8-2数量积向量积24688
高中数学必修二8.1~8.2向量的线性运算与数量积-知识点
1 高中数学必修二8.1~8.2向量的线性运算与数量积-知识点 1、①单位向量： 模为1 的向量；②零向量： 模为0 的向量，规定零向量的方向可以是 任意 的；③相等向量：模 相等 且方向 相同 的向量；④相反向量：模 相等 且方向 相反 的向量； 2、平行向量：所在直线 平行或重合 的两个向量平行，方向 相同或相反 。
规定零向量 平行于 任意向量。
“A 、B 、C 三点共线”的充要条件：AC AB ∥。
3、向量加法的三角形法则：已知a 与b 不平行 ，将b 与a 首尾相接 ，那么以 a 的起点 为起点，b 的终点 为终点的向量，就是和向量a +b 。
4、向量加法的多边形法则，就是连续多次 使用三角形 法则。
比如：21A A +32A A +43A A +54A A +...+n 1-n A A =n 1A A 。
5、向量加法的平行四边形法则：已知a 与b 不平行 ，让a 与b 共起点 ，以这两个向量的邻边 作平行四边 形，则对角线向量 就是和向量a +b 。
6、向量减法的三角形法则：已知a 与b 不平行 ，让b 与a共起点 ，则差向量a -b 以 减向量b 的终点 为起点，指向被减向量a 的终点 。
7、向量的加法满足①交换律：a +b =b +a ；②结合律：（a +b ）+c =a +（b +c ）。
8、减去一个向量，等于加上 这个向量的相反向量 。
a -b =a +（-b ）。
9、实数与向量的乘法满足下列运算律：①λ(μa ) = (λμ)a ；②(λ+μ)a = λa +μa ；③λ(a +b ) = λa +λb 。
10、0a 表示与a 同方向 的 单位 向量，a = a 0a ，0a = 0a a。
2 11、向量的加法、减法以及实数与向量的乘法，统称为向量的线性运算。
12、三角形ABC 中，若AD 为中线，则AD =21AB +21AC 。
若动点P 在AD 所在直线上，则AP = λ（AB +AC ）。
向量的数量积 第2课时 向量的向量积 课件(1)-人教A版高中数学必修第二册(共17张PPT)
【解析】 由于 a2≥0，b2≥0，所以，若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0， 故①正确；若 a＋b＝0，则 a＝－b，又 a，b，c 是三个非零向量， 所以 a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b 共线⇔a·b＝±|a||b|， 所以③不正确；对于④应有|a||b|≥a·b；对于⑤，应该是 a·a·a＝|a|2a； ⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确；当 a 与 b 的夹角为 0 时，也有 a·b>0， 因此⑦错；
小结：
数量积运算律
(1)a b b a（交换律） (2)(a) b (a b) (a) b（数乘结合律）
(3)(a b) c a c b c （分配律）
所以
(a b) c a c b c
思考：向量的数量积满足结合律 ( a b ) c a ( b c ) 吗？
说明： (a b) c 表示一个与 c 共线的向量 ， 而 a (b c) 表示一个与a 共线的向量 但 c 与 a 不一定共线，
(a b) c a (b c)
∴ 向量数量积不满足结合律 .
例1.对任意a,b R ,恒有 (a b)2 a2 2ab b2，(a b)(a b) a2面类似的结论？
(1)(a
2(a
b)2 b)
a
2
(a b)
2a
a
b b 2 2 b2
解：（1）(a b)2 (a b)(a b) a a a b b a b b
即a2
k
2
2
b
0
因为
2
a
32
2
9, b
42
16
所以 9 16k 2 0
所以,当 k 3时, 4
空间向量的数量积运算公式
空间向量的数量积运算公式
空间向量的数量积公式是λa·b=a·λb，空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。
规定长度为0的向量叫做零向量，记为0，模为1的向量称为单位向量。
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。
记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。
三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。
含有x轴正半轴、y 轴正半轴、Z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy 面的上方，按逆时针方向确定。
在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。
基本定理
1、共线向量定理
两个空间向量a，b向量（b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。
2、共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x，y，使c=ax+by。
3、空间向量分解定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
04-第二节 平面向量的运算-课时3 向量的数量积高中数学必修第二册人教版
2
=
2
，
4
即向量 − 与 + 夹角的余弦值是
1
2
2
.
4
知识点2 向量的垂直关系 4年2考
7.[2024北京房山区期中]已知向量,满足|| = 3，|| = 2，且
( − ) ⊥ ，则向量与的夹角为( B
π
A.
3
π
B.
6
)
2π
C.
3
5π
D.
6
【解析】 设向量与的夹角为 ，由( − ) ⊥ 得，
同的值，所以该集合中有4个元素.
5.（多选）[2024海南海口期中]△是边长为2的等边三角形，已知
=
1
+ ，
2
A.是单位向量
=−
1
，则下列结论中正确的是(
2
B.|| = 3
C.//
BCD
)
D. ⊥
【解析】 因为△是边长为2的等边三角形， = +
D.若圆的半径为2，则在上的投影向量的
模的最大值为6
AB
)
【解析】 如图，取的中点D，连接，则 ⊥ ，
由数量积公式及投影向量可得 ⋅ = |||| = 2，
⋅ = −|||| = −2,A,B正确；因为点C为圆上
任意一点，故当C,A重合时， ⋅ = 0，当 ⊥ 时， ⋅ = 0，故
) = 9 + 2( ⋅ + ⋅ + ⋅ ) = 0，所以 ⋅ + ⋅ + ⋅ =
9
− .
2
2.设向量,满足| + | = 3，| − | = 1，与的夹角为 ，则
||
向量的数量积运算的所有公式
向量的数量积运算的所有公式1.向量的数量积定义：对于两个向量u和v，它们的数量积表示为u·v，即：u·v = ，u，，v，cosθ其中，u，和，v，分别表示向量u和v的长度（或模），θ表示向量u和v之间的夹角。
2.向量的数量积性质：(a)u·v=v·u（交换律，数量积满足交换律）(b)u·u=，u，^2（自身与自身的数量积等于向量的长度的平方）(c) (ku)·v = k(u·v)（数量积与标量的乘积等于标量与数量积的乘积）(d)(u+v)·w=u·w+v·w（数量积的分配律）3.向量的数量积的计算公式：(a)对于二维向量u=(u₁,u₂)和v=(v₁,v₂)：u·v=u₁v₁+u₂v₂(b)对于三维向量u=(u₁,u₂,u₃)和v=(v₁,v₂,v₃)：u·v=u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃4.向量的数量积的几何解释：(a)两个向量u和v之间的数量积u·v等于向量u在向量v方向上的投影长度乘以向量v的长度。
(b)如果u和v之间的夹角θ等于0度，则u·v=，u，，v，（数量积的最大值）(c)如果u和v之间的夹角θ等于90度，则u·v=0（数量积的最小值）5.向量的数量积与向量的垂直性：(a)如果u·v=0，则向量u和v垂直（正交）。
(b)如果u·v≠0，则向量u和v不垂直。
6.向量的数量积与向量的夹角的关系：(a) u·v = ，u，，v，cosθ(b)如果θ=0度，则u·v=，u，，v，（数量积的最大值）(c)如果θ=90度，则u·v=0（数量积的最小值）这些公式是向量的数量积运算的基本公式和性质，可用于求解向量的数量积问题，以及在几何和物理等领域中的应用。
向量的数量积运算的所有公式
向量的数量积运算的所有公式1.定义：设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，则a与b的数量积定义为：a·b=a1b1+a2b2+a3b32.单位向量：如果向量a是一个单位向量，则a与任何向量b的数量积等于b在a的方向上的投影长度。
3.平行向量：如果两个向量a和b平行，则它们的数量积为：a ·b = ，a，，b，cosθ其中，a，和，b，分别表示向量的模（长度），θ表示a和b之间的夹角。
4.正交向量：如果两个向量a和b互相垂直（夹角为90度），则它们的数量积为：a·b=05.向量的模：设向量a=(a1,a2,a3)，则a的模定义为：a，=√(a1^2+a2^2+a3^2向量的模也可以表示为向量的数量积与自身的开方，即：a，=√(a·a6.向量的投影长度：设向量a与向量b之间的夹角为θ，则向量b 在a的方向上的投影长度为：proj_a(b) = ，b，cosθ投影长度也可以表示为数量积与向量a的模的商，即：proj_a(b) = (a · b) / ，a7.向量的夹角：设向量a和b之间的夹角为θ，则夹角的余弦可以表示为向量的数量积与两个向量模的商，即：cosθ = (a · b) / (，a，，b，)从该公式可以推导出两个向量夹角的正弦和余弦。
8.柯西-施瓦茨不等式：对于任意两个向量a和b，有：a·b，≤，a，当且仅当a和b共线时，等号成立。
9.向量的数量积的性质：-交换律：a·b=b·a-结合律：(c*a)·b=c*(a·b)，其中c是一个标量-分配律：(a+b)·c=a·c+b·c这些公式是向量的数量积运算中的一些重要性质和公式。
它们在向量运算、物理学、几何学等领域具有广泛的应用。
高二数学两个向量的数量积
§9.5两个向量的数量积 教学目的：⒈掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；⒉掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；⒊掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题． 教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用． 教学难点：两个向量数量积的几何意义． 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a +=+=;b a -=-=;)(R a ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++ ⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .要注意其中对向量a的非零要求．5 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．6． 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t +=a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量.空间直线的向量参数表示式：t OA OP +=a或)(OA OB t OA OP -+=OB t OA t +-=)1(，中点公式．)(21OB OA OP +=7．向量与平面平行：已知平面α和向量a，作O A a = ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+ ①或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++ ②或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++=③上面①式叫做平面MAB 的向量表达式9 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++若三向量,,a b c不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB =++二、讲解新课：1 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；规定0,a b π≤<>≤ ，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>= ，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥.2．向量的模：设OA a = ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .3．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<> 叫做,a b的数量积，记作a b ⋅ ，即a b ⋅= ||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a = 和轴l ，e是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B '' 叫做向量AB 在轴l 上或在e上的正射影.可以证明A B '' 的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅ ．4．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=．（3）2||a a a =⋅．5．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）．三、讲解范例：例1 用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理已知：,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥求证：l α⊥．证明：在α内作不与,m n 重合的任一直线g ，在,,,l m n g 上取非零向量,,,l m n g，∵,m n 相交，∴向量,m n不平行，由共面定理可知， 存在唯一有序实数对(,)x y ，使g xm yn =+，∴l g xl m yl n ⋅=⋅+⋅ ，又∵0,0l m l n ⋅=⋅=， ∴0l g ⋅= ，∴l g ⊥，∴l g ⊥，所以，直线l 垂直于平面内的任意一条直线，即得l α⊥．例2．已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥．证明：（法一）()()AD BC AB BD AC AB ⋅=+⋅- 2AB AC BD AC AB AB BD =⋅+⋅--⋅ ()0AB AC AB BD AB DC =⋅--=⋅=． （法二）选取一组基底，设,,AB a AC b AD c ===， ∵AB CD ⊥，∴()0a c b ⋅-=，即a c b a ⋅=⋅ ， 同理：a b b c ⋅=⋅ ， ∴a c b c ⋅=⋅ ，∴()0c b a ⋅-=，∴0AD BC ⋅= ，即AD BC ⊥．说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明例3．如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠= ，60OAB ∠= ，求OA 与BC 的夹角的余弦值解：∵BC AC AB =- ， ∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<>84cos13586cos12024=⨯⨯-⨯⨯=- ∴243cos ,855||||OA BC OA BC OA BC ⋅--<>===⨯⋅， 所以，OA 与BC 的夹角的余弦值为35-． 说明：由图形知向量的夹角时易出错，如,135OA AC <>=易错写成,45OA AC <>=，切记！四、课堂练习：1．已知向量a b ⊥ ，向量c 与,a b 的夹角都是60，且||1,||2,||3a b c === ，试求：（1）2()a b + ；（2）2(2)a b c +- ；（3）(32)(3)a b b c -⋅-． 解：∵向量a b ⊥ ，向量c 与,a b 的夹角都是60，且||1,||2,||3a b c === ，∴22231,4,9,0,,32a b c a b a c b c ===∙=∙=∙=（1）222()2a b a a b b +=+∙+ 1045=++=；（2）2(2)a b c +- =222(2)2224a b c a b a c b c +++∙-∙-∙＝1+16+9+0-3-12=11；（3）(32)(3)a b b c -⋅- =2333223a b a c b b c ∙-∙-+∙ ＝0-272-8+18=722.已知线段AB 、BD 在平面α内，BD ⊥AB ，线段AC ⊥α，如果AB=a,BD=b,AC=c,求C 、D 间的距离.解：∵AC α⊥，,AB BD α⊂,∴,AC AB AC BD ⊥⊥，又∵AB BD ⊥,∴0,0AC AB AC BD ∙=∙=，0AB BD ∙= ,∴22||()CD CD CD CA AB BD =∙=++ =222c a b ++.∴||CD =五、小结 ：由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号，两个向量的数量积的意义等，都与平面向量是相同的．六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。
向量积和数量积的运算公式
向量积和数量积的运算公式向量积又称为叉积或矢量积，用符号"×"表示。
给定两个向量a和b，它们的向量积c可以表示为：c=a×b向量积的计算公式如下：1.向量积的计算方法有两种：几何法和代数法。
在几何法中，我们可以根据a和b的方向及其夹角来计算向量积。
而在代数法中，我们可以使用坐标来计算向量积。
2.几何法计算向量积的公式为：c = ，a，，b，sinθ n其中，a，表示向量a的模，b，表示向量b的模，θ表示a和b的夹角，n是一个垂直于平面的单位向量。
3.代数法计算向量积的公式为：c=(a2b3-a3b2)i+(a3b1-a1b3)j+(a1b2-a2b1)k其中，i、j和k是分别表示x、y和z轴的单位向量。
a1、a2和a3是向量a的坐标分量，b1、b2和b3是向量b的坐标分量。
4.叉积满足右手定则，即当右手的食指指向向量a的方向，中指指向向量b的方向时，大拇指所指的方向即为向量积c的方向。
5. 向量积的模可以通过公式，c， = ，a，，b，sinθ 来计算，其中θ为a和b的夹角。
向量积的运算公式非常重要，它有助于解决关于平面及其运动、力学等方面的问题，下面是一些应用案例：（1）力矩的计算：力矩可以通过向量积来计算。
对于一个由作用力F产生的力矩M，可以表示为：M=r×F其中，r是从力的作用点到旋转轴的矢量。
（2）平面的法向量计算：给定一平面上的两个向量a和b，可以通过叉积来计算平面的法向量n。
具体公式为：n=a×b法向量可以用来计算平面的方程以及平面上点的投影等问题。
（3）力的分解：向量积可以用于将一个力分解为两个分力的向量和。
假设力F的两个分力分别为F1和F2，那么可以计算得到：F=F1+F2其中，F1为向量积c的方向与F相同的分力，F2为向量积c的方向与F相反的分力。
（4）等式的转化：叉积可以用于将复杂的向量等式转化为不同形式的等式，以简化计算。
高中数学苏教版必修四《2.4平面向量的数量积2》课件
• 1. a b | a || b | cos
• 2.
a bab 0
2
a
|
a
|2
3.投影
2.4
谢谢大家
苏教版 高中数学
常用公式
(1)(a
b)2
2
2a b
2
b
2
2
(2)(a b) (a b) a b
例题
已知 | a | 6,| b | 4,a与b的夹角为60，求
a
b，
2
a
,
2
b,
(a 2b) (a 3b),
(a b)2, | a b |
解:a b | a || b | cos 12
2
a
2.4
平面向量的 数量积
苏教版 高中数学
• 1.多动脑筋 • 2.数形结合 • 3.总结基本题型 • 4.限时训练
• 已知两个非零向量 a 与 b，它们的
• 夹角为θ，我们把数量 | a | | b |cos 叫做a 与 b的
数量积（或内积,点乘），
a b | a || b | cos
思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么
2
a
102 100
(3) | a | 8，
2
a a 82 64
2
(4)a
4，
|
a
|2
2
a
4
,| a |
42
2
(5)a
7，
|
a
|2
2
a
7
,| a |
7
数量积运算律
• 经验证，数量积满足如下运算率
(1)a b b a
(2)( a) b (a b) ( a) b
(人教A版)2021年新高二数学暑假精品讲义-第十七讲 空间向量的数量积运算(教师版)
第十七讲 空间向量的数量积运算【知识梳理】1、数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .②非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.2、空间向量数量积的运算律：①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )；②交换律：a·b ＝b·a ；③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c .【考点剖析】考点一 数量积的线性运算【例1】 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EG →·BD→； 【解析】 设AB→＝a ，AC →＝b ，AD →＝c . 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，(1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ， EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14， (2)EG →·BD →＝(EA →＋AD →＋DG →)·(AD→－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＋AG →－AD →·(AD →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋12AC →＋12AD →·(AD →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＋12c ·(c －a ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1×1×12＋1×1×12＋1＋1－1×1×12－1×1×12 ＝12.规律方法 1.利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.2.空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题.(1)a ≠0，b ≠0，a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(2)|a |＝a 2；(3)cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |.考点二 数量积的相关应用【例题2-1】在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，若点E 是线段AB 的中点，点M 是底面ABCD 内的动点，且满足11A M C E ⊥，则线段AM 的长的最小值为（ ）A B C ．1 D 【答案】B【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设()10,0,1A ，()11,1,1C ，1,0,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),,0M x y ，所以()111,,1,,1,12A M x y C E ⎛⎫=-=--- ⎪⎝⎭，由11A M C E ⊥可得1102x y --+=，即220x y +-=，所以线段AM 的长的最小值为22225512=+． 故选：B ． 【例题2-2】三棱锥P ABC -中，PAB △和ABC 都是等边三角形，2AB =，1PC =，D 为棱AB 上一点，则PD PC ⋅的值为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．与D 点位置关系【答案】A【详解】如图所示，取AB 的中点E ，连接,PE CE ，PAB △和ABC 都是等边三角形，,PE AB CE AB ∴⊥⊥，PE CE E ⋂=，AB ∴⊥面PEC ，PC ⊂面PEC ，∴AB PC ⊥，在APC △中，2AP AC ==，1PC =， 由余弦定理2224141cos 244AP PC AC APC AP PC +-+-∠===⨯， ∴()112142PD PC PA AD PC PA PC AD PC PA PC ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=. 故选：A【跟踪训练1】正四面体ABCD 的棱长为1，点P 是该正四面体内切球球面上的动点，当PA PD ⋅取得最小值时，点P 到AD 的距离为（ ）A B C D 【答案】A【详解】因为四面体ABCD 是棱长为1的正四面体，所以其体积为1111322312⨯⨯⨯⨯=. 设正四面体ABCD 内切球的半径为r ，则114113212r ⨯⨯⨯⨯=r =如图，取AD 的中点为E ，则()()PA PD PE EA PE ED ⋅=+⋅+221()4PE PE EA ED EA ED PE =+⋅++⋅=-. 显然，当PE 的长度最小时，PA PD ⋅取得最小值.设正四面体内切球的球心为O ，可求得4OA OD ==.因为球心O 到点E 的距离d ===，所以球O 上的点P 到点E 的最小距离为4d r -==，即当PA PD⋅取得最小值时，点P到AD的距离为32612-.故选：A.【跟踪训练2】已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，2，则PM PN⋅的取值范围为（）A．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【详解】根据题意，以D为坐标原点，DA为x轴正方向，DC为y轴正方向，1DD为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图示.设长方体外接球球心为O，则DB1为外接球的一条直径，设O为DB1中点，不妨设M与D重合，N与B1重合.则外接球的直径长为2221122++=，所以半径r =1；所以()()PM PN PO OM PO ON =++()()PO OM PO OM =+-22||||PO OM =-2||1PO =- 由P 在长方体表面上运动，所以1||,12PO ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即21||,14PO ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 所以23||1,04PO ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，即PM PN ⋅3,04⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【跟踪训练3】如图所示正三棱锥P ABC -中，M 是PC 上一点，2PM MC =，且PB AM ⊥，2AB =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．2πB ．22πC ．4πD ．6π【答案】D【详解】 解：以底面中心O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，过O 平行于AC 的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则323(1,0),(3,0,0),(3A B C -，设(0,0,)P h ， 1112122(3,,)33333933h OM OC CM OC CP OC CO OP OC OP =+=+=++=+=，235(3,0,),(,,)3933h PB h AM =-=， 所以2293h PB AM ⋅=-， 因为PB AM ⊥，所以22093h -=，得63h =， 设外接球的半径为r ，则22262()(3)33r r =-+，解得62r =， 所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2264462r πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选：D【过关检测】1．已知E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 各边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若对角线BD ＝2，AC ＝4，则EG 2＋HF 2的值是（ ）A ．5B ．10C ．12D ．不能确定【答案】B【详解】 如图所示，由三角形中位线的性质可得1//,2EF AC EF AC =,1//,2HG AC HG AC =. 所以四边形EFGH 是平行四边形，因为,EG EF EH HF EF EH =+=-，所以 222222()()2()2(14)10EG HF EF EH EF EH EF EH +=++-=+=+=.故选：B.2．如图，PA ⊥面ABCD ，ABCD 为矩形，连接AC ､BD ､PB ､PC ､PD ，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）A ．PC 与BDB ．PB 与DAC ．PD 与ABD ．PA 与CD【答案】A【详解】由PA ⊥面ABCD ，ABCD 为矩形， A ：AD ⊂面ABCD ，则PA AD ⊥，而AC 与AD 不一定垂直，不一定有BD ⊥面PAC ，故BD 不一定与PC 垂直，所以PC 与BD 数量积不一定为0，符合题意；B ：由A 知PA AD ⊥，又DA AB ⊥且AB PA A ⋂=，则DA ⊥面PAB ，又PB ⊂面PAB ，所以PB DA ⊥，即PB 与DA 数量积为0，不合题意；C ：由上易知PA AB ⊥，又DA AB ⊥ 且DA PA A =，则AB ⊥面PAD ，又PD ⊂面PAB ，所以AB PD ⊥，即PD 与AB 数量积为0，不合题意；D ：由上知PA AB ⊥，而//AB CD ，所以PA CD ⊥，即PA 与CD 数量积为0，不合题意； 故选：A.3．在棱长为1的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB yAC x y AD =++--，点N 满足()1DN DA DB λλ=--，当AM DN 、最短时，·AM MN =（ ）A ．13-B ．13C ．23-D ．23【答案】A【详解】()1AM xAB yAC x y AD =++--，()1DN DA DB λλ=--，∴ ()()AM AD x AB AD y AC AD -=-+-，()DN DB DA DB λ-=-，即:DM xDB yDC =+，BN BA λ=； M ∴∈平面BCD ，N ∈直线AB ，所以当AM 、DN 最短时，AM ⊥平面BCD ，DN AB ⊥，M ∴为BCD 的中心，N 为线段AB 的中点，如图：又正四面体的棱长为1，AM ∴=AM ⊥平面BCD ， ∴2cos 60AM AB AM AB AM ⋅=⋅︒=， ∴AM MN ⋅()AM AN AM =⋅-12AM AB AM ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭212AM AM AM =⋅-212AM =-161293=-⨯=-．4．已知1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，则12a e e =+与122b e e =-的夹角为（ ） A ．60° B ．120° C ．30° D ．90°【答案】B【详解】()()221212112212132212,22a b e e e e e e e e e e ⋅=+⋅-=-⋅-=-⨯-=-()222212112221a a e e e e e e ==+=+⋅+=+=()22221211222441b b e e e e e e ==-=-⋅+=-=所以312cos ,32a b a b a b -⋅===-．所以,120a b =︒．故选：B5．已知非零向量,a b 不平行，且a b =，则a b +与a b -之间的关系是（ ） A ．垂直B ．同向共线C ．反向共线D ．以上都可能【答案】A【详解】因为()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=，所以a b +与a b -垂直．故选: A6．已知a →，b →均为单位向量，它们的夹角为60°，那么3a b →→+等于（ ）A B C D ．4【答案】C 【详解】3a b →→+===.故选：C7．若向量()0,1,1a =-，()1,1,0b =且()a b a λ+⊥，则实数λ=（ ）A ．2BC ．2-D ．【答案】C 【详解】因为()a b a λ+⊥所以()0a b a λ+⋅=即0a a b a λ⋅+⋅=，所以()()0110100λ+++++= 得2λ=-故选：C 8．在正方体''''ABCD A B C D -中，棱长为2，点M 为棱'DD 上一点，则AM BM ⋅的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【详解】如图所示，以1,,DA DC DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,2,0)A B ，设(0,0,)M a ，所以(2,0,),(2,2,)AM a BM a =-=--， 则2(2,0,)(2,2,)4AM BM a a a ⋅=-⋅--=+，当0a =时，AM BM ⋅的最小值为4.故选：D.9．在正四面体P ABC -中，棱长为1，且D 为棱AB 的中点，则PC PD ⋅的值为（ ）A ．14-B ．14C ．12-D ．12【答案】D【详解】如图，因为D 为棱AB 的中点，所以()12PD PA PB =+， ()()1122PC PD PC PC C PA PB PA B P P ⋅=⋅⋅=+⋅+，因为几何体为正四面体，故PA 与PC 夹角为60°，同理PB 与PC 夹角为60°，111cos 602P PA PB C PC ⋅⋅==⨯⨯︒=，故21211122PC PD ⎛⎫⋅=⨯+= ⎪⎝⎭， 故选：D 10．已知四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是矩形，1111,2,3AB AD AA A AD A AB π===∠=∠=，则1AC =（ ）A ．23B ．4C ．32D 15【答案】D【详解】()2111AC AB AD AA AB AD AA =++=++ ()2221112AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅()144201215=+++++=.故选：D11．如图所示，已知P 是ABC 所在平面外一点，,,PA PC PB PC PA PB ⊥⊥⊥，求证：P 在平面ABC 上的射影H 是ABC 的垂心．【详解】∵,,PA PC PB PC PA PB ⊥⊥⊥，∴0PC PA ⋅=，0PB PC ⋅=，0PA PB ⋅=，PA ⊥平面PBC ，∴0PA BC ⋅=．由题意可知，PH ⊥平面ABC ，∴0PH BC ⋅=，0PH AB ⋅=，0PH AC ⋅=，∴()0AH BC PH PA BC PH BC PA BC ⋅=-⋅=⋅-⋅=，∴AH BC ⊥．同理可证BH AC ⊥，CH AB ⊥．∴H 是ABC 的垂心．12．如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠BAD ＝120°，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝6．求PC的长．【详解】解：因为PC PA AD DC=++，所以22222=++=+++⋅+⋅+⋅PC PA AD DC PA AD DC PA AD PA DC AD DC()222222=+++⨯⨯⨯︒=，643243cos12049PC=．所以7故PC的长为7．13．在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量OA与BC所成角的余弦值．【详解】=-，BC AC AB∴⋅=⋅-⋅=⋅⋅<>-⋅⋅<>cos,cos,OA BC OA AC OA AB OA AC OA AC OA AB OA AB＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－162， ∴24162cos ,85OA BCOA BC OA BC ⋅-<>===⨯⋅3225- 故答案为：3225- 14．如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点．求：（1）AB AC ⋅； （2）AD DB ⋅； （3）GF AC ⋅； （4）EF BC ⋅；（5）FG BA ⋅； （6）GE GF ⋅．【详解】四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，∴任意两条棱所在直线的夹角为3π，E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点，//,//,||||2a EF BD FG AC EF FG ∴==， （1）2cos 32a AB AC a a π⋅=⨯⨯=； （2）22cos 32a AD DB a a π⋅=⨯⨯=-； （3）2cos 22a a GF AC a π⋅=⨯⨯=-； （4）//EF BD ，则直线BD 与直线BC 所成角就是直线EF 与直线BC 所成角，又3CBD π∠=，2cos 234a a EF BC a π⋅==∴⨯⨯； （5）//FG AC ，则直线AC 与直线AB 所成角就是直线FG 与直线BA 所成角，22cos 234a a FG BA a π⋅-∴=⨯⨯=； （6）取BD 中点M ，连接AM ，CM ，则,AM BD CM BD ⊥⊥，AM CM M ⋂=，BD ∴⊥平面ACM ， 又AC ⊂平面ACM ，BD AC ∴⊥，//EF BD ，EF AC ∴⊥，又//AC FG ，EF FG ∴⊥，0EF FG ⋅=，可知1122GF AC a ==， 222()||024a a GE GF GF FE GF GF FE GF ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+= ⎝⎭∴⎪.。
高中数学A版必修第二册6.2.4向量的数量积-课件
由题知
π a·b＝1×2×cos ＝1，所以
c·b＝(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝6，
3
|c|＝|2a＋b|＝ （2a＋b）2＝ 4a2＋4a· b＋b2＝2
c·b 3，设 c 与 b 的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝
|c||b|
6
3
π
＝ .因为θ∈[0，π]，所以θ＝ .
2 3×2 2
6
6.2.4 向量的数量积
O→A·A→F＝1×1×cos 120°＝－1，A→F·B→C＝1×1×cos 60°＝1，∴(O→A·A→F)·B→C＝O→A·(A→F·B→C)⇔－1B→C＝1O→A，
2
2
22
式子显然成立，故 C 正确；D 选项，设正六边形的边长为 1，|O→F＋O→D|＝|O→E|＝1，|F→A＋O→D－C→B|＝|D→C＋
06
第六章 平面向量及其应用
6.2
6.2 平面向量的运算
6.2
6.2.4 向量的数量积
6.2.4 向量的数量积
题型1 向量的数量积
π
1．已知|a|＝1，|b|＝2，向量 a，b 的夹角为 ，则 a·(a＋b)＝( C )
3 A. 3－1 B．1 C．2 D. 3＋1
解析
∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋1×2×cosπ＝2.故选 C. 3
整理得 2te12＋(2t2＋7)e1·e2＋7te22<0.(*) ∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°，∴e1·e2＝1.∴(*)式化简， 得 2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<－1.当 2te1＋7e2 与 e1＋te2 的夹角为 180°时，设 2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ
空间向量的数量积运算课件
a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)B→C·E→D1＝b·[12(c－a)＋b] ＝|b|2＝42＝16.
(2)B→F·A→B1＝c－a＋12b·(a＋c) ＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. (3)E→F·F→C1＝12c－a＋12b·12b＋a ＝12(－a＋b＋c)·12b＋a ＝－12|a|2＋14|b|2＝2.
a·b 性质 ③若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝__|_a_||_b_| __
④|a·b|≤|a|·|b|
探究点一 空间向量的数量积运算
问题 1 空间两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规 定？
答案 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝ a，O→B＝b，则∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉． 规定：0≤〈a，b〉≤π.
a·(b＋c)＝_____a_·b_＋__a_·_c _____
(3)数量积的性质
①若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔__a_·_b_＝__0____ 两个
②若 a 与 b 同向，则 a·b＝___|a_|_·|_b_| _； 向量
若反向，则 a·b＝_－__|_a_|·_|b_|_. 数量
特别地，a·a＝____|a_|_2 __或|a|＝ a·a 积的
∴|a＋b＋c|＝10.
小结 求向量的模，可以转化为求向量的数量积，求两点 间的距离或某条线段的长度，可以转化为求对应向量的模， 其中的关键是将线段长度用向量的模表示出来．
解 ∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2， 且〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝3π， ∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c) ＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c
2024-2025年北师大版数学必修第二册2.5.2向量数量积的坐标表示(带答案)
5．2 向量数量积的坐标表示必备知识基础练知识点一 数量积的坐标运算1．若a ＝(1，2)，b ＝(x ，3)且a ·b ＝4，则x ＝( )A ．－2B ．－12C ．12D ．102．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2 ，BC ＝2，点E 在边CD 上，且DE → ＝2EC → ，则AE → ·BE →＝________.3．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(2，5)，c ＝(2，1). 求：(1)2a ·(b －a )；(2)(a ＋2b )·c .知识点二 向量的模与夹角4．设x ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A ．5 B ．10 C ．25 D ．105．已知向量a ＝(1，1)，2a ＋b ＝(4，2)，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π26．平面直角坐标系xOy 中，A (1，0)，B (0，1)，C (2，5)，D 是AC 上的动点，满足AD → ＝λAC →(λ∈R ).(1)求|2AB → ＋AC →|的值； (2)求cos ∠BAC ；(3)若BD → ⊥BA →，求实数λ的值．知识点三 求点到直线的距离7．已知点A (－1，2)，向量m ＝(3 ，1)，过点A 以向量m 为方向向量的直线为l ，求点P (3，－1)到直线l 的距离．关键能力综合练一、选择题1．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x ).若a ·b ＝1，则x ＝( )A ．－1B ．－12C ．12D ．12．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(－3，5)，若(2a ＋b )⊥c ，则c 的坐标可以是( ) A ．(－2，3) B ．(－2，－3) C ．(4，－4) D ．(4，4)3．已知向量a ＝(1，3 )，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．23B ．3C ．0D ．－34．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5 .若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60° C．120° D ．150°5．(探究题)已知点A (4，3)和点B (1，2)，O 为坐标原点，则|OA → ＋tOB →|(t ∈R )的最小值为( )A ．52B ．5C ．3D ．5 二、填空题6．若a ＝(2，3)，b ＝(－4，7)，则a 在b 方向上的投影为________．7．(易错题)已知向量a ＝(1，0)，b ＝(0，1).若向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围为________．8．在矩形ABCD 中，已知AB ＝2，BC ＝1，点P 是对角线AC 上一动点，则AP → ·BP →的最小值为________．三、解答题9．设平面向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α＜2π)，b ＝(－12 ，32).(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)若向量3 a ＋b 与a －3 b 的模相等，求角α.学科素养升级练1.(多选题)已知a ＝(1，3 )，b ＝(cos θ，sin θ)，则下列命题正确的有( )A ．若a ⊥b ，则θ＝π3B ．a ·b 的最大值为2C ．存在θ，使|a ＋b |＝|a |＋|b |D ．|a －b |的最大值为32．(学科素养——逻辑推理)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC → ，AD → ·AB →＝－32.(1)求实数λ的值；(2)若M 是线段BC 上的动点，求DM → ·BC →的取值范围．5．2 向量数量积的坐标表示必备知识基础练1．答案：A解析：因为a ＝(1，2)，b ＝(x ，3)且a ·b ＝4，所以a ·b ＝1×x ＋2×3＝x ＋6＝4，所以x ＝－2.故选A.2．答案：329解析：以A 为原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 则A (0，0)，B (2 ，0)，C (2 ，2)，D (0，2).由DE → ＝2EC →得，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，2 .∴AE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，2 ，BE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，2 .∴AE → ·BE →＝223 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23 ＋2×2＝329 .3．解析：方法一 (1)∵2a ＝2(1，3)＝(2，6)， b －a ＝(2，5)－(1，3)＝(1，2)，∴2a ·(b －a )＝(2，6)·(1，2)＝2×1＋6×2＝14.(2)∵a ＋2b ＝(1，3)＋2(2，5)＝(1，3)＋(4，10)＝(5，13)， ∴(a ＋2b )·c ＝(5，13)·(2，1)＝5×2＋13×1＝23.方法二 (1)2a ·(b －a )＝2a ·b －2a 2＝2(1×2＋3×5)－2(1＋9)＝14. (2)(a ＋2b )·c ＝a ·c ＋2b ·c＝(1×2＋3×1)＋2(2×2＋5×1)＝23. 4．答案：B解析：由a ⊥b ，可得a ·b ＝0，即x －2＝0，解得x ＝2，所以a ＋b ＝(3，－1)，故|a＋b |＝32＋（－1）2＝10 .故选B.5．答案：B解析：由2a ＋b ＝(4，2)，a ＝(1，1)得，b ＝2a ＋b －2a ＝(2，0)， 故a ·b ＝2，|a |＝2 ，|b |＝2.设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a ||b | ＝22 .又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4.故选B.6．解析：(1)由题意得AB → ＝(－1，1)，AC → ＝(1，5)，所以2AB → ＋AC → ＝(－1，7)，|2AB →＋AC → |＝（－1）2＋72＝52 .(2)因为cos ∠BAC ＝AB →·AC→|AB →||AC →|，所以cos ∠BAC ＝（－1）×1＋1×5（－1）2＋12×12＋52＝21313. (3)由题意得BD → ＝AD → －AB →＝λ(1，5)－(－1，1)＝(λ＋1，5λ－1)，因为BD → ⊥BA → ，所以BD → ·BA →＝0，又BA →＝(1，－1)，所以(λ＋1)×1＋(5λ－1)×(－1)＝0，解得λ＝12.7．解析：设n ⊥l ，即n ⊥m .设n ＝(x ，y )， 由n ⊥m ，得n ·m ＝(x ，y )·(3 ，1)＝0，即3 x ＋y ＝0，令x ＝1，得y ＝－3 ，n ＝(1，－3 ).由A (－1，2)，P (3，－1)，得AP →＝(4，－3). ∴点P 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP →·n |n | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（4，－3）·（1，－3）12＋（－3）2 ＝4＋332 . 关键能力综合练1．答案：D解析：a·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1，解得x ＝1.故选D. 2．答案：D解析：因为2a ＋b ＝(－1，1)，所以当c ＝(4，4)时，(2a ＋b )⊥c .故选D. 3．答案：B 解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos θ，根据题意可得(1，3 )·(3，m )＝1＋3 ×9＋m 2 ×cos π6 ，即3＋3 m ＝1＋3 ×9＋m 2 ×32，两边平方化简得m ＝3 .故选B. 4．答案：C解析：依题意，得a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝5 .设c ＝(x ，y )，a 与c 的夹角为θ，∵(a ＋b )·c ＝52 ，∴x ＋2y ＝－52 .又∵a ·c ＝x ＋2y ，∴cos θ＝a ·c |a ||c | ＝x ＋2y5×5 ＝－525＝－12.∴a 与c 的夹角为120°.故选C.5．答案：D解析：由题意可得OA → ＝(4，3)，OB → ＝(1，2)，则|OA → ＋tOB →|＝|(4，3)＋t (1，2)|＝|(4＋t ，3＋2t )|＝（4＋t ）2＋（3＋2t ）2 ＝5t 2＋20t ＋25 ＝5（t ＋2）2＋5 ，结合二次函数的性质可得，当t ＝－2时，|OA → ＋tOB →|min ＝5 .故选D.6．答案：655解析：设a 与b 的夹角为θ，由题意得a ·b ＝|a ||b |cos θ＝13，∴|a |·cos θ＝a ·b|b |＝655. 7．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：∵a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，∴k a ＋b ＝(k ，1)，a ＋2b ＝(1，2).∵向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，∴(k a ＋b )·(a ＋2b )＝(k ，1)·(1，2)＝k ＋2＞0，解得k ＞－2.又当k ＝12 时，两个向量方向相同，∴k ∈(－2，12 )∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ . 8．答案：－45解析：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系，又因为AB ＝2，BC ＝1，所以A (0，0)，B (2，0)，C (2，1)，D (0，1)，则直线AC 的方程为y ＝12x ，所以设P (2m ，m )，且0≤m ≤1，而AP → ＝(2m ，m )，BP → ＝(2m －2，m )，所以AP → ·BP →＝2m (2m －2)＋m 2＝5m 2－4m ，结合二次函数的性质可知，当m ＝25 时，AP → ·BP → 有最小值，且最小值为5×⎝ ⎛⎭⎪⎫25 2－4×25 ＝－45.9．解析：(1)由题意，知a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－12，sin α＋32 ，a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α＋12，sin α－32 .∵(a ＋b )·(a －b )＝cos 2α－14 ＋sin 2α－34＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b ).(2)易得|a |＝1，|b |＝1.由题意，知(3 a ＋b )2＝(a －3 b )2，化简得a ·b ＝0，∴－12 cos α＋32 sin α＝0，∴tan α＝33.又0≤α＜2π，∴α＝π6 或α＝7π6.学科素养升级练1．答案：BCD解析：依题意，对于A ：a ⊥b ⇒a ·b ＝0，即a ·b ＝(1，3 )·(cos θ，sin θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin (θ＋π6 )＝0，所以θ＋π6 ＝k π(k ∈Z )⇒θ＝k π－π6(k ∈Z )，故A 错误；对于B ：由A 知a ·b ＝2sin (θ＋π6 )，所以当θ＋π6 ＝π2＋2k π(k ∈Z )⇒θ＝2k π＋π3(k ∈Z )时，有最大值2，故B 正确； 对于C ：当θ＝π3 时，a ＝(1，3 )，b ＝(12 ，32 )，a ＋b ＝(1，3 )＋(12 ，32 )＝(32 ，332)，所以|a ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＝3，|a |＝1＋（3）2 ＝2，|b |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，故C 正确； 对于D ：a －b ＝(1，3 )－(cos θ，sin θ)＝(1－cos θ，3 －sin θ)，所以|a－b |2＝(1－cos θ)2＋(3 －sin θ)2＝5－(23 sin θ＋2cos θ)＝5－4sin (θ＋π6)，当sin (θ＋π6 )＝－1，即θ＋π6 ＝－π2 ＋2k π(k ∈Z )⇒θ＝－2π3＋2k π(k ∈Z )时，|a －b |2取得最大值9，所以|a －b |的最大值为3，故D 正确．故选BCD.2．解析：(1)由于AD → ＝λBC →，所以AD ∥BC ，所以∠BAD ＝120°，AD → ·AB → ＝|AD → |·|AB → |·cos 120°＝－32 |AD → |＝－32，所以|AD →|＝1，所以AD → ＝16 BC →，λ＝16.(2)以B 为原点建立如图所示平面直角坐标系，A (32 ，332 )，D (52 ，332)，C (6，0)， 设M (t ，0)，0≤t ≤6，DM → ＝(t －52 ，332 )，BC →＝(6，0)，DM →·BC →＝(t －52 ，332 )·(6，0)＝6(t －52)＝6t －15，由于0≤t ≤6，0≤6t ≤36，－15≤6t －15≤21，所以DM → ·BC →的取值范围是[－15，21].。
平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积及运算律知识要点:两向量的数量积是两向量之间的一种乘法，与数的乘法、实数与向量的积都是有区别的.首先需明确两向量的数量积结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角决定，其次需注意等式两边如果都是数量积，不能随意约去一个向量.用向量的数量积可以处理有关长度、角度、垂直的问题，但向量式的混合运算仍然是解决这一切问题的基础.易错的地方有两处，一是数量积的书写方法，特别是混合算式中哪两个向量之间写“·”，哪些地方什么都不写，关键要看是向量间的内积，还是实数与向量的积，二是两个向量的夹角，一定要严格依照定义，将两个向量的始点移到一起再找夹角，的夹角若为θ，则的夹角为.典型题目:例1．已知向量与的夹角为120°，且||=4, ||=2,求(1) |+|；(2)|3-4|；(3) (-2)(+).解:·=||||cosθ=4×2×cos120°=-4.(1) ∵|+|2=(+)2=2+2·+2=||2+2·+||2=42+2×（-4）+22=12，∴|+|=.(2)∵|3-4|2=（3-4）2=92-24·+162=16×19,∴|3-4|=.(3)(-2)·(+)=2-·-22=42-(-4)-2×22=12.点评:求某些向量的模往往是通过求它的平方来实现的，例如||=.例2、ΔA BC中，，且，求ΔABC的最长边的长.解:如图所示，由向量的数量积的定义，可得.∵，∴,∵0°<B<180°,∴B=120°,∴ΔABC为钝角三角形，∴AC为最长边.过B点作BD⊥A C于D，则D必为A C边的中点.在RtΔABD中，∠A=30°, ，∴，∴.例3、已知|a|=2, |b|=3，a与b的夹角为θ，就θ的取值范围给出b在a方向上的投影的一个分类，并依此求出的最大值和最小值.解:由向量的投影，得b在a方向上的投影为|b|cosθ.(1)当θ=0时，cosθ=1, |b|cosθ=|b|；(2)当时，cosθ>0, |b|cosθ>0；(3)当时，cosθ=0, |b|cosθ=0；(4)当时，cosθ<0, |b|cosθ<0；(5) 当θ=时，cosθ=-1, |b|cosθ=-|b|.由于当θ∈[0，]时，cosθ∈[-1,1],所以|b|cosθ∈[-|b|,|b|],即|b|cosθ∈[-3,3],又因为，因此，的最大值为8（此时θ=），最小值为（此时θ=0）.例4、已知一个与水平方向夹角为30°的力,的大小为50N，拉着一个重80N的木块在摩擦系数m=0.02的水平面上运动了20米，求、摩擦做的功分别为多少？解:设木块位移为，则做的功为=50×20×cos30°=. 在铅直方向的分解力大小为50×sin30°=25, 故的大小(80-25)×0.02=1.1, 则做的功为=1.1×20×cos180°=-22J.点评:综合应用物理学知识f=G·m.例5、设是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①；②；③不与垂直；④中，是真命题的有（）.A、①②B、②③C、③④D、②④解:选D.点评:注意是与共线的向量，其中表示数量.例6、已知|a|=2, |b|=1, a与b的夹角为，求向量m=2a+b与向量n=a-4b的夹角的余弦值.解:由向量的数量积的定义，得a·b=.∵m=2a+b, n=a-4b,∴m2=4a2+4ab+b2=4×4+4+1=21,∴n2=a2-8ab+16b2=4-8+16=12,∴|m|, |n|=.设m与n的夹角为θ，则m·n=|m||n|cosθ.....①又m·n=2a2-7a·b-4b2=2×4-7-4=-3.把m·n=-3, |m|,|n|=代入①式，得, ∴,即向量m与n的夹角的余弦值为.课外练习:1．已知，求的夹角的余弦值.2．已知O为ΔABC所在平面内一点，且满足，求证:O点是ΔA BC的垂心.3．已知O是正三角形A BC内任意一点，从O向各边BC、CA、A B作垂线，垂足分别为P、Q、R.求证:AR+BP+CQ为定值.参考答案:1．注意本题易犯如下典型错误:.这是数量积运算中概念性错误，一般来说，不一定等于，这一点可由向量数量积定义证得.2．设，∵，∴,即，故，.所以，∴点O 是ΔA BC的垂心.3．设，则，同理设.设，设正三角形ABC边长为m，则∵.上式.。
8-2数量积向量积24688
例
已知
a
{1,1,4}
,
b {1,2,2},
求
(1)
a
b;
(2)
(a
b)
a
;
(3)
a
与b
的夹角.
解 (1)
a
b
11
1
(2)
(4)
2
9.
(2)
(a
b)
a
a
2
a
b
18
9
9.
(3)
cos(a
b
)
axbx a yby azbz
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
j ay
k az
bx by bz 返回
例
求 与 a
3i
2j
4k
，b
i
j
2k
都垂
直的单位向量.
解
i a b ax
bx |ab |
jk i j ay az 3 2 by bz 1 1
102 52 5 5，
k
4 10 j 5k,
2
故所c求0 单 位a向 量b 为 |ab |
定理 a//b a×b=?0
a
b
0
ab.
返回
返回
返回
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（2.1向）量a积 b的 运算(b规 a律).：
（2）分配律：(a
b)
c
a
c
b
c.
（3）结合律：
(a)
b
a
(b )
(a
b).
根((据12))向aa量//a积b的0.定 (义a我们b有00：. sin 0)
第二节 数量积 向量积
人教B版高中数学必修第三册8.1.3向量数量积的坐标运算
1．两个向量垂直的条件 已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果 a⊥b，则 x1x2＋y1y2＝0；反之，如 果 x1x2＋y1y2＝0，则 a⊥b. 运用向量垂直的条件，既可以判定两向量是否垂直，又可以由垂直关 系去求参数． 如果 a⊥b，则向量(x1，y1)与(－y2，x2)平行．这是因为 a⊥b，有 x1x2 ＋y1y2＝0(*)，当 x2y2≠0 时，(*)式可以表示为－x1y2＝yx12，即向量(x1，y1)与向 量(－y2，x2)平行． 对任意的实数 k，向量 k(－y2，x2)与向量(x2，y2)垂直．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a＝(1,1)，b＝(－2,2)，则 a·b＝0.( √ ) (2)若 a＝(4,2)，b＝(6，m)且 a⊥b，则 m＝－12.( √ ) (3)若 a·b＞0(a，b 均为非零向量)，则〈a，b〉为锐角．( × )
2．做一做 π
(1)已知向量 a＝(1， 3)，b＝( 3，1)，则 a 与 b 夹角的大小为____6____. (2)已知 a＝(1， 3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝______2______. (3)设 a＝(2,0)，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则 a·b＝______1______.
解
(1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等 知识的联系．
(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式， 两者互相补充．
[跟踪训练 1] 已知 a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)． 解 解法一：(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2. ∵a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13， ∴(3a－b)·(a－2b)＝3×5－7×8＋2×13＝－15. 解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)， ∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)， a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)， ∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15.
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ijk, jki, kij,
jik, kji, ikj.
( aybz azby) i ( azbx axbz) j ( axby aybx ) k
i jk
向量积还可用行列式表示
a
b
ax
ay
az
bx by bz 返回
例
求与a
3i
2j
4k ，b
i
j
2k 都垂
ijk, jki, kij,
jik, kji, ikj.
返回
3、向量积的坐标表达式
设 a a x i a y j a z k , b b x i b y j b zk a b (a x i a y j a zk ) (b x i b y j b zk )
i i j j k k 0 ,
证： a b ( a x i a y j a z k ) ( b x i b y j b z k )
而 ijji0, i i 1,
故 a b a x b x a y b y a z b z
cos |aa||bb|
axbxaybyazbz
.
ax 2a2 yaz2 bx 2by 2bz2
4 2 1 8 ,
依 题 意 知 m n 与 p 同 向 ，
( m n , p ) 0
(m n )p |m n ||p |co 8s 32.4
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解 A C {0 ,4 , 3 }
B
A B {4 , 5 ,0 }
三角形ABC的面积为 A
DC
S1| ACAB|1 152122162 25 ,
2
2
2
| AC| 42(3)25, S1| AC||BD|
2515| BD|
2 |B|D 5.
22
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例 设向量m, n, p两两垂直，符合右手规则，且 | m | 4，| n| 2，| p| 3，计算(m n) p. 解 |m n | |m |n | |sm i ,n ) n(
非a 零 b a 向 b 0 量 a x b x a y b y a z b z 返0 回.
例 已 a { 1 , 1 , 知 4 ) a b ;( 2 ) ( a b ) a ;( 3 ) a 与 b 的 . 夹 解 (1) ab 1 1 1 ( 2 ) ( 4 ) 2 9.
数量积也称为“点积”、“内积”.
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关于数量积的说明：
a b |a |b ||cos
(1 )a a |a |2. (2)a b 0ab.
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已 则 知 a a b a a x x ,b 向 a x y ,a a zy b ,y b 量 a z b b z . x ,b y,b z,
a×b= 方向：同时垂直于a和b且按右手规则 a
a×b a
运算律： (1) a×b= – b × a
(2)( a)×b= (a×b)= a×(b)
(3)(a+b)×c= a×c+ b×c 分配律 b (4) a×a = 0
定理 a//b a×b=?0
ab0 ab.
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2. 向量积的运算规律： （1） a b (b a ). （2）分配律：( a b ) c a c b c .
(2 )(a b )a a 2 a b 1899. (3 )co a b ) s ( a x b x a y b y a zb z
a x 2 a y 2 a z2b x 2 b y 2 b z2
1 , (a b)3.
2
4
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1、定义
b
模：|ab||a||b|sin a,b ()
第二节 数量积 向量积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、小结 思考题
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a 1 、b 定 |义a |向b ||量ca 与ob的s(其数中量积为为a与abb的夹角)
b
a
|b|cosP
rjab,
|a |c o P s jb a ,r
a b |a |Pja r b
a b |b |Pjb a r .
（3）结合律： ( a ) b a ( b ) ( a b ).
根据向量积的定义我们有：
( 1 )a a 0 .( 0 si 0 n ) i
(2) a // b a b 0 .
i i j j k k 0 ,
k
j
直的单位向量.
解
i jk i j
ab ax ay az 3 2
bx by bz 1 1 |a b | 1 2 5 0 2 5 5，
k
4 1j0 5k, 2
故所求单位向量为 c0|aa bb |25 j15k.
返回
例 在顶点为 A(1,1,2)、B(5,6,2)和 C(1,3,1)的三角形中，求 AC 边上的高BD.