Jacobi迭代法求解线性方程组实验报告

仿真平台与工具应用实践

Jacobi迭代法求解线性方程组

实验报告

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指导老师：

一、 实验目的

熟悉Jacobi 迭代法原理；

学习使用Jacobi 迭代法求解线性方程组；

编程实现该方法；

二、 实验内容

应用Jacobi 迭代法解如下线性方程组：

⎪⎩

⎪⎨⎧=++--=+-=+-1552218474321321321x x x x x x x x x ，要求计算精度为710-

三、 实验过程

（1）、算法理论

Jacobi 迭代格式的引出是依据迭代法的基本思想：构造一个向量系列(){}n X ，使其收敛至某个极限*X ，则*X 就是要求的方程组的准确解。 Jacobi 迭代

将方程组： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 )1(

在假设0≠ii a ，改写成()⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=--n n n n n n n n n n n g x b x b x b x g x b x b x b x g x b x b x b x 112211223231212113132121

)2(

如果引用系数矩阵

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a A 1111，⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011 n n b b B 及向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n x x X 1，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n b b b 1，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n g g g 1， 方程组（1）和（2）分别可写为：b AX =及g BX X +=，这样就得到了jacobi 迭代格式01g BX X k k +=+用jacobi 迭代解方程组b AX =时，就可任意取初值0X 带入迭代可知式g BX X k k +=+1，然后求k k X ∞

→lim 。但是，n 比较大的时候，写方程组)1(和)2(是很麻烦的，如果直接由A ，b 能直接得到B ，g 就是矩阵与向量的运算了，那么如何得到B ，g 呢？实际上，如果引进非奇异对角矩阵

()0≠ii a ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn a a D 00011 将A 分解成：,D D A A +-=要求b AX =的解，实质上就有,)(DX X D A AX +-=而D 是非奇异的，所以1-D 存在，,)(X A D AX DX -+=从而有,11b D AX D X --+=我们在这里不妨令,1A D I B --=b D g 1-=就得到jacobi 迭代格式：g BX X k k +=+1

（2）算法框图

（3）、算法程序

m 文件：

function x=jacobi(A,b,P,delta,n)

N=length(b); %返回矩阵b的最大长度

for k=1:n

for j=1:N

x(j)=(b(j)-A(j,[1:j-1,j+1:N])*P([1:j-1,j+1:N]))/A(j,j);

end

err=abs(norm(x'-P)); %求（x'-P）模的绝对值

P=x';

if(err

break;

end

end

E=eye(N,N); %产生N行N列矩阵

D=diag(diag(A));

f=A*inv(D); %f是A乘D的逆矩阵

B=E-f;

P

x=x';

k,err

B

MATLAB代码：

>> clear all

A=[4，-1，1;4，-8，1;-2，1，5];

b=[7，-21，15]';

P=[0,0,0]';

x=jacobi(A,b,P,1e-7,20)

（4）、算法实现

用jacobi 迭代法求解方程组：⎪⎩

⎪⎨⎧=++--=+-=+-1552218474333231232221131211x x x x x x x x x

正常计算结果是2，3，4 ，下面是程序输出结果：

P =

2.0000

4.0000

3.0000

k =

17

err =

9.3859e-008

B =

0 -0.1250 -0.2000

-1.0000 0 -0.2000

0.5000 0.1250 0

x =

2.0000

4.0000

3.0000

四、 实验体会

MATLAB 是非常实用的软件，能够避免大量计算，简化我们的工作，带来便捷。通过本次试验，我了解了MATLAB 软件，提高了解决实际问题的能力。

五、 参考文献

《科学计算与数学建模实验报告_Jacobi 迭代法求解线性方程组》