指数、对数函数基本知识点

基本初等函数知识点

知识点一：指数及指数幂的运算

1.根式的概念

的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中

当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.

负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.

式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.

2.n次方根的性质：

(1)当为奇数时，；当为偶数时，

(2)

3.分数指数幂的意义：

；

注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.

4.有理数指数幂的运算性质：

(1) (2) (3)

知识点二：指数函数及其性质

1.指数函数概念

一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.

函数名称指数函数

定义函数且叫做指数函数图象

定义域

值域

过定点图象过定点，即当时，.

奇偶性非奇非偶

单调性在上是增函数在上是减函数

函数值的

变化情况

变化对图象

的影响

在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看

图象，逐渐减小.

知识点三：对数与对数运算

1.对数的定义

(1)若，则叫做以为底的对数，记作

，其中叫做底数，叫做真数.

(2)负数和零没有对数.

(3)对数式与指数式的互化：.

2.几个重要的对数恒等式

，，.

3.常用对数与自然对数

常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).

4.对数的运算性质

如果，那么①加法：

②减法：③数乘：

④⑤

⑥换底公式：

知识点四：对数函数及其性质

1.对数函数定义

一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函

数的定义域.

函数名称对数函数

定义函数且叫做对数函数

图象

定义域值域

过定点图象过定点，即当时，.

奇偶性非奇非偶

单调性在上是增函数在上是减函数

函数值的

变化情况

变化对图象

的影响

在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看

图象，逐渐减小.

1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中

为常数.

2.幂函数的性质

(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象

限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象

关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象

关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.

(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.

(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.

如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无

限接近轴与轴.

(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶

函数.当(其中

互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为

奇数为偶数时，则

是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数. (5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若

，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.

补充：函数

1. 映射定义：设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对集合A 中任一元素x，在集合B中有唯一元素y与之对应，则称f是从集合A到集合B的映射。这时，称y是x在映射f的作用下的象记作f（x）。x称作y的原象。

2.函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素

3.求函数的定义域常涉及到的依据为

①分母不为0；

②偶次根式中被开方数不小于0；

③实际问题要考虑实际意义

④零指数幂的底数不等于零；

⑤对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；

⑥注意同一表达式中的两变量的取值范围是否相互影响

4.函数值域：

①

x

y

2

3

=

②

x

x

y

-

+

=

5

3

5、函数图像变换知识

①平移变换：

形如：y=f(x+a)：把函数y=f(x)的图象沿ｘ轴方向向左或向右平移｜a｜个单位，就得到y=f(x+a)的图象。

形如：y=f(x)+a：把函数y=f(x)的图象沿ｙ轴方向向上或向下平移｜a｜个单位，就得到y=f(x)+a的图象

②.对称变换 y=f(x)→ y=f(－x),关于ｙ轴对称 y=f(x)→ y=－f(x) ,关于ｘ轴对称

③.翻折变换

y=f(x)→y=f|x|, (左折变换)

把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称

y=f(x)→y=|f(x)|（上折变换）

把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称

在第一象限内，底数越大，图像（逆时针方向）越靠近y轴。

6函数的表示方法