8-2数量积向量积24688

(2 )(a b )a a 2 a b 1899. (3 )co a b ) s ( a x b x a y b y a zb z
a x 2 a y 2 a z2b x 2 b y 2 b z2
1 , (a b)3.
2
4
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1、定义
b
模：|ab||a||b|sin a,b ()
非a 零 b a 向 b 0 量 a x b x a y b y a z b z 返0 回.
例 已 a { 1 , 1 , 知 4 } ,b { 1 , 2 , 2 } ,
求 ( 1 ) a b ;( 2 ) ( a b ) a ;( 3 ) a 与 b 的 . 夹 解 (1) ab 1 1 1 ( 2 ) ( 4 ) 2 9.
证： a b ( a x i a y j a z k ) ( b x i b y j b z k )
而 ijji0, i i 1,
故 a b a x b x a y b y a z b z
cos |aa||bb|
axbxaybyazbz
.
ax 2a2 yaz2 bx 2by 2bz2
（3）结合律： ( a ) b a ( b ) ( a b ).
根据向量积的定义我们有：
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( 1 )a a 0 .( 0 si 0 n ) i
(2) a // b a b 0 .
i i j j k k 0 ,
k
j
4 2 1 8 ,
依 题 意 知 m n 与 p 同 向 ，
( m n , p ) 0
(m n )p |m n ||p |co 8s 32.4
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数量积也称为“点积”、“内积”.
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关于数量积的说明：
a b |a |b ||cos
(1 )a a |a |2. (2)a b 0ab.
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已 则 知 a a b a a x x ,b 向 a x y ,a a zy b ,y b 量 a z b b z . x ,b y,b z,
第二节 数量积 向量积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、小结 思考题
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a 1 、b 定 |义a |向b ||量ca 与ob的s(其数中量积为为a与abb的夹角)
b
a
|b|cosP
rjab,
|a |c o P s jb a ,r
a b |a |Pja r b
a b |b |Pjb a r .
直的单位向量.
解
i jk i j
ab ax ay az 3 2
bx by bz 1 1 |a b | 1 2 5 0 2 5 5，
k
4 1j0 5k, 2
故所求单位向量为 c0|aa bb |25 j15k.
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例 在顶点为 A(1,1,2)、B(5,6,2)和 C(1,3,1)的三角形中，求 AC 边上的高BD.
ijk, jki, kij,
jik, kji, ikj.
( aybz azby) i ( azbx axbz) j ( axby aybx ) k
i jk
向量积还可用行列式表示
a
b
ax
ay
az
bx by bz 返回
例
求与a
3i
2j
4k ，b
i
j
2k 都垂
解 A C {0 ,4 , 3 }
B
A B {4 , 5 ,0 }
三角形ABC的面积为 A
DC
S1| ACAB|1 152122162 25 ,
2
2
2
| AC| 42(3)25, S1| AC||BD|
2515| BD|
2 |B|D 5.
22
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例 设向量m, n, p两两垂直，符合右手规则，且 | m | 4，| n| 2，| p| 3，计算(m n) p. 解 |m n | |m |n | |sm i ,n ) n(
a×b= 方向：同时垂直于a和b且按右手规则 a
a×b a
运算律： (1) a×b= – b × a
(2)( a)×b= (a×b)= a×(b)
(3)(a+b)×c= a×c+ b×c 分配律 b (4) a×a = 0
定理 a//b a×b=?0
ab0 ab.
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2. 向量积的运算规律： （1） a b (b a ). （2）分配律：( a b ) c a c b c .
ijk, jki, kij,
jik, kji, ikj.
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3、向量积的坐标表达式
设 a a x i a y j a z k , b b x i b y j b zk a b (a x i a y j a zk ) (b x i b y j b zk )
i i j j k k 0 ,