第6章-代数方程与差分方程模型
6考研数学大纲知识点解析(第六章微分方程和差分方程(数学一))
满足初始条件
的特
【解析】令
，则
，原方程化为
，即
，
于是 因
，得
，故
，由
，
知，应取
.
即
，解得
，又由
，得
，故
．
（3）型如： 间变量，即
.方程的特点是不显含自变量 ．令 ，由复合函数求导的链式法，则有
，视 为中
将之代入方程，得 这是函数 关于变量 的一阶微分方程．若能求出其通解
则可再由方程
或
两边积分后求得方程的通解
【解析】 将
代入方程
（D）
．
，得
由题设可知 从而有
类似地，将
代入方程
解得
，故选（A）．
．
，得
，
【例题】（89 年，数学一/数学二/数学三）设线性无关的函数
都是二阶非齐次线性
方程 ．
的解，
是任意常数，则该非齐次方程的通解是
（A）
．
（B）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
．
（C）
． （D）
．
【答案】（D）．
【解析】根据解的性质，
均为齐次方程的解，且线性无关，因此
；
（2） 求出特征根 和 ；
（3） 根据特征根的不同情形按下表写出方程（1）的通解：
表 二阶常系数线性齐次微分方程的通解
特征根情形
通解形式
相异实根 相同实根 共轭复根
【例题】求微分方程 【解析】特征方程为 故齐次微分方程的通解为
的通解．
，解特征根为
．
．其中
为任意常数．
【例题】求微分方程 【解析】特征方程为 故齐次方程的通解为
．
设非齐次方程
(完整版)姜启源数学模型第五版-第6章
等额本息还款模型
x0 ~贷款总额
r ~月利率 n ~贷款期限(月)
xk ~第k月还款后尚欠金额
a~每月还款金额
本月欠额=上月欠额的本息还款金额
xk= xk-1(1+r)a, k＝1,2,…, n k=n递推至k=１
xn= x0(1+r)na[1+(1+r)+…+(1+r)n-1]
k 1
2
例2 x0 =100(万元), r=0.0655/12, n=1220=240(月) x1=9625元, x240=4189.41(元), A2=1657729.17(元).
与房贷计算器给出的相同
等额本息与等额本金方式的比较
• 等额本息方式简单，便于安排收支. • 等额本金方式每月还款金额前期高于等额本息方式,
贷款购房——最简 单的差分方程模型
输入必要信息 轻击鼠标即得
单利和复利 两种计算利息的基本方式
单利 ~１万元存5年定期, 年利率4.70.04755)=12375元.
复利 ~１万元存1年定期, 年利率为3%, 到期不取则 自动转存, 5年后本息：10000 (1+0.03)5=11593元.
c 20000 0.025
w 8000100
每周每千克体重消耗 20000/100=200kcal 正常代谢消耗相当弱.
2. 正常代谢情况下的第一阶段计划 • 吸收热量由20000kcal每周减少1000kcal, 直至达到安全下限10000 kcal/周. c(k) 200001000k, k 1,2, ,10 c(10)= 10000 第一阶段需10周 w(k 1) (1 )w(k) (20000 1000 k)
差分方程模型
差分方程模型
周家全
对连续型变化的问题而言, 常常可建立微分方程模型. 而对离散状态转移的问题, 则可建立差分方程模型. 差分方 程与常微分方程有很多类似的性质和结论．首先引入差分的 概念．
1 差分定义及其性质
定义 设函数 y = y(x) 在等距节点 xi = x0 + ih ( i = 0,1, , n)
对于一般的差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = f 来讲, 其平衡 点的稳定性问题可以同样给出. 二阶方程的上述结果可以推
广到 n 阶线性差分方程, 即稳定平衡点的条件是特征根： n
次代数方程的根 λi (i = 1, 2, , n) 均有| λi |< 1.
4 经济学中的蛛网模型
1. 提出问题 在自由竞争的社会中, 很多领域会出现循环波动的现象. 在经济领域中, 可以从自由集市上某种商品的价格变化看到 如下现象：在某一时期, 商品的上市量大于需求, 引起价格 下跌, 生产者觉得该商品无利可图, 转而经营其它商品；一
解
Δf (0) = f (0.5) − f (0) = 0.75 ,
-2-
洛阳理工学院数学建模竞赛培训教案
Δf (0.5) = f (1) − f (0.5) = 1.25
周家全
Δ2 f (0)= Δ(Δf (0)) = Δf (0.5) − Δf (0) = 1.25 − 0.75 = 0.5
计算较多点的差分可按差分表进行, 容易看出表中每一 个需要计算的差分值分别等于其左侧的数减去左上侧的 数．每个点 xi 处的各阶差分位于与主对角线平行的斜线上．
(I) 先求解对应的特征方程
a0λn + a1λn−1 + + a0 = 0
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
差分方程稳定性PPT课件
又对差分方程(1-1)的任意由初始条件确定
的解 xn= x(n)都有 xn→a (n→∞),
则称这个平衡点a是稳定的.
一阶常系数线性差分方程
xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a ≠-1, 0)的通解为
xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且 仅当|a|＜1时, b/(a +1)是稳定的平衡点.
讨论 x* 的稳定
性
SUCCESS
THANK YOU
2020/9/29
补充知识(刚学过的):
一阶非线性差分方程 xk1 f (xk ) (1) 的平衡点及稳定性
(1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的
根 (1)的近似线性方 xk1 f ( x*) f ( x*)( xk x*) (2) 程
b=2.6 0.2000 0.4160 0.6317 0.6049
0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154
b=3.3 0.2000 0.5280 0.8224 0.4820
0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236
离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性
y
yk 1
yk
ryk (1
k
N
)
(1)
变量 代换
xk
r (r 1)N
yk
yk 1
(r
1) yk
差分方程及其应用(精)
差分方程及其应用在经济与管理及其它实际问题中,许多数据都是以等间隔时间周期统计的。
例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。
这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。
描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。
对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。
本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法,与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似,可对照微分方程的知识学习本章内容。
§1 基本概念 线性差分方程解的基本定理一、 基本概念1、函数的差分对离散型变量，差分是一个重要概念。
下面给出差分的定义。
设自变量t 取离散的等间隔整数值：，，，， 210±±=t t y 是t 的函数，记作)(t f y t =.显然,t y 的取值是一个序列。
当自变量由t 改变到1+t 时，相应的函值之差称为函数)(t f y t =在t 的一阶差分,记作t y ∆,即)()1(1t f t f y y y t t t -+=-=+∆。
由于函数)(t f y t =的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。
当函数)(t f y t =的一阶差分为正值时，表明序列是增加的,而且其值越大,表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时,表明序列是减少的.例如：设某公司经营一种商品，第t 月初的库存量是)(t R ，第t 月调进和销出这种商品的数量分别是)(t P 和)(t Q ,则下月月初，即第1+t 月月初的库存量)1(+t R 应是)()()()1(t Q t P t R t R -+=+，若将上式写作)()()()1(t Q t P t R t R -=-+，则等式两端就是相邻两月库存量的改变量。
若记))()1()(t R t R t R -+=∆，并将理解为库存量)(t R 是时间t 的函数，则称上式为库存量函数)(t R 在t 时刻（此处t 以月为单位）的差分。
数学建模教学大纲
数学建模教学大纲【课程编码】 JSZB0240【适用专业】 信息与计算科学【课 时】 78【学 分】 4【课程性质、目标和要求】数学建模是信息与计算科学专业的一专业课。
它是研究如何将数学方法和计算机知识结合起来用于解决实际问题的一门边缘交叉学科，是集经典数学、现代数学和实际问题为一体的一门新型课程，是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。
本课程主要介绍数学建模的概述、初等模型、简单优化模型、微分方程模型、差分方程模型、概率统计模型、图论模型、线性规划模型等模型的基本建模方法及求解方法.数学建模是继本科生高等数学、工程数学之后为了进一步提高运用数学知识解决实际问题的基本技能，培育和训练综合能力所开设的一门新学科。
通过具体实例的引入使学生掌握数学建模基本思想、基本方法、基本类型，学会进行科学研究的一般过程，并能进入一个实际操作的状态。
通过数学模型有关概念、特征的学习和数学模型应用实例的介绍，培养学生数学推导计算和简化分析能力，熟练运用计算机能力；培养学生联想、洞察能力,综合分析能力；培养学生应用数学方法解决实际问题的能力。
【教学时间安排】本课程计4学分，78学时（理论学时54,实验学时24） 学时分配如下：序号课程内容课时备注（教学形式）1建立数学模型4课堂讲授 作业 辅导2初等模型4课堂讲授 作业 辅导3简单的优化模型4课堂讲授 作业 辅导4数学规划模型8课堂讲授 作业 辅导5微分方程模型6课堂讲授 作业 辅导6差分方程模型4课堂讲授 作业辅导7离散模型6课堂讲授 作业 辅导8概率统计模型8课堂讲授 作业 辅导9动态优化模型6课堂讲授 作业 辅导10大作业讲评：露天矿生产的车辆安排4课堂讲授 课堂讨论11实验1：LINDO软件的使用方法4上机练习 12实验2：LINGO软件的使用方法4上机练习13实验3：用LINDO/LINGO软件包求解部分优化建模赛题4上机练习14实验4：用Matlab进行统计回归分析4上机练习15实验5：用Matlab作散点插值4上机练习16实验6：用Matlab作数据拟合4上机练习合 计78【教学内容要点】第一章 建立数学模型一、学习目的要求 使学生正确了解数学描述和数学建模不同于常规数学理论的思维特征，了解数学模型的意义及分类，掌握建立数学模型的一般方法及步骤。
数学建模第五版姜启源课后题答案第6章代码
数学建模第五版姜启源课后题答案第6章代码
第六章代数方程与差分方程模型代码
概述差分方程的类型
6.1贷款购房
6.2管住嘴迈开腿
6.3动物的繁殖与收获
6.4中国人口增长预测
一、差分方程的基本概念
1.差分的定义
定义规定t只取非负整数，设函数y，表示变量y在t点的取值y=f（t），t=0，?，?，，土n，.
称
Ay，=y1-y，=f（t+1）-f（t）为函数y，的一阶差分；称A2y，=△（Ay，）=Ay1-Ay.
=（y42-y21）-（y21-y）
=y42-2y1+y
依此类推，函数的n阶差分定义为：A"y，=△（A-1y）
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分。
例1求△（t2），△2（t2），A3（t2）.
解设y，=t2，则Ay，=A（t2）=（t+1）2-t2=2t+1，
△2（y，）=A2（t2）=△（Ay，）=△（2t+1）
=（2（t+1）+1）-（2t+1）
=2，A2（y，）=△（A2y，）
=△（2）=2-2=0.
2.差分方程
例设某种商品t时期的供给量S，与需求量D都是这一时期价格P，的线性函数：S，=-a+b（a，b>0），D=c-d（c，d>0）.
则t时期的价格P，由t-1时期的价格P.1与供给量及需求量之差S.a-D.按以下关系确定P=P1-2（S1-D-1）（a为常数），即P-[1-2（b+d）JP，=a（a+c）.。
离散 模型
w1
w1
w2
A
w1
wn
w1
w1 w2
w1
wn
w2 w2
w2
wn
wn wn
w2
wn
成对比较阵和权向量
成对比较完全一致的情况 满足 aij a jk aik , i, j, k 1,2,, n 的正互反阵A称一致阵，如
w1
w1
A
wn
w1
w1 w2
w1
wn
(3) (2)
其中W(p)是由第p层对第 p-1层权向量组成的矩阵
层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立.
2）构造成对比较阵
用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵.
待评价的科技成果
三. 层次分析法的若干问题
• 正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量 是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵 接近一致阵的程度？
• 怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？
• 为什么用特征向量作为权向量？
• 当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用 层次分析法？
1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质
定理1 正矩阵A 的最大特征根是正单根，对应
正特征向量w，且 lim Ake w, e (1,1,1)T k eT Ak e
正互反阵的最大特征根是正数， 特征向量是正向量。
定理2 n阶正互反阵A的最大特征根 ≥n , = n是A为一致阵的充要条件。
一致性指标 CI n 定义合理
n 1
差分方程
第八讲 差分方程模型一、差分方程介绍规定t 只取非负整数。
记为变量在t 点的取值，则称t y y t t t y y y −=Δ+1为的一阶向前差分，简称差分，称Δ为的二阶差分。
类似地，可以定义的阶差分。
t y t t t t t y t t y y y y y y +−=Δ−Δ=ΔΔ=+++12122)(t y t y n t ny Δ由及的差分给出的方程称为的差分方程，其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。
差分方程也可以写成不显含差分的形式。
例如，二阶差分方程也可改写成t y t 、t y t y t y 02=+Δ+Δt t t y y y 012=+−++t t t y y y 。
满足一差分方程的序列称为差分方程的解。
类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。
若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
t y 称如下形式的差分方程)(110t b y a y a y a t n t n t n =+++−++L （1） 为阶常系数线性差分方程，其中是常数，n n a a a ,,,10L 00≠a 。
其对应的齐次方程为0110=+++−++t n t n t n y a y a y a L （2）容易证明，若序列与均为（2）的解，则也是方程（2）的解，其中为任意常数。
若是方程（2）的解，是方程（1）的解，则也是方程（1）的解。
)1(t y )2(t y )2(2)1(1t tt y c y c y +=21,c c )1(t y )2(t y )2()1(t t t y y y +=方程（1）可用如下的代数方法求其通解： （I ）先求解对应的特征方程（3）00110=+++−a a a n nL λλ（II ）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。
（i ）若特征方程（3）有n 个互不相同的实根n λλ,,1L ，则齐次方程（2）的通解为t n n t c c λλ++L 11 （为任意常数）n c c ,,1L （ii ）若λ是特征方程（3）的重根，通解中对应于k λ的项为t k k tc c λ)(11−++L ，),,1(k i c i L =为任意常数。
差分方程模型
结果分析： 可以看到，对于不同的b，xk的变化规律有较大差 别。为了研究这种差别的机理，需要得到方程（10） 的表达式。注意到一阶差分方程（3）的解为（5）式， 对于二阶差分方程可以寻求形如xk=λk的解，将其代 入（10）式得 2 p q 0 （11） 代数方程（11）称为差分方程（10）的特征方程， 方程（11）的根 p p 2 4q 1,2 丘鹤数量的变化趋势，即 k→∞时xk的极限状态。 在自然环境下（3）式的解得形式为 xk =akx0， a=1+r， k=0,1,2,… （5） 显然当a>1（即r>0）时xk →∞，而a<1（即r<0）时 xk →0，表明在中等及较差的自然环境下沙丘鹤将濒 于灭绝。 在人工孵化条件下由（4）式可得 xk=akx0 +b(1+a+…+ak-1) =akx0 +b(1- ak-1)/(1-a) ， k=0,1,2,… （6） 当a<1（即r<0）时xk →x= b/(1-a) 。对于充分大的k用 （4）式计算xk的结果如图表示：
例2 污水处理厂每天可将处理池的污水（中含 污物）浓度降低一个固定比例q，问多长时间才能 使污水浓度降低一半？
记第k天的污水浓度为ck ，则第k+1天的污水 浓度为 ck+1=(1-q) ck, k=0,1,2,… （2） 从K=0开始递推n次可得cn=(1+r)n c0,以cn=c0/2， lg 2 n 代入可解出 ，n天后污水浓度降低一半。
function x=minos1(x0,n,r)%建立名为minos1的函数M文件，x0， n，r可以调节 a=1+r; x=x0;%赋初值 for k=1:n x(k+1)=a*x(k);%按照（3）迭代计算 End >> k=(0:20)'; >> y1=minos1(100,20,0.0194); >> y2=minos1(100,20,-0.0324); >> y3=minos1(100,20,-0.0382); >> round([k,y1',y2',y3']),%对结果四舍五入取整数 >> plot(k,y1,k,y2,‘*’,k,y3,‘--’)%将三条线画在一个图上 >> gtext('r=0.0194'),gtext('r=-0.0324'),gtext('r=-0.0382'),%在图 上做标记 >> grid on
差分方程_精品文档
程）法。本节主要讲述前3种方法，后2种方法将在后续章节中讲
解。
一、差分方程的初值问题（边界条件）
二、差分方程的解法（前3种方法）
三、传输算子的概念
返回
一、差分方程的初值问题（边界条件）
相应于连续时间系统中的起始条件和初始条件, 在离散时间系统中存在着起始样值与初始样值。
起始样值即在激励信号加入之前系统已具有的 一组样值, 以符号y-(n)表示。
返回
例7-4-6 已知 y(n)+2y(n-1) =5u(n), 且y(-1) =1,
求完全解。
特征方程 a +2=0 a = -2
齐次解
yhn C1 2n
特解
因为x(n)=5u(n), n³0时为5（常数）
所以 yp(n) =D
代入原方程求特解 D+2D =5 (n 0)
完全解
所以 D 5
“E”表示将序列超前一个单位时间的运算。 E也称为移
序算子，利用移序算子可y(n写-1)出= 1: y(n)
对y于(n差+分1方)=程Eyy((nn)+1)
-
ay(n)
E
=x(n)
可改写为: （E - a）y(n) =x(n)
对于二例，可以引入
传输算子 HE 1
于是有：
Ea
而对于方程式 y(n) - ay(n-1) =x(n -1)
N
akCa nk 0
k 0
消去常数C，逐项除以a n-N 并化简得:
a0a N+a1a N-1+……+ aN-1a + aN=0
该式称为差分方程的特征方程，特征方程的根a1. a2 、……、 aN称为差分方程的特征根。
差分方程模型
第一讲 差分方程 第二讲 蛛网模型 第三讲 商品销售量预测 第四讲 养老保险
实用文档
t
1、差分方规t定程简只介取非负整数，y t 记 为t变量在 点
的取值，yt 则y称t1yt y t
为 的一阶
向前 差2 y 分t ， 称( y t) y t 1 y t y t 2 2 y t 1 y t
如何从数学的角度来描述上述现象呢？
实用文档
2、模型假设
(1)设 时段商品数量为 ，其价格为 ，
这里把时k间
xk
yk
离散化为时段，一个时期相当于商品的一个生产周期。
(2)同一时段的商品价格取决于该时段商品的数量，
称
yk f(xk)
为需求函数。出于对自由经济的理解，商品的数量越多，其 价格就越低。故可以假设需求函数为一个单调递减函数。
x(k)k,0,1, x(k ) Z
繁琐，下面介绍 变换，将差 分方程转化为代数方程去求
解
X(z)Z(x(k)) x(k)zk
设有离散序列
k0
，则
的
变换z 定义为
X (z) Z
其中 部
x(k)Z1[X(z)] 是复变量，上式右端的级数的收敛域是某个圆的外
的 反变换记作
实用文档
几个常用离散函数的 Z 变
定， (3) 下一时段xk的1商g品(y数k)量由上一时段的商品价格决
称为供应函数，由于价格越高可导致产量越大，所以可以假 设供应函数是一个单调递增的函数。
，则
Z [x (k 1 ) ]z [X (z) x (0 )]
N 1
Z[x(kN ) ]zN[X(z) x(k)zk]
Z [x (k 1 ) ]z 1 [X (z ) k x 0 ( 1 )z ]
差分方程的特征方程
差分方程的特征方程差分方程是描述离散时间系统动态行为的数学模型。
在差分方程中，特征方程是一个重要的概念，它能够帮助我们理解和分析系统的稳定性和响应。
什么是差分方程在离散时间系统中，我们通常用差分方程来描述系统的动态行为。
与连续时间系统不同，离散时间系统是在离散的时间点上进行状态更新和信号处理的。
差分方程是描述离散时间系统中状态变化的数学方程。
差分方程通常采用递推的方式来描述系统的动态行为。
它包含了当前时刻的状态和之前时刻的状态之间的关系。
通过递推公式，我们可以根据当前时刻的状态来计算下一个时刻的状态。
差分方程的一般形式可以表示为：y[n] = f(y[n-1], y[n-2], ..., y[n-k])其中，y[n]表示第n个时刻的状态，f()是一个函数，它描述了当前时刻状态和之前时刻状态之间的关系。
k表示差分方程的阶数，它决定了递推公式中需要考虑的之前时刻的状态的个数。
差分方程的特征方程差分方程的特征方程是一个与差分方程有关的代数方程。
特征方程的解决方案可以帮助我们理解和分析差分方程的稳定性和响应。
特征方程的一般形式可以表示为：a0 r^n + a1 r^(n-1) + ... + an-1 r + an = 0其中，r是特征方程的解，n是差分方程的阶数，a0, a1, ..., an是差分方程中的系数。
特征方程的解决方案可以分为两种情况：实数解和复数解。
实数解如果特征方程的解是实数，那么差分方程的解也将是实数。
实数解的情况下，我们可以通过解特征方程来确定差分方程的稳定性和响应。
特征方程的实数解通常可以分为三种情况：1.不同的实数解：特征方程的根是不同的实数。
在这种情况下，差分方程的解将包含不同的指数项，每个指数项对应一个实数解。
差分方程的稳定性取决于实数解的大小和符号。
2.重复的实数解：特征方程的根是重复的实数。
在这种情况下，差分方程的解将包含相同的指数项，每个指数项对应一个实数解。
差分方程的稳定性取决于实数解的重复次数和符号。
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量纲齐次原则
在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则, 确定各物理量之间的关系.
物 长度 l 的量纲记 L=[l] 理 质量 m的量纲记 M=[m] 量 时间 t 的量纲记 T=[t] 的 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 量 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2
纲 力 f 的量纲 [f]=LMT-2
f (q1, q2, , qm) =0 等价
m
q ysj
s
j
j 1
为得到阻力 f 的显式表达式
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (g,l,,v,s,f) = 0 等价
1 2
1 1
g 2l 2v l 2s
3 g l 1 3 1 f
F=0
3 (1, 2 )
f l3g (1, 2 ),
第六章 代数方程与差分方程模型
6.3 原子弹爆炸的能量估计与量纲分析 6.4 市场经济中的蛛网模型 6.5 减肥计划——节食与运动 6.6 按年龄分组的人口模型
6.3 原子弹爆炸的能量估计与量纲分析
1945年7月16日美国科学家在新墨西哥州的沙漠 试爆了全球第一颗原子弹, 震惊世界!
后来公布爆炸实际释 放的能量为21×103t
m
q 则 s
ysj j
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
j 1
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定.
量纲分析示例：波浪对航船的阻力
航船阻力 f
航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s,
海水密度, 重力加速度g。
f (q1, q2,, qm ) 0 (g, l, , v, s, f ) 0
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, ,Xn 是 基本量纲, nm, q1, q2, ,qm 的量纲可表为
n
[q ] X ,aij
j
i
j 1,2,, m
i 1
量纲矩阵记作 A {aij }nm , 若 Rank A r
线性齐次方程组 Ay 0 有 m-r 个基本解，记作
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r
动力学中 基本量纲 L, M, T
导出量纲
引力常数 k 的量纲 [k] =[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
对无量纲量，[]=1(=L0M0T0)
f k m1m2 r2
量纲齐次原则 等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系.
例：单摆运动 求摆动周期 t 的表达式
设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
径r
t(ms) r(m) t(ms) r(m) t(ms) r(m) t(ms) r(m) t(ms)
0.10 11.1 0.80 34.2 1.50 44.4 3.53 61.1 15.0
0.24 19.9 0.94 36.3 1.65 46.0 3.80 62.9 25.0
0.38 25.4 1.08 38.9 1.79 46.9 4.07 64.3 34.0
(g) (l) () (v) (s) ( f )
f (q1, q2 ,, qm ) 0
rank A = r Ay=0 有m-r个基本解
(g,l, , v, s, f ) 0
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
n
[q j ]
X ,aij i
i 1
j 1,2,, m
A {aij }nm
m=6, n=3
[g] = LT-2, [l] = L, [] = L-3M,
[v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2
1 1 3 1 2 1 (L)
A
0
0
1
0 0 1 (M )
2 0 0 1 0 2 (T)
L M T L M T y3y4
y2 y1 2 y4
0 00
y3 y4 0
y 2
0
y1 2 y4 0
基本解 y ( y1, y2 , y3, y4 )T
(2, 0, 1, 1)T
t2l 1g
(t l / g )
F() 0
定理 (Buckingham) 设 f(q1, q2, , qm) = 0
t m l g 1 2 3 (1)
l
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
m
(1)的量纲表达式 [t] [m]1 [l]2 [g]3
mg
T M L T 1 2 3 23
1 0 2 3 0
2 3
1
1 0 2 1/ 2 3 1/ 2
t l
g
与 t 2 l 对比
g
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式 f (t, m, l, g ) 0
m-r 个无量纲量
m
q ysj
s/ 2,1/ 2,0, 1, 0, 0)T
y
2
(
0, 2, 0, 0,1, 0)T
y 3
(
1,
3, 1, 0, 0,1)T
1 2
1
g 2l l 2s
1
2v
3 g l 1 3 1 f
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与
当时资料是保密的, 无法准确估计爆炸的威力. 英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开的录像带, 利用数学模型估计这次爆炸释放的能量为19.2×103t.
原子弹爆炸的能量估计
爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播, 爆炸的能量越大，在一定时刻冲击波传播得越远.
冲击波由爆炸形成的“蘑菇云”反映出来. 泰勒测量： 时刻t 所对应的“蘑菇云”的半
0.52 28.8 1.22 41.0 1.93 48.7 4.34 65.6 53.0
0.66 31.9 1.36 42.8 3.26 59.0 4.61 67.3 62.0
r(m) 106.5 130.0 145.0 175.0 185.0
泰勒用量纲分析方法建立数学模型, 辅以小型试验, 又利用测量数据对爆炸的能量进行估计.
t m l g y1 y2 y3 y4
[t] L0M 0T 1 [m] L0M 1T 0 [l] L1M 0T 0 [g] L1M 0T 2
y1~y4 为待定常数, 为无量纲量
(L0M 0T 1 ) y1 (L0M 1T 0 ) y2 (L1M 0T 0 ) y3 (L1M 0T 2 ) y4 L0M 0T 0