空间直角坐标系、矢量、向量数量积、向量积

若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
空间解析几何与矢量代数
一、空间直角坐标系 二、向量的概念 三、向量的线性运算 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
一、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
在直角坐标系下
点 M 11 有序数组 (x, y, z) 11 向径 r
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
B
AB OB OA ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
得两点间的距离公式:
A
AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
例2. 在 z 轴上求与两点A(4,1,7)及 B(3,5, 2)等距
离的点 .
解: 设该点为 M (0,0, z), 因为 M A M B ,
关于x轴:
(x,y,z) (x,-y,-z)
M(x,y,z)
0
.
(-x,-y,-z) R
y 关于原点:
x Q
(x,-y,-z)
(x,y,z) (-x,-y,-z)
P
(x,y,-z)
二、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,或a .
三、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(a b) c
c
bc
a (b c)
三角形法则:
a
ab
b
ab b a
a 运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 ( a b ) c a (b c ) a b c
三角形法则可推广到多个向量相加 .
2. 向量的减法
OB设2.方有b向两, 称角非与零=方向∠向量A余OaB,弦b(,0任≤ 取≤空间) 为一向点量O , a作 ,bO的A夹 a角 , .
记作类给似定(a可,rb定) 义(x向, y或量, z)与(b轴,0a,,)轴称 与r轴与的三夹坐角标轴. 的O夹角
C
b a BD 2 MD 2 MB
bM
MA
1 2
(
a
b)
MB
1 2
(
b
a
)
A
a
B
MC
1 2
(
a
b
)
MD
1 2
(
b
a
)
4. 向量的坐标表示
在空 间 直 角坐标系下, 以 i , j , k 分别表示 x ,
任意向量 r 可用向径 OM 表示.
y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
的坐标为 M (x , y , z), 则
z
OM ON NM OA OB OC C
OA x i , OB y j, OC z k
r
x
i
y
j
z
k
(x
,
y
,
z
)
ko i
j
r
M B y
A
此x i式, y称j 为, z 向k 称量为r 的向坐量标r 分沿解三式个坐, 标轴方向x 的分向量N .
四、利用坐标作向量的线性运算
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
r
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
z
o
x
坐标面 :
xoy面 z 0 yoz面 x 0 zox面 y 0
坐标轴 :
y
x轴
y0 z0
y轴 z 0 x0
z轴 x 0 y0
M点的对称点
z
关于xoy面:
(x,y,z) (x,y,-z)
向量的模 : 向量的大小, 记作 M1M 2 , 或 a , 或 a .
向径 (矢径): 起点为原点的向量.
自由向量: 与起点无关的向量.
单位向量:
模为
1
的向量,记作
a
或
a
.
M2
零向量: 模为 0 的向量, 记作 0，或 0 .
M1
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ;
设
a
(aax ,ba
a
y , az ), b (bx ,by ,bz ) (ax bx , ay by , az
( ax , ay , az )
, 为实数，则
bz )
平行向量对应坐标成比例:
当 a
0
时,
b
a
b
a
bx by bz ax ay az
bx ax by ay
a
b a b (a )
b ba
特别当b a 时, 有
ห้องสมุดไป่ตู้
ba
a a a (a ) 0
a
三角不等式
ab a b
ab a b
3. 向量与数的乘法
运是规总算一定 之律个::: 数结 分合 配, 000律 律时时 时与,,，aa((的(aaaa与 与a乘)0aa)积baa同.反)是向向(一，，aaa个)新aa向ba量a,记aa1作1可;aa;见aa.;a ;
若
a
0,
则有单位向量
a
1 a
a.
因此
a
a a
定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
b a ( 为唯一实数)
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点, AB a , AD b,
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a b AC 2 MC 2 MA
D
(4)2 12 (7 z)2 32 52 (2 z)2
解得
z
14 9
,
故所求点为M
(0
,
0
,
14 9
)
.
思考: 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
提示: 设动点为 M (x , y ,0), 利用 M A M B , 得
14x 8y 28 0, 且 z 0
bz az
五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
z R
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
M
o
Q y
由勾股定理得
r OM
P
x
N
OP 2 OQ 2 OR 2 x2 y2 z2
对两点A(x1 , y1 , z1) 与B(x2 , y2 , z2 ), 因