空间直角坐标系、矢量、向量数量积、向量积
高考立体几何复习三部曲—空间直角坐标系的应用
高考立体几何复习三部曲—空间直角坐标系的应用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高考数学立体几何三部曲—空间之直角坐标系专项一、积及坐标运算1．两个向量的数量积(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.2．向量的坐标运算3、应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：OP＝x OM＋y OAOP＝x OA＋(1－x)OB－一、空间向量的简单应用1．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是() A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥b D．以上都不对2．(2012·济宁一模)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是() A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}3．(教材习题改编)下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝0； ②若MB ＝x MA ＋y MB ，则M 、P 、A 、B 共面； ③若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面． 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．34．在四面体O －ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝________(用a ，b ，c 表示)．5．013·大同月考)若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)6已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( ) A.627 B.637 C.607D.657二、利用空间向量证明平行或垂直[例] 已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，边长为2a ，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .8.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．方法利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．(1)设直线l1的方向向量v1＝(a1，b1，c1)，l2的方向向量v2＝(a2，b2，c2)．则l1∥l2⇔v1∥v2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)设直线l的方向向量为v＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔v⊥n⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.l⊥α⇔v∥n⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．(3)设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2，α⊥β⇔n1⊥n2.1.2012·长春模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝3，BC＝4.(1)求证：BD⊥PC；(2)设点E在棱PC上，PE＝λPC，若DE∥平面P AB，求λ的值．2.如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CD＝∠C1CB＝∠BCD＝60°.(1)求证：C1C⊥BD；(2)当CDCC1的值是多少时，能使A1C⊥平面C1BD请给出证明．3.如图所示，平面P AD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△P AD是直角三角形，且P A＝AD＝2，E、F、G分别是线段P A、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG.三、利用向量求空间角1．两条异面直线所成的角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角)．2．直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e·n| |e||n|.3．求二面角的大小(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．(2)如图2、3，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．1．(教材习题改编)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°2．(教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°3.在如图所示的正方体A 1B1C1D1－ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC 夹角的余弦值为( )A ．－1010B ．－120C.120D.10104．已知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值为________．5．(教材习题改编)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值________．（一）异面直线所成的角[例1] (2012·陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35本例条件下，在线段OB 上，是否存在一点M ，使C 1M 与AB 1所成角的余弦为13若存在，求出M 点；不存在，说明理由．1．(2012·安徽模拟)如图所示，在多面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上、下两个底面A 1B 1C 1D 1和ABCD 互相平行，且都是正方形，DD 1⊥底面ABCD ，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值； (2)已知F 是AD 的中点，求证：FB 1⊥平面BCC 1B 1. .（二）直线与平面所成角[例2] (2012·大纲全国卷)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，AC ＝22，P A ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .(1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．2.(2012·宝鸡模拟)如图，已知P A⊥平面ABC，且P A＝2，等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝1，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E.(1)求证：PC⊥平面ADE；(2)求直线AB与平面ADE所成角的大小．（三）二面角[例3]在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝5，BC＝4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1)证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；3．如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤1)．(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE；(2)若二面角C－AE－D的大小为60°，求λ的值．11A1如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（I ）证明：11AC A B ⊥；（II ）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角1A AB C --的大小.【课后练习题】1.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角为________．2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2.若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为________．3.如图，在正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成角为________．4．(2012·山西模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6. (1)求证：BD ⊥平面P AC ； (2)求二面角P －BD －A 的大小．5．(2012·辽宁高考)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值．6．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直说明理由．7．(2013·湖北模拟)如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．(1)求证：P A⊥EF；(2)求二面角D－FG－E的余弦值．8．(2012·北京西城模拟)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2AA 1，∠ABC ＝90°，D 是BC 的中点．(1)求证：A 1B ∥平面ADC 1； (2)求二面角C 1－AD －C 的余弦值；(3)试问线段A 1B 1上是否存在点E ，使AE 与DC 1成60°角若存在，确定E 点位置；若不存在，说明理由．9．(2012·北京东城模拟)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．10．(2012·天津高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)证明PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．11.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2. (1)证明：当点E 在棱AB 上移动时，D 1E ⊥A 1D ；(2)在棱AB 上是否存在点E ，使二面角D 1－EC －D 的平面角为π6若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．12．(2012·湖北模拟)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°.(1)若异面直线A1B与B1C1所成的角为60°，求棱柱的高；(2)设D是BB1的中点，DC1与平面A1BC1所成的角为θ，当棱柱的高变化时，求sin θ的最大值．11。
向量与空间解析几何讲解学习
向量与空间解析几何第九章空间解析几何一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式.2．理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念.4．理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算.5．理解平面的点法式方程和空间直线的点向式方程（标准方程）、参数方程，了解平面和空间直线的一般式方程.6．理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲面的概念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面上的旋转曲面及以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图形.7．了解空间曲线及其方程，会求空间曲线在坐标面内的投影.8．了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形.重点向量的概念，向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算，平面的点法式方程，空间直线的标准式方程和参数方程，球面、以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形，空间曲线在坐标面内的投影.难点 向量的概念，向量的数量积与向量积的概念与计算，利用向量的数量积与向量积去建立平面方程与空间直线方程的方法，利用曲面的方程画出空间图形.（二）内容提要1. 空间直角坐标系在空间,使三条数轴相互垂直且相交于一点O ，这三条数轴分别称为x 轴、y 轴和z 轴，一般是把轴轴和y x 放置在水平面上，z 轴垂直于水平面.z 轴的正向按下述法则规定如下：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x 轴的正向，然后让四指沿握拳方向旋转900指向y 轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z 轴的正向(该法则称为右手法则).这样就组成了右手空间直角坐标系Oxyz .在此空间直角坐标系中，x 轴称为横轴，y 轴称为纵轴，z 轴称为竖轴，O 称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy 坐标面，类似地有yOz 坐标面，zOx 坐标面。
空间直角坐标系及空间向量的线性运算
? ?
y
?
?
y1 ? y2 , 2
? ??
z
?
z1 ? z2 . 2
3.空间向量的有关概念
名称
空间向量
单位向量 零向量 相等向量 相反向量 共线向量 (或平行向量) 共面向量
定义 在空间中,具有 大小和方向 的量叫做空间向量,向量的 大小叫做向量的 长度或模 .
长度(或模)为 1 的向量 长度(或模)为 0 的向量
因为 A(1,2,2), 所以点 A 到平面 yOz 的距离为|1|=1.
答案:3 1
反思归纳
(1)点P(x,y,z)关于各点、线、面的对称点的坐标
点、线、面 原点 x轴 y轴 z轴
坐标平面xOy 坐标平面yOz 坐标平面zOx
对称点坐标 (-x,-y,-z) (x,-y,-z) (-x,y,-z) (-x,-y,z) (x,y,-z) (-x,y,z) (x,-y,z)
第六节 空间直角坐标系及空间向量的线性运算
备考方向明确
方向比努力更重要
复习目标
1.会确定空间点的坐标. 2.会求直线方向向量及平 面法向量. 3.会进行空间向量的几何 运算及代数运算. 4.会进行空间向量的数量 积及坐标运算.
学法指导
1.空间直角坐标系中的点是由横、纵、竖三个 数组成的有序数组. 2.直线的方向向量与直线上的向量是共线向量 , 平面的法向量与平面上的任何直线都垂直 . 3.空间向量的几何运算及代数运算与平面向量 类似. 4.会通过数量积进行空间向量的坐标运算表达 直线、平面位置关系.
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如 果中指指向 z轴 的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
空间向量的直角坐标及其运算
∴ AP AB ， AP AD，又 AB AD A ， AP 平面 ABCD，
∴ AP 是平面 ABCD的法向量； 解：（2） AB 22 12 42 21 ， AD 42 22 02 2 5 ，
∴ SABC
1 2
AB
AC
sin
A
101 。 2
7、在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E, F 分别是 DD1、DB 中点，G 在棱CD 上，
CG
1 4
CD
，
H
是
C1G
的中点；
（1）求证： EF B1C ；（2）求 EF 与C1G 所成的角的余弦；（3）求 FH 的长。
解：如图以 D 为原点建立直角坐标系 D xyz ，
（3）证明线面平行：若直线的方向向量与平面的一个法向量垂直，则这直线与该平面平行；
（4）证明面面平行：若两个不重合平面的法向量平行，则这两个平面就互相平行。 11、用向量求异面直线所成角：
找出两条异面直线各自的一个方向向量，计算这两个向量的夹角 ，则 （或 的补角）
即为两条异面直线所成的角。
设 a、b 是异面直线， d1 是直线 a 的一个方向向量， d2 是直线b 的一个方向向量，异面
一、基本概念：
1、空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 i, j,k
表示；
（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底 i, j,k ，以点O 为原点，分别以 i, j,k 的方向
为正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴；我们称建立了一个空间 直角坐标系 O xyz ，点O 叫原点，向量 i, j, k 都叫单位向量；通过每两个坐标轴的平
空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。
本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。
有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。
用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。
1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。
相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。
例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。
1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。
空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。
例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。
二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。
在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。
空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。
1.1向量及空间坐标系
M1
M2
向量的模：向量的大小,记为
uuuuuur M1 M 2
或
| a|
单位向量：模长为1的向量.
记为 M1M20
r 或ea
零向量： 模长为0的向量. 记为
r 0.
任意方向
相等向量：ar
r b
大小相等且方向相同的向量.
a
b
自由向量： 不考虑起点位置的向量. a
a
负向量： 大小相等但方向相反的向量.
M(x, y,z)
y
Q(0, y,0)
A( x, y,0)
2.向量的坐标表示
由于所讨论的向量是自由向量，可以把任意
向设量终经点平M移(看x, 作y, z从)，原rr点 Ou出uMu发r, 的z向量，称为向径.
向坐标轴投影， 分向量：
uuur r uuur r uuur r OP＝xi ,OQ yj ,OR zk ,
4
P1
的坐标为(1,0,3), uuuur
求
P2的坐标.
解 设向量P1P2的方向角为, ,，则
,
3
cos 1 ,
2
4
,
cos
2, 2
Qcos2 cos2 cos2 1,
cos 1 ( 1 )2 ( 2 )2 1
22
2
由前面得
cos 1 , 2
cos 2 ,
uuur2
1.1.2 向量的线性运算
加法： a b c
c
b
a
b c
a
（三角形法则） （平行四边形法则）
三角不等式
|
ar
r b
||
ar
|
|
r b
|
高中数学必修知识点空间向量知识点
高中数学必修知识点空间向量知识点在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的知识点，它为我们解决空间几何问题提供了全新的思路和方法。
接下来，就让我们一起深入了解一下空间向量的相关知识。
一、空间向量的基本概念空间向量是指具有大小和方向的量。
它与平面向量类似，但存在于三维空间中。
一个空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系中，若向量的起点坐标为\（（x_1,y_1,z_1)＼），终点坐标为\（（x_2,y_2,z_2)＼），则该向量的坐标为\（（x_2 x_1, y_2 y_1, z_2 z_1)＼）。
零向量：长度为\（0\）的向量，其方向任意。
单位向量：长度为\（1\）的向量。
二、空间向量的运算1、加法和减法空间向量的加法和减法运算遵循三角形法则和平行四边形法则。
若\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b} ＝（x_1 ＋ x_2, y_1 ＋ y_2, z_1 ＋ z_2)＼），＼（＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝（x_1 x_2, y_1 y_2, z_1z_2)＼）2、数乘运算若\（＼lambda\）为实数，＼（＼overrightarrow{a} ＝（x,y,z)＼），则\（＼lambda\overrightarrow{a} ＝（＼lambda x, ＼lambda y, ＼lambda z)＼）数乘运算的规律：＼（＼lambda （＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b}）＝＼lambda\overrightarrow{a} ＋＼lambda\overrightarrow{b}＼）3、数量积空间向量的数量积\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{b}｜＼cos ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b}＞＼）若\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ x_1x_2 ＋ y_1y_2 ＋ z_1z_2\）数量积的性质：＼（＼overrightarrow{a} ＼perp ＼overrightarrow{b} ＼Leftrightarrow ＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ 0\）＼（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{a} ＝｜＼overrightarrow{a}｜＾2\）4、向量积空间向量的向量积\（＼overrightarrow{a} ＼times ＼overrightarrow{b}＼）是一个向量，其模长为\（｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{b}｜＼sin ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b}＞＼），方向垂直于\（＼overrightarrow{a}＼）和\（＼overrightarrow{b}＼）所确定的平面，遵循右手定则。
空间向量知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点;1. 空间向量的概念：在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量; 注：1向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量;2向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算;定义：与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下如图;OB OA AB a b=+=+;BA OA OB a b=-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量;1如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,a平行于b ,记作b a //;2共线向量定理：空间任意两个向量a、bb≠0 ,a b a bACAB λ=)1(=++=y x OB y OA x OC 其中a a±共面向量1定义：一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量; 说明：空间任意的两向量都是共面的;2共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线,p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+;3四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>(++++=y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组,,x y z,使p xa yb zc =++;若三向量,,a b c 不共面,我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底,,,a b c 叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底;推论：设,,,O A B C 是不共面的四点,则对空间任一点P ,都存在唯一的三个有序实数,,x y z ,使OP xOA yOB zOC =++; 6. 空间向量的直角坐标系： 1空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中,对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组(,,)x y z ,使zk yi xi OA ++=,有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标,记作(,,)A x y z ,x 叫横坐标,y 叫纵坐标,z 叫竖坐标; 注：①点Ax,y,z 关于x 轴的的对称点为x,-y,-z,关于xoy 平面的对称点为x,y,-z.即点关于什么轴/平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反;②在y 轴上的点设为0,y,0,在平面yOz 中的点设为0,y,z2若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底,用{,,}i j k 表示;空间中任一向量k z j y i x a++==x,y,z3空间向量的直角坐标运算律：①若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,则112233(,,)a b a b a b a b +=+++,112233(,,)a b a b a b a b -=---,123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈,112233a b a b a b a b ⋅=++,112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈,1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=;②若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则212121(,,)AB x x y y z z =---;一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标;③定比分点公式：若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,PB AP λ=,则点P 坐标为)1,1,1(212121λλλλλλ++++++z z y y x x ;推导：设Px,y,z 则),,(),(22211,1z z y y x x z z y y x x ---=---λ,显然,当P 为AB 中点时,)2,2,2(212121z z y y x x P +++④),,(),,,(,,,333222111z y x C z y x B ）z y ，A（xABC 中∆,三角形重心P 坐标为)2,2,3(321321321z z z y y y x x x P ++++++⑤ΔABC 的五心：内心P ：内切圆的圆心,角平分线的交点;AC AB AP +=λ单位向量外心P ：外接圆的圆心,中垂线的交点;==垂心P ：高的交点：PC PB PC PA PB PA ⋅=⋅=⋅移项,内积为0,则垂直重心P ：中线的交点,三等分点中位线比)(31AC AB AP += 中心：正三角形的所有心的合一;4模长公式：若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,则212||a a a a a =⋅=++21||b b b b =⋅=+5夹角公式：2cos ||||a ba b a b a⋅⋅==⋅+; ΔABC 中①0>•AC AB <=>A 为锐角②0<•AC AB <=>A 为钝角,钝角Δ6两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z , 则2||(AB AB ==或,A B d = 7. 空间向量的数量积;1空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ,在空间任取一点O ,作,OA a OB b ==,则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角,记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤,显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=,则称a 与b 互相垂直,记作：a b ⊥;2向量的模：设OA a =,则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模,记作：||a ;3向量的数量积：已知向量,a b ,则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积,记作a b ⋅,即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>;4空间向量数量积的性质：①||cos ,a e a a e ⋅=<>;②a b a b ⊥⇔⋅=;③2||a a a =⋅;5空间向量数量积运算律：①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅;②a b b a ⋅=⋅交换律; ③()a bc a b a c ⋅+=⋅+⋅分配律;④不满足乘法结合率：)()(c b a c b a ⋅≠⋅ 二．空间向量与立体几何1．线线平行⇔两线的方向向量平行1-1线面平行⇔线的方向向量与面的法向量垂直 1-2面面平行⇔两面的法向量平行2线线垂直共面与异面⇔两线的方向向量垂直 2-1线面垂直⇔线与面的法向量平行 2-2面面垂直⇔两面的法向量垂直3线线夹角θ共面与异面]90,0[O O ⇔两线的方向向量2,1n n 的夹角或夹角的补角,><=2,1cos cos n n θ3-1线面夹角θ]90,0[O O ：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP 与面的法向量n 的夹角,若为锐角角即可,若为钝角,则取其补角；再求其余角,即是线面的夹角.><=n AP ,cos sin θ3-2面面夹角二面角θ]180,0[O O ：若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法向量2,1n n 的夹角；法向量同进同出,则二面角等于法向量的夹角的补角.><±=21,cos cos n n θ4．点面距离h ：求点()00,P x y 到平面α的距离： 在平面α上去一点(),Q x y ,得向量PQ ;； 计算平面α的法向量n;.h =4-1线面距离线面平行：转化为点面距离 4-2面面距离面面平行：转化为点面距离典型例题1．基本运算与基本知识例 1. 已知平行六面体ABCD －D C B A '''',化简下列向量表达式,标出化简结果的向量;⑴AB BC +； ⑵AB AD AA '++；⑶12AB AD CC '++； ⑷1()3AB AD AA '++;例2. 对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ,问满足向量式： OP xOA yOB zOC =++其中1x y z ++=的四点,,,P A B C 是否共面;;;;;例3 已知空间三点A0,2,3,B －2,1,6,C1,－1,5;⑴求以向量,AB AC 为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a 分别与向量,AB AC 垂直,且|a |＝3,求向量a 的坐标; 2．基底法如何找,转化为基底运算3．坐标法如何建立空间直角坐标系,找坐标 4．几何法编号03晚自习测试；17,18题例 4. 如图,在空间四边形OABC 中,8OA =,6AB =,4AC =,5BC =,45OAC ∠=,60OAB ∠=,求OA 与BC 的夹角的余弦值;说明：由图形知向量的夹角易出错,如,135OA AC <>=易错写成,45OA AC <>=,切记例 5. 长方体1111ABCD A B C D -中,4AB BC ==,E 为11AC 与11B D 的交点,F 为1BC 与1B C 的交点,又AF BE ⊥,求长方体的高1BB ; 模拟试题1. 已知空间四边形ABCD ,连结,AC BD ,设,M G 分别是,BC CD 的中点,化简下列各表达式,并标出化简结果向量：1AB BC CD ++；21()2AB BD BC ++； 31()2AG AB AC -+;2. 已知平行四边形ABCD ,从平面AC 外一点O 引向量; ,,,OE kOA OF kOB OG kOC OH kOD ====; 1求证：四点,,,E F G H 共面； 2平面AC //平面EG ;3. 如图正方体1111ABCD A B C D -中,11111114B E D F A B ==,求1BE 与1DF 所成角的余弦;5. 已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中, 4,3,5,90AB AD AA BAD '===∠=, 60BAA DAA ''∠=∠=,求AC '的长;参考答案1. 解：如图,1AB BC CD AC CD AD ++=+=；2111()222AB BD BC AB BC BD ++=++;AB BM MG AG =++=；31()2AG AB AC AG AM MG -+=-=;2. 解：1证明：∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AC AB AD =+, ∵EG OG OE =-,∴,,,E F G H 共面；2解：∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅,又∵EG k AC =⋅, ∴//,//EF AB EG AC ;所以,平面//AC 平面EG ; 3.解：不妨设正方体棱长为1,建立空间直角坐标系O xyz -,则(1,1,0)B ,13(1,,1)4E ,(0,0,0)D , 11(0,,1)4F , ∴11(0,,1)4BE =-,11(0,,1)4DF =,∴11174BE DF ==, 11111500()114416BE DF ⋅=⨯+-⨯+⨯=;111515cos ,17BE DF ==;4. 分析：⑴1(2,1,3),(1,3,2),cos 2||||AB AC AB AC BAC AB AC ⋅=--=-∴∠==∴∠BAC ＝60°,||||sin 6073S AB AC ∴== ⑵设a ＝x,y,z,则230,a AB x y z ⊥⇒--+=解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1,∴a ＝1,1,1或a ＝－1,－1,－1; 5. 解：22||()AC AB AD AA ''=++ 所以,||85AC '=。
(完整版)高二空间向量知识点归纳总结
一．知识要点1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算：定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
b a B A OA OB +=+=；b a OB OA BA -=-=；)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则 3. 共线向量： （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ= <=>OB y OA x OC +=，其中1=+y x（4）与a 共线的单位向量为||a a ±4. 共面向量 ： （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使。
b y a x p += （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>OC z OB y OA x OP ++=，其中1=++z y x5. 空间向量基本定理：如果三个向量c b a ,,不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使c z b y a x p ++=。
若三向量c b a ,,不共面，我们{}c b a ,,把叫做空间的一个基底，c b a ,,叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间坐标系与向量的表示
空间坐标系与向量的表示在数学和物理学中，空间坐标系和向量是两个重要的概念。
空间坐标系是为了描述物体在空间中的位置而建立的一种坐标系统，而向量则是用来表示空间中的大小和方向的量。
本文将介绍空间坐标系和向量的表示方法。
一、空间坐标系空间中常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
直角坐标系是一种以直角为基础的坐标系，其中的三个坐标轴分别与空间中的三个方向相垂直。
我们通常用x、y和z分别表示直角坐标系的三个坐标轴。
在直角坐标系中，每个点的位置可以用一个有序的数对 (x, y, z) 来表示，其中x表示点在x轴上的投影长度，y表示点在y轴上的投影长度，z表示点在z轴上的投影长度。
另一种常用的空间坐标系是极坐标系。
极坐标系通常用于描述平面上的点，但也可以扩展到三维空间中。
在极坐标系中，点的位置由极径和极角确定。
将极径表示为r，极角表示为θ，那么可以用一个有序的数对(r, θ, z) 来表示空间中的点的位置。
二、向量的表示向量是空间中的一种几何量，它既有大小又有方向。
在空间中，向量通常用有序的组数来表示。
假设空间中有一个向量A，它的大小为|A|，方向为从点P指向点Q。
那么向量A可以表示为⃗PQ。
向量的表示方法有多种，常见的有分量表示法和坐标表示法。
1. 分量表示法分量表示法是将向量A在各个坐标轴上的投影长度表示为有序的数对 (Ax, Ay, Az)。
其中Ax表示向量在x轴上的投影长度，Ay表示向量在y轴上的投影长度，Az表示向量在z轴上的投影长度。
例如，向量A在直角坐标系中的分量表示为 (Ax, Ay, Az)。
2. 坐标表示法对于直角坐标系来说，向量A的坐标表示与分量表示是相同的。
即向量A的坐标表示为 (Ax, Ay, Az)。
而对于极坐标系来说，向量A的坐标表示为 (r, θ, z)。
其中r表示向量的大小，θ表示向量与正x轴的夹角，z表示向量在z轴上的投影长度。
三、总结本文介绍了空间坐标系和向量的表示方法。
空间坐标系包括直角坐标系和极坐标系，用来描述物体在空间中的位置。
第六节 空间直角坐标系及空间向量的线性运算(知识梳理)
第六节空间直角坐标系及空间向量的线性运算复习目标学法指导1.会确定空间点的坐标.2.会求直线方向向量及平面法向量.3.会进行空间向量的几何运算及代数运算.4.会进行空间向量的数量积及坐标运算. 1.空间直角坐标系中的点是由横、纵、竖三个数组成的有序数组.2.直线的方向向量与直线上的向量是共线向量,平面的法向量与平面上的任何直线都垂直.3.空间向量的几何运算及代数运算与平面向量类似.4.会通过数量积进行空间向量的坐标运算表达直线、平面位置关系.一、空间直角坐标系及空间向量的有关概念1.空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系以空间一点O为原点,建立三条两两垂直的数轴:x轴、y轴、z轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做坐标原点,x 轴、y轴、z轴叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x 轴的正方向,食指指向y 轴的正方向,如果中指指向z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.(3)空间一点M 的坐标空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,记作M(x,y,z),其中x 叫做点M 的横坐标,y 叫做点M 的纵坐标,z 叫做点M 的竖坐标. 2.空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式①设点A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2),则②点P(x,y,z)与坐标原点O 之间的距离为 .(2)中点公式设点P(x,y,z)为线段P 1P 2的中点,其中P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),则有121212,2,2.2x x x y y y z z z +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩3.空间向量的有关概念向量零向量长度(或模)为0的向量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量,a平行于b记作 a∥b共面向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量概念理解(1)空间直角坐标系的建立原则是:合理利用几何体中的垂直关系,特别是面面垂直;尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上.(2)直线的方向向量:l是空间一直线,A,B是直线l上任意两点,则称ABu u u r为直线l的方向向量,与ABu u u r平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.(3)平面的法向量可利用方程组求出:设a,b 是平面α内两不共线向量,n 为平面α的法向量,则求法向量的方程组为0,0.n a n b ⋅=⎧⎨⋅=⎩ (4)共线向量定理中a ∥b ⇔存在λ∈R,使a=λb,不要忽视b ≠0. (5)一个平面的法向量有无数个,但要注意它们是共线向量,不要误认为是共面向量. 二、数量积与坐标运算 1.数量积及相关概念(1)两向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA u u u r =a,OB u u u r=b,则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角,记作<a,b>,其范围是[0,π].若<a,b>=π2,则称向量a 与b 互相垂直,记作a ⊥b.若<a,b>=0,则称向量a 与b 同向共线,若<a,b>=π,则称向量a 与b 反向共线. (2)两向量的数量积:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做向量a,b 的数量积,记作 a ·b,即a ·b=|a||b|cos<a,b>. 2.两个向量数量积的性质和结论 已知两个非零向量a 和b.(1)a ·e=|a|cos<a,e>(其中e 为单位向量). (2)a ⊥b ⇔a ·b=0. (3)cos<a,b>=a b a b⋅.(4)a 2=a ·a=|a|2,|a|=.(5)|a ·b|≤|a||b|.3.空间向量数量积的运算律 (1)数乘结合律:(λa)·b=λ(a ·b).(2)交换律:a ·b=b ·a.(3)分配律:a ·(b+c)=a ·b+a·c. 4.向量坐标的定义设i,j,k 为空间三个两两垂直的单位向量,如果OP u u u r=xi+yj+zk,则(x,y,z)叫做向量OP u u u r的坐标. 5.空间向量运算的坐标表示 设a=(x 1,y 1,z 1),b=(x 2,y 2,z 2),那么(1)加、减运算:a ±b=(x 1±x 2,y 1±y 2,z 1±z 2). (2)数量积:a ·b=x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2. (3)夹角公式:cos<a,b>=121212222222111222x y z x y z ++++.(4)模长公式:|a|=a a ⋅=222111x y z ++.(5)数乘运算:λa=(λx 1,λy 1,λz 1)(λ∈R).(6)平行的充要条件:a ∥b ⇔x 1=λx 2,y 1=λy 2,z 1=λz 2(λ∈R). (7)垂直的充要条件:a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0.1.概念理解(1)探求两向量的夹角时, 必须从两向量共起点来看.(2)空间向量的数量积运算律与平面向量数量积运算律保持一致. (3)向量OP u u u r的坐标是终点坐标减去起点坐标.(4)立体几何中的平行或共线问题一般可以用向量共线定理解决,求两点间距离可以用向量的模解决;解决垂直问题一般可化为向量的数量积为零;求角问题可以转化为两向量的夹角.2.与数量积及坐标运算相关联的结论(1)aa表示单位向量.(2)|a|2=a·a.(3)空间向量不满足结合律,即(a·b)·c≠a·(b·c).1.在平行六面体ABCD-EFGH中,若AG u u u r=2xABu u u r+3yBCu u u r+3zHDu u u r,则x+y+z等于( D )(A)76(B)23(C)56(D)12解析:因为AG u u u r=AB u u u r+BC u u u r-HD u u u r,所以21,31,31,xyz=⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以1,21,31,3xyz⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩所以x+y+z=12.故选D.2.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量AB u u u r,AD u u u r,1AAu u u r两两的夹角均为60°,且|AB u u u r|=1,|AD u u u r|=2,|1AAu u u r|=3,则|1ACu u u u r|等于( A )(A)5 (B)6 (C)4 (D)8解析:设AB u u u r=a,AD u u u r=b,1AAu u u r=c,则1ACu u u u r=a+b+c,21ACu u u u r=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=25,因此|1ACu u u u r|=5.故选A.3.在空间四边形ABCD中,AB u u u r·CD u u u r+AC u u u r·DB u u u r +AD u u u r·BC u u u r等于( B )(A)-1 (B)0(C)1 (D)不确定解析:如图,令AB u u u r=a,AC u u u r=b,AD u u u r=c,则AB u u u r·CD u u u r+AC u u u r·DB u u u r+AD u u u r·BC u u u r=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.考点一空间直角坐标系[例1] 在空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,2,2),则|OA|= ;点A到坐标平面yOz的距离是.解析:根据空间直角坐标系中两点间的距离公式,得|OA|=()()()222-+-+-=3.102020因为A(1,2,2),所以点A到平面yOz的距离为|1|=1.答案:3 1(1)点P(x,y,z)关于各点、线、面的对称点的坐标点、线、面对称点坐标原点(-x,-y,-z)x轴(x,-y,-z)y轴(-x,y,-z)z轴(-x,-y,z)坐标平面xOy (x,y,-z)坐标平面yOz (-x,y,z)坐标平面zOx (x,-y,z)(2)两点间距离公式的应用①求两点间的距离或线段的长度;②已知两点间的距离,确定坐标中参数的值;③根据已知条件探求满足条件的点的存在性.设点M(2,1,3)是直角坐标系Oxyz中一点,则点M关于x轴对称的点的坐标为( A )(A)(2,-1,-3) (B)(-2,1,-3)(C)(-2,-1,3) (D)(-2,-1,-3)解析:点M关于x轴对称的点与点M的横坐标相同,纵坐标、竖坐标均互为相反数,所以对称点为(2,-1,-3).故选A.考点二空间向量的线性运算[例2] 在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重u u u u r.心,用基向量OA u u u r,OB u u u r,OC u u u r表示OG u u u r,MG解:OG u u u r =OA u u u r +AG u u u r=OA u u u r +23AN u u u r=OA u u u r +23(ON u u u r -OA u u u r)=OA u u u r+23[12(OB u u u r +OC u u u r )-OA u u u r]=13OA u u u r+13OB u u u r+13OC u u u r. MG u u u u r =OG u u u r -OM u u u u r=OG u u u r -12OA u u u r=13OA u u u r +13OB u u u r +13OC u u u r -12OA u u u r=-16OA u u u r+13OB u u u r+13OC u u u r. (1)选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求.如本例用OA u u u r ,OB u u u r ,OC u u u r 表示OG u u u r ,MG u u u u r等,另外解题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量.(2)首尾相接的若干个向量的和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.所以求若干向量的和,可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和.如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N 分别是对边OA,BC 的中点,点G 在线段MN 上,且分MN 所成的比为2,现用基向量OA u u u r ,OB u u u r ,OC u u u r 表示向量OG u u u r ,设OG u u u r =x OA u u u r +y OB u u u r+z OCu u u r ,则x,y,z 的值分别是( D ) (A)x=13,y=13,z=13(B)x=13,y=13,z=16(C)x=13,y=16,z=13 (D)x=16,y=13,z=13解析:设OA u u u r =a,OB u u u r =b,OC u u u r=c, 因为G 分MN 所成的比为2,所以MG u u u u r =23MN u u u u r, 所以OG u u u r=OM u u u u r +MG u u u u r =OM u u u u r +23(ON u u u r -OM u u u u r) =12a+23(12b+12c-12a) =12a+13b+13c-13a =16a+13b+13c, 即x=16,y=13,z=13. 考点三 空间向量的数量积与坐标运算[例3] 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设a=AB u u u r ,b=AC u u u r,(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值;(2)若向量ka+b 与ka-2b 互相垂直,求k 的值.解:因为A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),a=AB u u u r,b=AC u u u r,所以a=(1,1,0),b=(-1,0,2). (1)cos θ=a b a b⋅=10025-++⨯=-1010,所以a 和b 的夹角θ的余弦值为-1010.解:(2)因为ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), ka-2b=(k+2,k,-4)且(ka+b)⊥(ka-2b),所以(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k 2-8=2k 2+k-10=0. 解得k=-52或k=2. (1)求空间向量数量积的方法①定义法.设向量a,b 的夹角为θ,则a ·b=|a||b|cos θ; ②坐标法.设a=(x 1,y 1,z 1),b=(x 2,y 2,z 2),则a ·b=x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2. ③基向量法.将所求向量用基向量表示,再进行运算. (2)数量积的应用①求夹角.设非零向量a,b 的夹角为θ,则cos θ=a b a b⋅,进而可求两异面直线所成的角;②求长度(距离).运用公式|a|2=a ·a,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题;③解决垂直问题.利用a ⊥b ⇔a ·b=0(a ≠0,b ≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.1.如图,在棱长为2的正四面体A-BCD 中,E,F 分别为直线AB,CD 上的动点,且3若记EF 中点P 的轨迹为L,则|L|等于 .(注:|L|表示L 的测度,在本题,L 为曲线、平面图形、空间几何体时,|L|分别对应长度、面积、体积)解析:为了便于计算,将正四面体放置于如图的正方体中,可知,正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,设E(0,y 1,y 1),F(2,y 2,2-y 2),P(x,y,z),|EF|=()()()222121222yy y y +-+-+=3,即(y 1-y 2)2+(y 1+y 2-2)2=1,又12122,22x y y y y y z ⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+-=⎪⎩即121222,2x y y y y y z ⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪+-⎪⎪⎩代入上式得2222=1,即2)22)2=14,即P 的轨迹为半径为12的圆,周长为|L|=2πr=π. 答案:π2.A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足AB u u u r ·AC u u u r =0,AC u u u r ·AD u u u r =0,AB u u u r ·AD u u u r=0,M为BC 的中点,则△AMD 是( C )(A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)不确定 解析:因为M 为BC 的中点, 所以AM u u u u r =12(AB u u u r +AC u u u r).所以AM u u u u r·AD u u u r =12(AB u u u r +AC u u u r )·AD u u u r=12AB u u u r·AD u u u r +12AC u u u r ·AD u u u r=0.所以AM ⊥AD,即△AMD 为直角三角形. 考点四 易错辨析[例4] 如图所示,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O 是BC 的中点,点A 的坐标是(32,12,0),点D 在平面yOz 内,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.(1)求OD u u u r的坐标;(2)设AD u u u r 和BC u u u r的夹角为θ,求cos θ的值.解:(1)如图所示,过D 作DE ⊥BC,垂足为E.在Rt △DCB 中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=3.所以DE=CDsin 30°3.OE=OB-BDcos 60°=1-12=12.所以D 点坐标为(0,-12,3),即OD u u u r的坐标为(0,-12,3).解:(2)依题意,OA u u u r=(3, 12,0), OB u u u r =(0,-1,0), OC u u u r=(0,1,0),所以AD u u u r =OD u u u r -OA u u u r=(-3,-1,3),BC u u u r =OC u u u r -OB u u u r=(0,2,0).由AD u u u r 和BC u u u r的夹角为θ,得 cos θ=AD BC AD BC⋅u u u r u u u ru u u r u u u r=()()2222223301202233102022-⨯+-⨯+⨯⎛⎫⎛⎫-+-+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-10.所以cos θ=-10.解答空间向量的计算问题时,以下两点容易造成失分,在备考时要高度关注:(1)对向量运算法则特别是坐标运算的法则掌握不熟练导致失误. (2)不能熟练地运用向量共线、垂直的充要条件将问题转化.类型一 空间直角坐标系1.在四棱锥O-ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,设OA u u u r=a, OB u u u r=b,OC u u u r =c,则OD u u u r可表示为(A )(A)a+c-b (B)a+2b-c(C)b+c-a (D)a+c-2b 解析:因为OA u u u r=a,OB u u u r=b,OC u u u r=c,在▱ABCD 中,BA u u u r =OA u u u r -OB u u u r =a-b,OD u u u r - OC u u u r =CD u u u r =BA u u u r=a-b, 所以OD u u u r=OC u u u r+CD u u u r =a-b+c.故选A.2.已知空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C,若OP u u u r =x OA u u u r +y OB u u u r +z OC u u u r(x,y,z ∈R),则“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的( B ) (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 解析:当x=2,y=-3,z=2时, 即OP u u u r=2OA u u u r-3OB u u u r+2OC u u u r.则AP u u u r -AO u u u r =2OA u u u r -3(AB u u u r -AO u u u r )+2(AC u u u r -AO u u u r), 即AP u u u r=-3AB u u u r +2AC u u u r,根据共面向量定理知,P,A,B,C 四点共面; 反之,当P,A,B,C 四点共面时,根据共面向量定理, 设AP u u u r =m AB u u u r +n AC u u u r(m,n ∈R), 即OP u u u r-OA u u u r=m(OB u u u r-OA u u u r)+n(OC u u u r-OA u u u r), 即OP u u u r=(1-m-n)OA u u u r+m OB u u u r+n OC u u u r,即x=1-m-n,y=m,z=n,这组数显然不止2,-3,2.故“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C 四点共面”的充分不必要条件.故选B.3.已知a=(2,3,1),b=(-4,2,x),且a ⊥b,则|b|= . 解析:因为a ⊥b,所以-8+6+x=0,解得x=2, 故|b|=()222422-++=26.答案:26类型二 空间向量线性运算4.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,向量1DD u u u u r -AB u u u r +BC u u u r化简后的结果是( A )(A)1BD u u u u r (B)1D B u u u u r (C)1B D u u u u r (D)1DB u u u u r解析:根据空间向量加法的平行四边形法则,把向量平移到同一起点,得1DD u u u u r -AB u u u r +BC u u u r =BA u u u r +BC u u u r +1BB u u u r =1BD u u u u r,故选A.类型三 空间向量数量积及坐标运算5.点P 是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点,则PA u u u r·1PC u u u u r 的取值范围是(D )(A)[-1,-14] (B)[-12,-14] (C)[-1,0] (D)[-12,0] 解析:如图,以D 1为原点,以D 1C 1,D 1A 1,D 1D 方向为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则A(0,1,1),C 1(1,0,0),P(x,y,0), PA u u u r=(-x,1-y,1),1PC u u u u r=(1-x,-y,0), PA u u u r ·1PC u u u u r =(x-12)2+(y-12)2-12,(其中0≤x ≤1,0≤y ≤1),所以PA u u u r ·1PC u u u u r的取值范围是[-12,0].故选D.6.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a,点E,F 分别是BC,AD 的中点,则AE u u u r ·AF u u u r 的值为( C )(A)a 2 (B)12a 2 (C)14a 2(a 2解析:AE u u u r ·AF u u u r =12(AB u u u r +AC u u u r)·12AD u u u r =14(AB u u u r ·AD u u u r +AC u u u r ·AD u u u r)=14(a 2cos 60°+a 2cos 60°)=14a 2.故选C. 7.在四棱锥P-ABCD 中,AB u u u r =(4,-2,3),AD u u u r=(-4,1,0),AP u u u r=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h 等于( B )(A)1 (B)2 (C)13 (D)26解析:设平面ABCD 的法向量为n=(x,y,z),则,,n AB n AD ⎧⎪⎨⎪⎩u u u ru u u r ⊥⊥⇒4230,40,x y z x y -+=⎧⎨-+=⎩ 令y=4,则n=(1,4,43), 则h=n AP n⋅u u u r=326833-+-=2.故选B.8.OA u u u r=(1,2,3),OB u u u r=(2,1,2),OP u u u r=(1,1,2)(其中O 为坐标原点),点Q 在OP 上运动,当QA u u u r ·QB u u u r取最小值时,点Q 的坐标为( C )(A)( 12,34,13) (B)( 12,23,34) (C)( 43,43,83) (D)( 43,43,73) 解析:设OQ u u u r =λOP u u u r=λ(1,1,2)=(λ,λ,2λ), 则QA u u u r=(1-λ,2-λ,3-2λ), QB u u u r=(2-λ,1-λ,2-2λ),QA u u u r ·QB u u u r=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10 =6(λ-43)2-23.当λ=43时,QA u u u r ·QB u u u r取得最小值,此时Q(43,43,83).故选C.9.A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足AB u u u r ·AC u u u r =0,AC u u u r ·AD u u u r =0,AB u u u r ·AD u u u r=0,则△BCD是( B )(A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)不确定 解析:BC u u u r ·BC u u u r =(AD u u u r -AB u u u r )·(AC u u u r -AB u u u r) =AD u u u r ·AC u u u r -AD u u u r ·AB u u u r -AB u u u r ·AC u u u r +2AB u u u r =2AB u u u r >0,所以cos ∠DBC>0,∠DBC 为锐角, 同理∠BDC,∠BCD 为锐角. 所以△BCD 为锐角三角形,故选B.。
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
第四节 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程
三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看作是两个平面的交线.
设直线L是平面1和2的交线, 平面的方程分别为
A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20, 那么直线L可以用方程组
设α=x1i+y1j+z1k=(x1 , y1 ,z1), 则有：β=x2i+y2j+z2k= (x2,y2,z2).
α+β =（x1+x2 ）i +（y1+y2）j +（z1+z2) k
=(x1+x2 , y1+y2 , z1+z2 ). α-β=（x1-x2) i+ (y1-y2 ) j+ (z1-z2)k
一方向向量s(m, n, p)为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.
❖直线的对称式方程
求通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s(m, n, p)的直线的方 程.
设M(x, y, z)为直线上的任一点,
则从M0到M的向量平行于方向向量:
从而有
(xx0, yy0, zz0)//s ,
>>>注
λ >0
由性质1， Prj(λα)=|λα|cos(φ1)
α φ1 = φ
=λ|α|cosφ
λα φ1=π- φ
=λPrjlα
λ<0
当λ<0时 φ1=π-φ
λα
Prj(λα)=|λ|.|α|cos(φ1) =-λ|α|(-cosφ)
λ >0 α
=λPrjlα； 当λ=0时
空间直角坐标系空间向量及其运算
【名师说“法”】
空间共线向量定理、共面向量定理的应用
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
P→A＝λP→B
M→P＝xM→A＋yM→B
对空间任一点 O，O→P＝ 对空间任一点 O，O→P＝O→M＋
O→A＋tA→B
xM→A＋yM→B
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
[解析] 因为 α⊥β，所以两个平面的法向量也垂直，因此 (－1,3,4)·(x,1，－2)＝0，即 x＝－5.
[答案] －5
5．已知空间三点 A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则A→B
与C→A的夹角 θ 的大小是________．
[解析] 由题意知A→B＝(－2，－1,3)，C→A＝(－1,3，－2)，故
[答案] C
角度二 利用数量积求长度 2．如图，在 60°的二面角 α、l、 β 的棱 上有两点 A，B，点 C，D 分别在 α，β 内， 且 AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝AB＝1，则 CD 的长度为 ______________．
2
O→M)＝12(O→B＋O→C－O→A)＝12(b＋c－a)．
[答案]
12(b＋c－a)
3．如图所示，已知空间四边形 OABC，其
对角线为 OB、AC，M、N 分别为 OA、BC 的中
点，点 G 在线段 MN 上，且M→G＝2G→N，若O→G＝
x
→ OA
＋
y
→ OB
＋
z
→ OC
，
则
x，y，z
的值分别为
平行于同一个__平__面____的向量
0
a＝b a的相反向 量为－a
a∥b
第六章空间向量与空间解析几何简介
Q2
y
图 6-14
2． 向量的坐标表示
❖ 定理2 向量 AB在轴 u上的投影，等于向量的模乘以
轴与向量夹角 的余弦，即
❖
Pr ju AB A1B1 | AB | cos
(6-4)
❖ 证 如图6-16所示，过 A 引轴 u与轴 u平行且有相同
的正方向，那么，AB 与u 轴的夹角也等于 ，且
有Pr ju AB Pr ju AB，
个相同的单位长度，这样的三条坐标轴就构成了一个空间直
角坐标系，记为O-xyz．
❖ 空间两点M1M2之间的距离公式
M1M 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
OM x2 y2 z2
z R M
z
R2
R1
R M1
P
M2
Q
N
O
P
x
图 6-13
Qy
O P1 P2
x
Q1
平面，且 a，b，ab 符合右手规则
食指
（图 6-19），从几何上看|ab|等于 b
以 a、b 为邻边的平行四边形的面
a
拇指
图 6-19
积．
向量积满足以下规律和性质：
（1）b a=-a b； （2）结合律：( a)b=a( b)= (ab)； （3）分配律：(a+b) c=a c+b c；
注 向量的减法不适合交换律和结合律．
3． 向量与数的乘法(数乘)
❖ 设 是一个数,a为一向量．向量a与 的乘积a 仍为一向量，我们规定:
❖ 当 0时， a与 a同方向，模|a |= |a |； ❖ 当 0时， a与 a方向相反；|a |=| ||a|； ❖ 当 0时， a是零向量． ❖ 由定义即可得向量的数乘满足以下运算规律： ❖ （1）结合律：(ka) k(a) (k)a
空间几何
(3) d ( AB ) | AB | 2 2 12 ( 1) 2 6 .
5. 坐标表示下的向量运算
设 a a1i a2 j a3 k , b b1i b2 j b3 k ,则有 (1) a b ( a1 b1 ) i ( a2 b2 ) j ( a3 b3 ) k ; (2) a a1i a2 j a3 k ; (3) a b ( a1 b1 ) i ( a2 b2 ) j ( a3 b3 ) k ; (4) a b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ; (5) a // b
P 就确
定了惟一的一组有序的数组 x, y , z ,用 ( x, y, z ) 表示.
z R z
P(x, y, z) y P' N y
M x
x
O
根据上面的法则,建立了空间一点与一 组有序数（ x , y , z ）之间的一一对应关系. 有序数组 ( x, y , z ) 称为点 P 的坐标, x , y , z 分别称为x坐标, y 坐标和z坐标.
M 1M 2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k
或= x2 x1 , y2 y1 , z 2 z1
3.向量 a a1i a2 j a3k 的模
任 给 一 向 量 a a1i a2 j a3 k , 都 可 将 其 视 为 以 点
向量减法的三角形法则： 把 a 与 b 的起点放在一起, 即 a b 是以 b 的 终点为起点,以 a 的终点为终点的方向向量 .
三、向量的坐标表示
1. 向径及其坐标表示
a-b b
空间向量及其运算
空间向量及其运算空间向量及其运算最新考纲要求学生了解空间向量的概念，基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解和坐标表示，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，并能够运用向量的数量积判断向量的共线和垂直。
本节内容是空间向量的基础，包括空间直角坐标系、空间向量的基本定理、公式和四种运算等内容。
一般不单独命题，常以简单几何体为载体，以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明以及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力。
空间向量的相关概念包括零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量和共面向量等。
其中，共线向量定理指出，空间两个向量a与b(b≠)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb；共面向量定理的向量表达式为p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量；空间向量基本定理指出，如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫作空间的一个基底。
空间向量的数量积是指两个向量的模相乘再乘以它们的夹角的余弦值，记作a·b，其中a，b为非零向量。
空间向量数量积的运算律包括(λa)·b＝λ(a·b)、交换律：a·b＝b·a、分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c等。
空间向量的坐标表示及其应用是指将向量的坐标表示成有序实数组的形式，可以用于计算向量的模、夹角、共线关系和垂直关系等。
在应用中需要注意共线向量和共面向量的区别，平行于同一平面的向量为共面向量。
2.零向量不能作为基向量，因为它与任何一个非零向量共线，与任何两个非零向量共面。
3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，因为一个确定的几何体的“线线”夹角和“点点”距离都是固定的。
坐标系的位置不同只会影响计算的繁简，不会影响结果。
向量表示：对于向量a和b，有a·b、|a|、〈a，b〉的定义和计算公式。
§7.2空间直角坐标系及向量运算的坐标表示
1 2 2 2 2 ∴ cos 1cos cos 1( ) ( ) 。 3 3 3
2 2
1 a x a cos 6 2 ， 3 2 a y a cos 6 4 ， 3
2 a z a cos 6( ) 4 ， 3
4 4 , }. 41 41
1 2 cos 例 2.设向 量 a 的 两个方向余弦为 ， cos ， 3 3
又 a 6 ， 求 向 量a 的 坐 标。
1 2 解：∵ cos cos cos 1 ， cos ， cos ， 3 3
2 2
求 分点C 的坐标。
z
M1
C
M2
解：设 分 点C 的坐标为( x, y,z ) ， 则有 M1C CM 2 ，
o
y
x
即 { x x1 , y y1 , z z1 } { x 2 x , y2 y , z 2 z } ，
故有 x x1 ( x2 x ) ， y y1 ( y2 y ) ， z z1 ( z2 z ) ，
§34 空间直角坐标系 及向量运算的坐标表示
7.2.1 空间直角坐标系
一、空间直角坐标系与点的坐标 三个坐标轴的正方向符合 右手系.
z
竖轴
z 轴， 即以右手握住 当右手的四个手指
从正向 x 轴以 角 2 度转向正向 y 轴
时，大拇指的指向 就是z 轴的正向.
定点 o
y 纵轴
横轴 x
空间直角坐标系
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
M2 M1
0 ,
0 , 0 .
空间向量知识点归纳总结归纳
空间向量知识点归纳总结知识要点。
1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2.空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)( 3.共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。
当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a//b 存在实数λ，使a＝λb 。
4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
5.空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。
6.空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
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设
a
(aax ,ba
a
y , az ), b (bx ,by ,bz ) (ax bx , ay by , az
( ax , ay , az )
, 为实数，则
bz )
平行向量对应坐标成比例:
当 a
0
时,
b
a
b
a
bx by bz ax ay az
bx ax by ay
关于x轴:
(x,y,z) (x,-y,-z)
M(x,y,z)
0
.
(-x,-y,-z) R
y 关于原点:
x Q
(x,-y,-z)
(x,y,z) (-x,-y,-z)
P
(x,y,-z)
二、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,或a .
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
在直角坐标系下
点 M 11 有序数组 (x, y, z) 11 向径 r
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
空间解析几何与矢量代数
一、空间直角坐标系 二、向量的概念 三、向量的线性运算 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
一、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
B
AB OB OA ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
得两点间的距离公式:
A
AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
例2. 在 z 轴上求与两点A(4,1,7)及 B(3,5, 2)等距
离的点 .
解: 设该点为 M (0,0, z), 因为 M A M B ,
a
b a b (a )
b ba
特别当b a 时, 有
ba
a a a (a ) 0
a
三角不等式
ab a b
ab a b
3. 向量与数的乘法
运是规总算一定 之律个::: 数结 分合 配, 000律 律时时 时与,,，aa((的(aaaa与 与a乘)0aa)积baa同.反)是向向(一，，aaa个)新aa向ba量a,记aa1作1可;aa;见aa.;a ;
z
OM ON NM OA OB OC C
OA x i , OB y j, OC z k
r
x
i
y
j
z
k
(x
,
y
,
z
)
ko i
j
r
M B y
A
此x i式, y称j 为, z 向k 称量为r 的向坐量标r 分沿解三式个坐, 标轴方向x 的分向量N .
四、利用坐标作向量的线性运算
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
r
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
z
o
x
坐标面 :
xoy面 z 0 yoz面 x 0 zox面 y 0
坐标轴 :
y
x轴
y0 z0
y轴 z 0 x0
z轴 x 0 y0
M点的对称点
z
关于xoy面:
(x,y,z) (x,y,-z)
向量的模 : 向量的大小, 记作 M1M 2 , 或 a , 或 a .
向径 (矢径): 起点为原点的向量.
自由向量: 与起点无关的向量.
单位向量:
模为
1
的向量,记作
a
或
a
.
M2
零向量: 模为 0 的向量, 记作 0，或 0 .
M1
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ;
C
b a BD 2 MD 2 MB
bM
MA
1 2
(
a
b)
MB
1 2
(
b
a
)
A
a
B
MC
1 2
(
a
b
)
MD
1 2(ba)4. 向量的坐标表示
在空 间 直 角坐标系下, 以 i , j , k 分别表示 x ,
任意向量 r 可用向径 OM 表示.
y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
的坐标为 M (x , y , z), 则
bz az
五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
z R
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
M
o
Q y
由勾股定理得
r OM
P
x
N
OP 2 OQ 2 OR 2 x2 y2 z2
对两点A(x1 , y1 , z1) 与B(x2 , y2 , z2 ), 因
若
a
0,
则有单位向量
a
1 a
a.
因此
a
a a
定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
b a ( 为唯一实数)
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点, AB a , AD b,
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a b AC 2 MC 2 MA
D
三、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(a b) c
c
bc
a (b c)
三角形法则:
a
ab
b
ab b a
a 运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 ( a b ) c a (b c ) a b c
三角形法则可推广到多个向量相加 .
2. 向量的减法
(4)2 12 (7 z)2 32 52 (2 z)2
解得
z
14 9
,
故所求点为M
(0
,
0
,
14 9
)
.
思考: 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
提示: 设动点为 M (x , y ,0), 利用 M A M B , 得
14x 8y 28 0, 且 z 0
OB设2.方有b向两, 称角非与零=方向∠向量A余OaB,弦b(,0任≤ 取≤空间) 为一向点量O , a作 ,bO的A夹 a角 , .
记作类给似定(a可,rb定) 义(x向, y或量, z)与(b轴,0a,,)轴称 与r轴与的三夹坐角标轴. 的O夹角