通过如下公式计算：A·B = |A| * |B| * cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，cosθ表示向量A和B的夹角的余弦值。
根据数量积的计算公式可以得出以下结论：1. 如果向量A与向量B夹角为90度（即两个向量垂直），则它们的数量积为0，即A·B = 0。
2. 如果向量A与向量B夹角小于90度（即两个向量之间有夹角），则它们的数量积为正数，即A·B > 0。
3. 如果向量A与向量B夹角大于90度（即两个向量之间有夹角），则它们的数量积为负数，即A·B < 0。
二、向量积的概念和计算向量积也被称为叉积或外积，是两个向量的运算结果，其结果是一个向量。
对于两个向量A和B，它们的向量积可以通过如下公式计算：A ×B = |A| * |B| * sinθ * n其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，sinθ表示向量A和B 的夹角的正弦值，n表示垂直于A和B所在平面的单位向量，并且满足右手定则。
根据向量积的计算公式可以得出以下结论：1. 如果两个向量平行（即两个向量共线），则它们的向量积为零，即A × B = 0。
2. 如果向量A和向量B夹角为零或180度（即两个向量共线但方向相反），则它们的向量积为零，即A × B = 0。
三、数量积和向量积的应用数量积和向量积在物理和数学中有广泛的应用。
1. 数量积可以用来计算两个向量之间的夹角，通过夹角的余弦值来判断两个向量之间的关系。
2. 数量积还可以用来计算向量在某个方向上的分量，从而对向量进行分析和计算。
向量的数量积与向量积的计算
向量的数量积与向量积的计算在向量的数学运算中，常常涉及到数量积和向量积的计算。
这两种运算方法在解决问题中具有不同的作用和应用。
本文将重点讨论向量的数量积与向量积的计算方法及其相关特性。
1. 向量的数量积计算方法向量的数量积也称为点积或内积，表示为A·B，其中A和B分别为两个向量。
向量的数量积计算方法如下：设A = (x1, y1, z1) 和 B = (x2, y2, z2) 为两个三维向量，则它们的数量积可以通过下列公式计算得出：A·B = x1x2 + y1y2 + z1z2其中，x1、y1、z1分别为向量A在x、y、z轴上的分量，x2、y2、z2分别为向量B在x、y、z轴上的分量。
2. 向量的向量积计算方法向量的向量积也称为叉积或外积，表示为A × B，同样A和B为两个向量。
向量的向量积计算方法如下：设A = (x1, y1, z1) 和 B = (x2, y2, z2) 为两个三维向量，则它们的向量积可以通过下列公式计算得出：A ×B = (y1z2 - y2z1)i - (x1z2 - x2z1)j + (x1y2 - x2y1)k其中，i、j、k为标准基向量，分别表示x、y、z轴上的单位向量。
3. 数量积与向量积的特性数量积和向量积具有一些特性，这些特性在实际应用中发挥着重要的作用。
3.1 数量积的特性数量积满足以下特性：- A·B = B·A，即数量积满足交换律；- A·A ≥ 0，且A·A = 0，当且仅当A为零向量时，数量积为0；- 若 A·B = 0，则A与B垂直或其中至少有一个为零向量。
3.2 向量积的特性向量积满足以下特性：- A × B = -B × A，即向量积满足反交换律；- 向量积的模可以表示为 A × B = |A||B|sinθ，其中θ为A、B夹角的大小；- A × B垂直于向量A和向量B所在的平面；- 若向量A和向量B线性相关，则它们的向量积为零向量。
向量定理七个公式
向量定理七个公式向量定理是线性代数中的重要内容，它涉及到向量的加法、减法、数量乘法、内积、外积等基本运算。
以下是向量定理的七个重要公式：1.向量的加法和减法：对于向量a和b，它们的和可以表示为a+b，差可以表示为a-b。
这两个运算满足交换律和结合律。
交换律：a+b=b+a，a-b≠b-a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，(a-b)-c≠a-(b-c)注意：向量的加法可以通过将两个向量的相应分量相加来实现，向量的减法可以通过将被减向量的分量取负后与减向量的分量相加来实现。
2.向量的数量乘法：对于向量 a 和标量 k，a 乘以 k 表示为 ka。
这个运算满足结合律、分配律和乘法单位元。
结合律：k(ka) = (k·k)a分配律：k(a + b) = ka + kb乘法单位元：1·a=a注意：向量的数量乘法可以通过将向量的每个分量乘以标量k来实现。
3.向量的数量积（内积）：对于向量a和b，它们的数量积表示为a·b。
数量积有以下性质：a·b = ，a，b，cosθ其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模长，θ表示a和b之间的夹角。
这个公式的含义是，两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值之积。
注意：向量的数量积可以通过将两个向量的相应分量相乘后相加来实现。
4.向量的向量积（叉积）：对于向量 a 和 b，它们的向量积表示为a×b。
它的模长等于，a，b，sinθ，方向垂直于 a 和 b 所在平面，按右手定则确定。
叉积有以下性质：a×b=-b×aa×(b+c)=a×b+a×c(ka)×b = a×(kb) = k(a×b)a×b=0当且仅当a和b共线注意：向量的叉积可以通过求得两个向量所在平行四边形的面积来实现。
5.向量的混合积：对于向量a、b和c，它们的混合积表示为a·(b×c)。
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2 性质： （1） a·a=|a|2
i • i 1, j • j 1, k • k 1
（2）a b a •b 0
i • j 0, j • k 0, k • i 0
（3）θ表示两非零向量a和b的夹角，则有
cos a • b
| a || b |
3 运算律 （1）交换律 a •b b • a
证明：
a • b (x1i y1 j z1k ) • (x2i y2 j z2k )
x1x2i • i x1 y2i • j x1z2i • k y1x2 j • i y1y2 j • j y1z2 j •Байду номын сангаасk z1x2k • i z1y2k • j z1z2k • k
sin | a b |
| a || b |
3 两向量的向量积的运算律 （1） a×b=-b×a； （2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b （λ为常数） （3）（a+b）×c=a×c+b×c
4 两向量的向量积的坐标表示 设向量
a x1i y1 j z1k, b x2i y2 j z2k
一、两向量的数量积
1 定义 两个向量a和b的模与它们之间夹角的余弦之积，
称为向量a与b的数量积，记作a·b,即
a • b | a || b | cos(a, b)
数量积也称点积。
力学意义：一物体在力F的作用下，
F
沿直线AB移动了S，F与AB的夹角为α,
如右图，则力对物体做的功为
θ
A
S
B
W | F || S | cos
用e表示u轴上的单位向量，则a·e为向量a在e方向 上的投影，那么有
a • e | a || e | cos | a | cos
例1 已知a={1，1，-4}，b={1，-2，2}，求： （1）a·b； （2）a与b的夹角；
（3）a在b上的投影。
解：（1）a •b 11 1( 2 ) (-4) 2
5 向量在轴上的投影
设A为空间一点，u轴已知，如图。 过点A作与轴垂直的平面，平面与轴 A
的交点A‘称为A在轴上的投影。
对于已知向量 AB，u轴上的有向
A'
线段 AB 的模称为向量 AB 在轴u
上的投影，它是一个数量，记作
Pr ju AB
B
B'
u
那么
Pr ju AB | AB| cos
θ为向量 AB 与轴u的夹角。
令 | CB | a,| CA| b,| AB| c, 所以
c2 a2 b2 2ab cos
证毕
二、两向量的向量积
1 定义 设向量c由两个向量a和b按下列规定给出：
（1）|c|=|a| |b| sinθ，θ为向量a和b的夹角； （2）c a, c b ，且向量a，b ， c的方向满 足右手定则，如图； 那么向量c称为向量a和b的向量积，记作a×b，即
是否共面？ 解：判断三个向量是否共面，只要判断其中的两个
9 3
3
例2 求证余弦定理 c2 a2 b2 2ab cos
θ为边CA，CB的夹角。 A 证明：如图所示的△ABC，可得
那么
AB CB CA B
θ C
2
AB
( CB CA )2
( CB CA )•( CB CA )
2
2
CB CA 2CB • CA
而M的方向垂直于 OP 与F所决定的平面，M的指向是
是按右手规则从 OP 以不超过π的角的转向F来确定， 因而实际上
M OP F
2 两向量积的性质 （1）a×a=o；
ii j j kk o
（2）a || b a b o
（3）若a≠o，b≠o，a，b的夹角为θ，则
则有
i
jk
a b x1 y1 z1 x2 y2 z2
此时，对于非零向量a，b，有 a // b x1 y1 z1 x2 y2 z2
约定：若分母中有零，相应地，分子也为零。
例3 设向量 a 3i 2 j k,b 2i j 3k, 求a b.
解：
ijk
a b 3 2 1 5i 11 j 7k
（2）分配律 (a b) • c a • c b • c
（3）结合律 (a) • b (a • b) a • (b)
其中λ为常数。 4 数量积的计算公式 设向量
a x1i y1 j z1k, b x2i y2 j z2k
则有
a • b x1x2 y1 y2 z1z2
C= a×b
向量积又称为叉积。
c
★向量积模的几何意义是：以 a，b为邻边的平行四边形的面积。
b θ
a
★力学意义：力矩， 如下图所示。
O为一根杠杆L的支点，
F
有一个力F作用于其上点P处， O
F与OP 的夹角为θ，由力学
规定， 力F对支点O的力矩 是一个向量M，它的模
θ
P
L
Q
M OP F
| M ||OQ|| F ||OP|| F | sin
x1x2 y1 y2 z1z2
则有两非零向量a和b的夹角θ的余弦坐标表示为
cos a • b
x1x2 y1 y2 z1z2
| a || b |
x12 y12 z12 x22 y22 z22
此时，对于非零向量a，b，有
a b x1x2 y1 y2 z1z2
9
（2）cos(
a ,b
)
|
a a
•b || b
|
9
1
12 12 ( 4 )2 12 ( 2 )2 22
2
所以
( a,b ) 3
（3） 因为
4
a • b | a || b | cos( a,b ) | b | Pr jba
所以
Pr
ju AB
a•b |b|
2 1 3
例4 设向量 a 2i 问a×b与c是否平行？
3
j
k
,b
i
k,
c
i
1 3
j
k
解：
ijk
a b 2 3 1 3i j 3k
显然
1 0 1
故a×b//c.
例5 问向量 a = -2i+ 3j + k,b = -j + k,c = i - j - k