人教A版选修1-2之3.1.1数系的扩充和复数的概念
高中数学《3.1.1数系的扩充和复数的概念》评估训练 新人教A版选修1-2
第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1.1 数系的扩充和复数的概念双基达标 限时20分钟1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( )．A ．3－3iB ．3＋iC ．－2＋2iD.2＋2i解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A. 答案 A2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( )．A.π4B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )解析 由复数相等定义得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，∴tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4(k ∈Z )．答案 D 3．下列命题中①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝2＋i 的充要条件是x ＝2，y ＝1； ②纯虚数集相对复数集的补集是虚数集； ③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3. 正确的命题个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①x ，y ∈C ，x ＋y i 不一定是代数形式，故①错．②③错；对于④，a ＝0时，a i ＝0，④错，故选A. 答案 A4．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________．解析 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，∴m 2－m ＝0， ∴m ＝0或1. 答案 0或15．已知(1＋i)m 2＋(7－5i)m ＋10－14i ＝0，则实数m ＝________.解析 把原式整理得(m 2＋7m ＋10)＋(m 2－5m －14)i ＝0，∵m ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋7m ＋10＝0，m 2－5m －14＝0，∴m ＝－2.答案 －26．实数m 取什么值时，复数lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 分别是(1)纯虚数；(2)实数．解 (1)复数lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为纯虚数．则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠－2且m ≠－1，∴m ＝3.即m ＝3时，lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为纯虚数， (2)复数为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0， ①m 2＋3m ＋2＝0， ②解②得m ＝－2或m ＝－1， 代入①检验知满足不等式，∴m ＝－2或m ＝－1时，lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为实数．综合提高 限时25分钟7．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的值为( )．A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或6解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3 m －1＝3，m 2－5 m －6＝0，∴m ＝－1.答案 B8．如果关于x 的方程x 2－2x －a ＝0的一个根是i ，那么复数a( )．A ．一定是实数B ．一定是纯虚数C ．可能是实数，也可能是虚数D ．一定是虚数，但不是纯虚数解析 因为i 是方程x 2－2x －a ＝0的根，故代入整理得：a ＝x 2－2x ＝i 2－2i ＝－1－2i ，故选D.答案 D9．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为________．解析 易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.答案 －410．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的取值范围是________．解析 ∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2－3x －2>1，log 2x 2＋2x ＋1＝0，∴x ＝－2.答案 －211．已知A ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解 按题意：(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0a 2－3a －1＝3，得a ＝－1.12．(创新拓展)若m 为实数，z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m ＋2＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 值的集合又是什么？ 解 当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0，m ＝0，－1，－2，z 1＝1或2或5.当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，m ＝0,1,4，z 2＝2或6或18.上面m 的公共值为m ＝0， 此时z 1与z 2同时为实数， 此时z 1＝1，z 2＝2.所以z 1>z 2时m 值的集合为空集，z 1<z 2时m 值的集合为{0}．。
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.1.1 数系的扩充和复数的概念课件 新人教A版选修2-2
(2)(1＋ 3 )i可看作0＋(1＋ 3 )i＝a＋bi， 所以实部a＝0，虚部b＝1＋ 3. 答案：0，1＋ 3 (3)(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0， 所以a＝〒1. 答案：〒1
【要点探究】 知识点1 数系的扩充与分类
1.数系扩充的脉络 自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系.
2 m 【变式训练】m取何实数时，复数 z＝ m 6＋ m 2－2m－ 15 i. m3
(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？
m 2 2m 15 0， 【解析】(1)因为z为实数，所以 m 3 0， m 5或m 3， 所以 m 3，
(2)代数式中各字母的名称:
实部
虚部
虚数单位
(3)复数z=a+bi 的分类及满足条件
实数 _____b=0 ，
复数a＋bi(a，b∈R)
虚数 _____b≠ 0
纯虚数a=0,b≠0，
非纯虚数a≠0,b≠0.
2.复数的相等 a＝c且b＝d ，b，c，d∈R). a＋bi＝c＋di ___________(a 3.复数集
m 2 4 0, ③要使z为纯虚数，必有 2 m 3m 2 0, m 2且m 2, 所以 m 1或m 2.
所以m＝1，故m＝1时，z为纯虚数．
【延伸探究】把题(1)中的“纯虚数”改为“实数”,则结果如 何? 【解析】复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,而|a|=-a,所以 a≤0.
【误区警示】复数概念易错点 (1)注意虚部不是bi,而是b.还要特别注意,要保证实部、虚部 有意义.
(2)形如bi的数不一定是纯虚数,只有限定条件b∈R且b≠0时,
人教版2017高中数学选修1-2第三章《 数系的扩充与复数的概念》课件PPT
复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R, b R)
实部 虚部 其中 i 称为虚数单位.
讨论？
复数集C和实数集R之间有 什么关系？
R C
实数b 0 纯虚数a 0，b 0, 复数a+bi 虚数b 0 非纯虚数a 0，b 0.
若a, b, c, d R,
a c, a bi c di b d .
，其中
x, y R 求
例2
已知 (2 x 1) i y (3 y )i
x与y.
解：更具复数相等的定义，得方程组
2 x 1 y， 5 解得 x , y 4. 2 1 (3 y)，
例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即
m 1时，复数z 是实数． （2）当 m 1 0 ，即 m 1 时，复数z 是虚数． （3）当 m 1 0 即 m 1时，复数z 是 纯虚数． m 1 0
（数） y
（形）
建立了平面直角坐标系来表示 复数的平面 ------复数平面 (简称复平面)
z=a+bi Z(a,b)
a b
o
x
x轴------实轴 y轴------虚轴
例1 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点
位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
m 2 m 6 0， 3 m 2， 解：由 2 得 m m 2 0， m 2 或 m 1，
2021年人教A版高中数学教材目录(全)
必修1欧阳光明（2021.03.07）第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示 1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体 1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n 项和2.4等比数列2.5等比数列的前n 项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2简单的线性规划问题3.4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1-2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1合情推理与演绎证明2．2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3．2复数代数形式的四则运算第四章框图4．1流程图4．2结构图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝第四讲平面解析几何的产生第五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修3-2选修3-3第一讲从欧氏几何看球面第二讲球面上的距离和角第三讲球面上的基本图形第四讲球面三角形第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系第八讲欧氏几何与非欧几何选修3-4第一讲平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第三讲对称与群的故事选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修4-2第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法第三讲逆变换与逆矩阵第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量选修4-3选修4-4第一讲坐标系第二讲参数方程选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式第二讲证明不等式的基本方法第三讲柯西不等式与排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修4-7第一讲优选法第二讲试验设计初步选修4-8选修4-9第一讲风险与决策的基本概念第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介高中人教版（B）教材目录介绍必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算第二章函数2．1 函数2．2 一次函数和二次函数2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数3．3 幂函数3．4 函数的应用（Ⅱ）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1 平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3 圆的方程2．4 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用必修四第一章基本初等函(Ⅱ)1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1 向量的线性运算2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式 3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 导数 3．2 导数的运算3．3 导数的应用选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法1．4 绝对值的三角不等式1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2 排序不等式2．3 平均值不等式(选学)2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1 数学归纳法原理3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。
高二数学人教A版选修1-2课件：3.1.1 数系的扩充和复数的概念
= 1, = 2.
案例探究
误区警示
易错辨析:对复数概念理解不透彻 当m为何实数时,复数2m2-5m-3+(2m2-m-1)i是纯虚数? 思路分析:
案例探究
误区警示
错解:令2m2-5m-3=0,解得m=3或m=
-1.
2
所以当m=3或m=
时,复-数12 2m2-5m-3+(2m2-m-1)i为纯虚数.
复数 z 实数(������ = 0), 虚数(������ ≠ 0)(当������ = 0 时为纯虚数)
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
4.判定含有参变量的复数是实数,虚数,纯虚数利用定义. 先看a,b的取值是a∈R,b∈R,还是a∈C,b∈C. 若a∈R,b∈R,则a为实部,b为虚部;若a∈C,b∈C,则还应进一步进行运算(在后面学习)求得z的实部、虚部. 再结合纯虚数应满足的两个条件,实部为0,虚部不为0进行进一步判断,特别是虚部不为0,易漏掉而出错.
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
目标导航
预习导引
学习 目标
重点 难点
1.会分析数系扩充的必要性及其过程. 2.能知道复数的基本概念及复数相等的充要条件. 3.能知道复数的表示法及有关概念.
重点:1.复数的分类和复数相等的充要条件. 2.复数的表示法及有关概念. 难点:与复数有关的相关概念及复数相等的充要条件的 应用.
.
答案:kπ+π4(k∈Z)
解析:由题意知,cos θ=sin θ,即tan θ=1,又在
π
ππ 内tan -=12, , 2
π 4
故在R上由周期性知θ=kπ+
(k∈Z).
新人教A版高中数学教材目录(必修+选修)【很全面】
人教A版高中数学教材目录(必修+选修)必修1第一章集合与函数概念1.1 集合1.2 函数及其表示1.3 函数的基本性质实习作业小结复习参考题第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程3.2 函数模型及其应用实习作业小结复习参考题必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间几何体的表面积与体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系小结复习参考题必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图象与性质1.5 函数y=Asin(ωx+ψ) 的图象1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.4 平面向量的数量积2.5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式2abba+≤小结复习参考题选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法小结复习参考题选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1.球面三角形2.三面角3.对顶三角形4.球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1.“边边边”(s.s.s)判定定理2.“边角边”(s.a.s.)判定定理3.“角边角”(a.s.a.)判定定理4.“角角角”(a.a.a.)判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1.向量的向量积2.球面上余弦定理的向量证法三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1.平面刚体运动的定义2.平面刚体运动的性质思考题二对称变换1.对称变换的定义2.正多边形的对称变换3.对称变换的合成4.对称变换的性质5.对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1.群的一般概念2.直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告附录一附录二选修4-1 几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1.相似三角形的判定2.相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修 4-2矩阵与变换第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组探究与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａnα的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-4 坐标系与参数方程引言第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线学习总结报告选修4-5 不等式选讲引言第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式阅读与思考法国科学家柯西二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6 初等数论初步引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程1.一次同余方程2.大衍求一术五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数论在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7 优选法与试验设计初步引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告附录一、附录二、附录三选修4-9 风险与决策引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告附录。
人教版A版高中数学选修2-2：3.1.1 数系的扩充和复数的概念(2)
y
2
∴ x 1, y 2
YOUR SITE HERE 巩固提高1.当m为何实数时，复数
Z m2 m 2 (m2 1)i
是（1）实数? （2）虚数? （3）纯虚数?
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2.已知 (2x 1) i y (3 y)i ，其中 x, y R，
求 x, y的值。
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课堂小结
1.虚数单位i的引入；
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2.复数有关概念：
复数的代数形式:z a bi (a R,b R)
复数的实部 、虚部 z a bi (a R,b R)
虚数、纯虚数
实部
虚部
复数相等
a bi
c di
a c b d
（3）
当mm
1 1
0 0
即m 1时，复数z 是纯虚数．
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教师精讲
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例2.如果 (x 2y) i 5 (x y)i ，求 x, y的值.
解: 由复数相等的定义，得
x 2y 5 x y 1
解得
x 1
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(5)实数集R是复数集合C的 真子集 ，即 R C 。
合作交流
1.分别指出下列复数的实部和虚部：
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3 2i, 2 i, 3i 5, 3 , 5i, i2, 0. 2
2.复数 a bi (a,b R)是如何分类的?
复数a+bi
实数b 虚数b
0
0（当
a
0
时为纯虚数）
人教A版高中数学选修1-2：3.1.1数系的扩充和复数的概念
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）【选修1-2第三章】3．1.1 数系的扩充和复数的概念一、选择题1．“复数a＋b i(a，b∈R)为纯虚数”是“a＝0”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．下列命题正确的是( ) A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数B．若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋iC．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1D．两个虚数不能比较大小3．以－5＋2i的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是( ) A．2－2i B．－5＋5i C．2＋i D.5＋5i 4．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )A.12B．2 C．0 D．15．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( ) A．－1 B．0C．1 D．－1或16．若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )A．2kπ－π4(k∈Z) B．2kπ＋π4(k∈Z)C．2kπ±π4(k∈Z) D.k2π＋π4(k∈Z)二、填空题7．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝______，n＝______.8．给出下列几个命题：①若x是实数，则x可能不是复数；②若z是虚数，则z不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④－1没有平方根．则其中正确命题的个数为________．三、解答题9.已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数x，y的值．10．设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1<z2，求实数m 的取值范围．3.1.1答案1．A 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B7．2 ±2 8．19．解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0， ∴⎩⎨⎧ 2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎨⎧ x ＝12，y ＝2.所以实数x ，y 的值分别为12，2. 10．解 由于z 1<z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2.当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0，m ＝1或m ＝4，∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2.∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1.。
高中数学《3.1.1数系的扩充和复数的概念》课件1 新人教A版选修1-2
【变式1】 已知下列命题：
①复数a＋bi不是实数；
②当z∈C时，z2≥0； ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2； ④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数； ⑤若a、b、c、d∈C时，有a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d.
其中真命题的个数是________．
A．0 B．1 C．2 D．3
[思路探索] 只需根据复数的有关概念判断即可． 解析 ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符
合复数相等的充要条件，①是假命题．
②由于两个虚数不能比较大小，
∴②是假命题． ③当x＝1，y＝i时， x2＋y2＝0成立，∴③是假命题． 因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故④错；因为－1
题型二
复数相等的充要条件的应用
【例 2】 (1)已知 x2－y2＋2xyi＝2i，求实数 x、y 的值． a (2)关于 x 的方程 3x － x－1＝(10－x－2x2)i 有实根，求实数 2
2
a 的值． [思路探索] 先确定“＝”两边复数的实部和虚部，然后列方 程组求解．
解
(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，
2x－1＝－b， ∴ 1＝b－3，
3 3 x＝－ ， x＝－ ， 2 2 解得 ∴ b＝4. y＝4i.
题型三 复数的分类 m2＋m－6 【例 3】 当实数 m 为何值时，复数 z＝ ＋(m2－2m)i 为 m (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．
[规范解答]
规律方法
(1)利用复数相等，我们可以把复数问题转化为实数问
题来解决．
(2)复系数方程有实根问题，实际上就是两个复数相等的问题．
【变式 2】 求适合等式(2x－1)＋i＝y＋(y－3)i 的 x、y 值．其中 x ∈R，y 是纯虚数． 解 设 y＝bi(b∈R 且 b≠0)代入等式得
新人教A高中数学教材目录必修选修很全面
新人教A高中数学教材目录必修选修很全面人教A版高中数学教材目录(必修+选修)必修1第一章集合与函数概念1.1 集合1.2 函数及其表示1.3 函数的基本性质实习作业小结复习参考题第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程3.2 函数模型及其应用实习作业小结复习参考题必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间几何体的表面积与体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系小结复习参考题必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图象与性质1.5 函数y=Asin(ωx+ψ) 的图象1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.4 平面向量的数量积2.5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式2abba+≤小结复习参考题选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法小结复习参考题选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1.球面三角形2.三面角3.对顶三角形4.球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1.“边边边”(s.s.s)判定定理2.“边角边”(s.a.s.)判定定理3.“角边角”(a.s.a.)判定定理4.“角角角”(a.a.a.)判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1.向量的向量积2.球面上余弦定理的向量证法三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1.平面刚体运动的定义2.平面刚体运动的性质思考题二对称变换1.对称变换的定义2.正多边形的对称变换3.对称变换的合成4.对称变换的性质5.对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn 思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1.群的一般概念2.直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告附录一附录二选修4-1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1.相似三角形的判定2.相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修 4-2矩阵与变换第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组探究与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａnα的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-4 坐标系与参数方程引言第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线学习总结报告选修4-5 不等式选讲引言第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式阅读与思考法国科学家柯西二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6 初等数论初步引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程1.一次同余方程2.大衍求一术五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数论在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7 优选法与试验设计初步引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告附录一、附录二、附录三选修4-9 风险与决策引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告附录。
高中数学人教A版选修1-2课件：3.1.1数系的扩充和复数的概念
由复数相等的条件得
x02
kx0
2
0
2x0 k 0
x0
2,
k 2 2,
或
x0
2,
k 2 2
∴方程的实根为x 2或 x 2 ，相应的k值为 2 2 或 2 2 ．
巩固4. 解：
巩固5. 解：
巩固6. 解：
课后作业
选修2-2 XXX七中 3.1.1 数系的扩充与复数的引入
数
系
的
扩
无理数 实数
充
分数 有理数
负整数 整数
自然数
减
加
实数
除
乘方
开方 乘
解方程 x2 ？1, x
平方等于-1的数用符号i来表示。
的i
引 入
（1）i 2 1
（2）可以和实数一起进行的四
则运算,原有的加法乘法运算律
仍成立
复 数
定义：把形如a+bi的数叫做复数 （a,b 是实数）
的 z a b i (a R,b R)
解：设 y bi(b R且b 0)，则
(2x 1) i bi (3 bi)i
即 (2x 1) i b (b 3)i
由复数相等的条件得
2x 1 b 1 b 3
b 4
x
3 2
x
3 2
,
y
4i.
练习2.
m取何实数时，复数
z
m2 m m3
6
(m2
2m
15)i
是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
概
实部 虚部 虚数
念
单位
复数全体组成的集合叫复数集，
记作：C
数
系 的 复数
b 0 实数
最新人教版高中数学选修1-2《数系的扩充和复数的概念》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、虚数单位i在实数集R 中添加新数i,规定i 2=-1,其中i 叫做虚数单位;虚数单位可与实数进行四则运算,且原有的加法运算和乘法运算仍然成立.深化升华 由于i 与实数进行四则运算,且对加法、乘法的运算仍然成立,从而这些结果都可以写成a+bi(a 、b ∈R )的形式,再注意到实数a 和数i,也可以看作是a+bi(a 、b ∈R )的这样的数的特殊形式,所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C ={a+bi|a 、b ∈R }.二、复数的概念我们把集合C ={a+bi|a 、b ∈R }中的数,即形如a+bi(a 、b ∈R )的数叫做复数.其中i 叫做虚数单位.全体复数所构成的集合C 叫做复数集.复数通常用字母z 来表示,即z=a+bi(a 、b ∈R ),这一表示形式叫做复数的代数形式.其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部.对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0且b≠0时,叫做纯虚数.复数的分类:复数a+bi(a 、b ∈R )⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠≠≠=≠=)0,0()0,0()0()0(b a b a b b 非纯虚数纯虚数虚数实数深化升华 (1)实数集R 和虚数集都是复数集C 的真子集,且R ∪{虚数集}=C ,R ∩{虚数集}=∅;(2)z=a+bi(a 、b ∈R )的虚部是b,而不是bi;(3)实数也是复数,但是复数不一定是实数,它可能是虚数.三、复数相等的条件在复数集C ={a+bi|a 、b ∈R }中任取两个数a+bi,c+di(a 、b 、c 、d ∈R ),我们规定:a+bi 与c+di 相等的充要条件是a=c 且b=d.根据两个复数相等的定义知,在a=c 且b=d 两式中,如果有一个不成立,那么a+bi≠c+di.如果两个复数都是实数,则可以比较大小;否则不能比较大小.复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据,是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现.四、复数的向量表示及几何意义根据复数相等的定义,复数z=a+bi 被一个有序实数对(a,b)所唯一确定,而每一个有序实数对(a,b),在平面直角坐标系中又唯一确定一点Z(a,b)(或一个向量OZ).这就是说,每一个复数,对应着平面直角坐标系中唯一的一个点(或一个向量);反过来,平面直角坐标系中每一个点(或每一个向量),也对应着唯一的一个有序实数对.这样我们通过有序实数对,可以建立复数z=a+bi 和点Z(a,b)(或向量OZ )之间的一一对应关系.点Z(a,b)或向量OZ 是复数z 的几何表示(如图).复数z=a+bi −−−→←一一对应有序实数对(a,b) −−−→←一一对应点Z(a,b).建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴.x 轴的单位是1,y 轴的单位是i.设OZ =a+bi,则向量OZ 的长度叫做复数a+bi 的模,记作|a+bi|.由向量长度的计算公式得|a+bi|=22b a +.如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则这两个复数叫做互为共轭复数.复数z 的共轭复数用z 表示.即当z=a+bi 时,z =a-bi.当复数z=a+bi 的虚部b=0时,有z=z ,也就是说任一实数的共轭复数仍是它本身.显然,在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称(如图),并且它们的模相等.知识拓展 互为共轭复数的常用性质:(1)z+z =2a,z-z =2bi;(2)复数z ∈R ⇔z=z ;(3)z ∈｛纯虚数｝⇔z+z=0且z≠0.问题·探究问题1 含有参数形式的复数何时表示实数、虚数、纯虚数？导思:此类问题涉及到复数的分类及概念,在理解的基础上注意它们的联系与区别,以此作为判断它们为实数、虚数、纯虚数的条件.探究:注意到:复数z=a+bi 当且仅当b≠0时为虚数;当且仅当b=0时为实数,当且仅当a=0,b≠0为纯虚数;当且仅当a=0,b=0时为0.下面以3m+9+(m 2+5m+6)i 为例说明,m 为何值时表示实数、虚数、纯虚数?若表示实数,则m 2+5m+6=0(即虚部必须为零);若表示虚数,则m 2+5m+6≠0(即虚部不能为零);若表示纯虚数,则3m+9=0且m 2+5m+6≠0(即实部必须为零,虚部不能为零).问题2 两个复数相等的充要条件是什么？应用时应特别注意什么问题？导思:因为复数可以用向量来表示,所以可以结合向量相等来理解.在向量坐标表示中,两个向量要相等则对应坐标要相等.探究:两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等.在两个复数相等的充要条件中,注意前提条件是a 、b 、c 、d ∈R ,即当a 、b 、c 、d ∈R 时, a+bi=c+di ⇔⎩⎨⎧==.,d b c a 但忽略条件后,则不能成立,因此解决复数相等问题,一定要把复数的实部与虚部分离出来,再利用复数相等的充要条件,化复数问题为实数问题.问题3 为什么两个复数不全是实数就不能比较大小？导思:因为复数可以用向量来表示,所以可以结合向量来理解.探究:因为复数与向量是一一对应的,向量是既有大小又有方向的,因此两个复数不全是实数就不能比较大小,即两个复数能比较大小的充要条件是它们的虚部为零.典题·热题例1如果用C 、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集,其中C 为全集,那么有( )A.C =R ∪IB.R ∩I =｛0｝C.R =C ∩ID.R ∩I =∅ 思路解析:复数系的构成是复数z=a+bi(a 、b ∈R ).⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠=≠=)0()0()0()0(a a b b 非纯虚数纯虚数虚数实数 由此不难判断正确答案为D.答案:D例2设m ∈R ,复数z=(2+i)m 2-3(1+i)m-2(1-i).(1)若z 为实数,则m=_________________;(2)若z 为纯虚数,则m=_________________.思路解析:本题主要考查复数为实数和纯虚数的充要条件,分别为b=0与a=0,b≠0.解:(1)z=(2+i)m 2-3(1+i)m-2(1-i)=(2m 2-3m-2)+(m 2-3m+2)i.由题意知:m 2-3m+2=0,即m=1或m=2时,z 是实数.(2)依题意⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--.023,023222m m m m 解得m=-21,所以当m=-21时,z 是纯虚数. 答案:(1)1或2 (2)-21 方法归纳 注意此处空半格对于本题复数用非标准形式给出,应先化成标准形式a+bi 的形式,使复数问题实数化,这是解复数问题的基本思想,也是化归思想的重要表现.复数为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0二者缺一不可.例3(2005北京春季高考,理1)i-2的共轭复数是( )A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i思路解析:本题考查复数及共轭复数的概念,应首先分清谁为虚部,谁为实部;次之,互为共轭的复数实部相等,虚部互为相反数.答案:D例4当实数m 为何值时,复数(m 2-8m+15)+(m 2+3m-28)i 在复平面中的对应点,(1)位于第四象限;(2)位于x 轴的负半轴上.思路解析:复数a+bi(a 、b ∈R )在复平面内的对应点,对于(1)应满足⎩⎨⎧<>,0,0b a 对于(2)应满足⎩⎨⎧=<.0,0b a 解:(1)由已知⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+-.0283,015822m m m m ∴⎩⎨⎧<<-><.47,53m m m 或∴-7＜m ＜3. (2)由已知⎪⎩⎪⎨⎧=-+<+-.0283,015822m m m m 解之,得m=4. 例5如果复数z 满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是 ( )A.1B.2C.2D.5思路解析:由复数模的几何意义知|z+i|+|z-i|=2表示复平面上以点A(0,1)、B(0,-1)为端点的线段AB 上的点,从而|z+i+1|=|z-(-1-i)|表示线段AB 上的点Ｚ到点C(-1,-1)的距离.∴|z+i+1|的最小值为|BC|=1.答案:A例6已知复数z 1=i(1-i)3,(1)求|z 1|;(2)若|z|=1,求|z-z 1|的最大值.思路解析:(1)求模应求出复数的实部与虚部再利用|a+bi|=22b a +得出;(2)是考查复数几何意义的应用.解:(1)z 1=i(1-i)3=i(-2i)(1-i)=2(1-i),∴|z 1|=222222=+.(2)|z|=1可看成半径为1圆心为(0,0)的圆,而z 1可看成在坐标系中的点(2,-2), ∴|z-z 1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上点距离的最大值,由图可知|z-z 1|max =22+1.变式方法:|z|=1,∴设z=cosθ+isinθ,|z-z 1|=|cosθ+isinθ-2+2i|=)4sin(249)2(sin )2(cos 22πθθθ--=++-. 当sin(θ-4π)=-1时,|z-z 1|2取得最大值249+. 从而得到|z-z 1|的最大值为122+.方法归纳 注意此处空半格在设复数的过程中常设为z=a+bi(a 、b ∈R );在有关的解决轨迹问题中常设z=x+yi 从而与解析几何联系起来;当复数的模为1时也可以设为z=cosθ+isinθ用三角函数解决相关最值等.例7(2005上海春季高考)证明:在复数范围内,方程|z|2+(1-i)z -(1+i)z=ii +-255(i 为虚数单位)无解.思路解析:将已知条件化简后再由复数相等来解.解:原方程化简为|z|2+(1-i)z -(1+i)z=1-3i.设z=x+yi(x 、y ∈R ),代入上述方程得x 2+y 2-2xi-2yi=1-3i. ∴⎩⎨⎧=+=+)2.(322)1(,122y x y x将②代入①,整理得8x2-12x+5=0.∵Δ=-16＜0,∴方程f(x)无实数解.∴原方程在复数范围内无解.方法归纳注意此处空半格复数相等是解决复数问题常用的方法,这是一个将复数问题实数化的过程,转化后再用实数范围内的相关方法来解.。
2014年人教A版选修1-2课件3 .1 数系的扩充和复数的概念
3.1 数系的扩充和复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算 第三章 小结
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.2 复数的几何意义
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
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1. 什么是虚数? 它的结构形式是怎样的? 2. 什么是虚单位? 它有什么特点?
3. 什么是复数? 它的范围包括哪些数?
问题1. 方程 x2=2 和 x2= -2 在什么样的数系范围 内有解? 在什么样的数系范围内无解? 如果要使它 们都有解, 怎么办? x2=2 在有理数范围内无解, 将数系扩充到实数 范围内就有解: x = 2 . x2= -2 在有理数范围内无解, 将数系扩充到实数 范围还是无解. 要使 x2= -2 有解, 考虑把数系再扩充.
3. 如果 (x+y)+(y-1)i = (2x+3y)+(2y+1)i, 求实数 x, y 的值.
解: 两复数相等, 必须实部与实部相等, 且虚部 与虚部相等, 则得方程组 x + y = 2 x + 3 y, y - 1 = 2 y + 1. 解方程组得 x=4, y= -2.
即得两相等复数为 2-3i = 2-3i.
. 实数 m 取什么值时, 复数 z=m+1+(m-1)i 是 (1) 实数; (2) 虚数; (3) 纯虚数. 解: (1) 当 m-1=0 时, z 是实数, 即 m=1 时, z=2 是实数.
(2) 当 m-1≠0 时, z 是虚数,
即 m≠1 时, z=m+1+(m-1)i 是虚数. (3) 当 m+1=0 且 m-1≠0 时, z 是纯虚数, 即 m= -1 时, z= -2i 是纯虚数.
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人教A版高中数学目录必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2简单的线性规划问题3.4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1-2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明2．2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3．2复数代数形式的四则运算第四章框图4．1流程图4．2结构图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝第四讲平面解析几何的产生五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修3-2选修3-3第一讲从欧氏几何看球面第二讲球面上的距离和角第三讲球面上的基本图形第四讲球面三角形第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系第八讲欧氏几何与非欧几何选修3-4第一讲平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第三讲对称与群的故事选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修4-2第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法第三讲逆变换与逆矩阵第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量选修4-3选修4-4第一讲坐标系第二讲参数方程选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式第二讲证明不等式的基本方法第三讲柯西不等式与排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修4-7第一讲优选法第二讲试验设计初步选修4-8选修4-9第一讲风险与决策的基本概念第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介高中人教版（B）教材目录介绍必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算第二章函数2．1 函数2．2 一次函数和二次函数2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数3．3 幂函数3．4 函数的应用（Ⅱ）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1 平面真角坐标系中的基本公式 2．2 直线方程2．3 圆的方程2．4 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用必修四第一章基本初等函(Ⅱ)1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1 向量的线性运算2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法1．4 绝对值的三角不等式1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2 排序不等式2．3 平均值不等式(选学)2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1 数学归纳法原理3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。
数系的扩充和复数的概念【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件2
易错警示 在利用复数的有关概念解题时,需要注意一些隐含条件,如本题中a2-1 ≠0这一条件.
对复数扩充过程的理解
在对数字运算的研究过程中,意大利数学家卡当(1501—1576年)遇到一个让他 非常头痛的问题,即将10分成两部分,使两部分的乘积等于40,那么这两部分分别是 多少?
1.列出解决此问题的方程. 提示:设其中一个数是x,则x满足方程x(10-x)=40,即x2-10x+40=0.
所以m2-2提m+示(m2:+复m-数2)i=z-是1或实m2-数2m的+(m充2+要m-2条)i=4件i. 是
(2)当z为虚数时,m2-2m-15≠0,解得m≠5且m≠-3. m为何值时,复数z= +(m2+5m+6)i(m∈R,i为虚数单位)是实数?
分m为别何确值定时两即,个复复数数z=的 实+部(m与2虚+5部m;+6)i(m∈R,i为解虚数得单m位=)是-2虚,数?
提解示析:复(数1)解z当是z析虚∈数R时的,(充m12要)-若2条m件复-1是5=数0,解解z是得得mm实≠=-53数或且mm,则=≠--32.,
判断此方程在实数范围内解的情况. m为何值时,复数z= +(m2+5m+6)i(m∈R,i为虚数单位)是纯虚数?
提 由示0<：i⇒两0×个即i<虚i2数⇒0不<能-1比,这较与大0>小-1.矛盾;由0>所i⇒-i以×0>ai×=(6-i).⇒-i2<0⇒1<0,这与1>0矛盾.
2.判断此方程在实数范围内解的情况. 提示:由判别式Δ=(-10)2-4×40=-60<0知,此方程无实数解. 3.在复数范围内,如何解此方程?
人教版A版高中数学选修1-2：3.1.1 数系的扩充和复数的概念
引入新数 i
i能进行加、减、乘、除、乘方、开方运算
加法、乘法运算满足交换律、结合律、分配律
记为： z a bi (a , b R) i为虚数单位
复数的代数形式
z a b i (a , b R)
注意
复数的 实部
复数的 虚部
（1）复数代数形式中，a，b R；
其中i叫做 虚 数 单 位 (imaginary unit).全体复数 所成的集合C 叫做 复 数 集 (set of complex nu
mbers).
虚数单位i是瑞士数学家欧拉Euler 最早引用的
它取自imaginary(想象的,假想的)一词的词头.
在复数集C a bi | a,b R 中任取两个数a bi, c dia,b,c,d R ,我们规定 :
2.理解两复数相等的关系的充要条件.
b
R)
a
0
b 0
例1 实数m取什么值时，复数z m 1 (m 1)i
是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
变式训练
复数z m 2(1 i) m(2 3i) 4(2 i)
是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？ (其中m为实数)
例2 已知 x2 y 2 2xyi 2i
求实数 x , y 的值.
变式训练
1.已知(x y ) (y 1)i (2x 3y ) (2y 1)i 求实数 x , y 的值.
2. 若复数 z 满足 z(1 i) 2 ,求 z
3.已知（a i)4 R , 则实数a ___
课堂小结
1.复数的代数结构，熟悉有关名称.并搞清楚复数集 和实数集的关系.
2019人教版高中数学选修1-2课件：3.1.1 数系的扩充和复数的概念
则z2≥0;②2i-1的虚部是2i;③复数3-
4i的实部与复数4-3i的虚部相等;④
若a∈R,则(a+1)i是纯虚数.其中真
命题的个数为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
[答案] A
[解析] 对于①,当z∈R时,z2≥0成立,否则 不一定成立,如z=i,z2=-1<0,所以①为假 命题.对于②,2i-1=-1+2i,其虚部为2,不是 2i,所以②为假命题.对于③,复数3-4i的实 部为3,复数4-3i的虚部为-3,因此③为假 命题.对于④,当a=-1时,(a+1)i为实数,所 以④为假命题.因此四个命题都是假命题.
第三章
数系的扩充与复数的引 入
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
三维目标
1．知识与技能 (1)了解引进复数的必要性，了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因， 了解数集的扩充过程：自然数集(N)→整数集(Z)→有理数集(Q)→实数集(R)→复数 集(C)． (2)理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念以及符号表示， 例如：虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部等． (3)会用代数形式表示复数、掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系以及复数相等的充 要条件． 2．过程与方法 (1)在教学过程中，让学生在问题情境中了解数系扩充过程以及引入复数的必要性，
备课素材
3．正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系
分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一．根据上述原则，复数集的分类
如下：复数 a+bi(a, b R)
人教新课标A版高二数学《选修2-2》3.1.1 数系的扩充和复数的概念
③当x＝1，y＝i时
x2＋y2＝0成立，∴③是假命题．
④ 当a＝－1时，a∈R，但(a＋1)i＝0不是纯虚数．
【答案】0
方法规律总结：学习本章必须准确理解复数的
概念．
(1)复数的代数形式：
若z＝a＋bi，只有当a、b∈R时，a才是z的实部， b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复 数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
我们认识数的过程是先认识了自然数，又扩充到
整数集，再扩充到有理数(分数、有限小数和无
限循环小数)，再扩充无理数到实数集，但在实
数集中，我们已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)，当Δ＝b2－4ac<0时无实数解，我们能否 设想一种方法使得Δ<0时方程也有解呢？
新知导学 1．数系扩充的原因、脉络、原则 脉络：自然数系→整数系→有理数系→实数系 复数系 →________. 原因：数系的每一次扩充都与实际需求密切相关， 实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中起了主导 作用． 原则：数系扩充时，一般要遵循以下原则： (1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集； (2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有 依然 适用； 的一些主要性质(如运算定律)________
3．复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，
－1 其中i叫做虚数单位，满足i2＝________.
这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复
实部 与________ 虚部 ．全体复数构成的集合叫 数z的________ 复数集 ． 做________
知识点2：复数的相等与复数的分类 4．复数相等的充要条件 设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋ a＝c且b＝d di⇔______________. 5．复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是 a＝0且b＝0 _______________ ，a＝0是z为纯虚数的 必要不充分 条件． _____________
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例.说明下列复数的实部与虚部
1+ 3
1− 3i
1 2 i 7
− 2i
1 3 − − i 2 2
(1 − π )i
0
( 2 + 3i ) + i
i−1
4、两个复数相等 有两个复数z1=a+bi (a,b∊R)和z2=c+di(c,d∊R) a+bi =c+di a=c且b=d
1.若2-3i=a-3i,求实数 的值； 若 求实数a的值 求实数 的值； 2.若8+5i=8+bi,求实数 的值； 求实数b的值 若 求实数 的值； 3.若4+bi=a-2i，求实数 的值。 求实数a,b的值 的值。 若
虚数的引入
复 数 z = a + bi (a,b∈R) ∈ 复数的分类
为实数; 当b=0时z为实数 时 为实数 当b≠0时z为虚数 ≠ 时 为虚数
(此时 当a =0时z为纯虚数 此时,当 时 为纯虚数). 此时 为纯虚数
20:07
复数的相等
a+bi=c+di (a, b,c,d∈R) ∈ a=c b=d
2、设全集I={复数},R={实数},M={纯虚数},那 么( B ) A. R∪M=I B. R∩M＝{φ}
C. R U M = I
D. I I M = R
练习
a2 − 3a − 4 2 3. 复数z = + a − 5a − 6 i是纯虚数，则 a +7 ( B ) 实数a的值为
(
)
例1 实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是 （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？ 关键:m的取值 解: (1)当m-1=0，即 m=1时，复数z 是实数． (2)当m-1≠0，即m≠1时，复数z 是虚数． (3)当m+1=0，且m-1≠0，即m=-1时，复数z 是纯虚数．
课堂小结
3.若x，y为实数，且 x2 + y2 + x + yi = 2 + 4i 求x，y
x = −3 y = 4
(
)
4. (m2-m)+(m3-2m2-m+2)i是纯虚数，求m的值. m=0 5.m取什么实数值时,复数 z=(m2-2m-3)+(m2-4m+3)i 是实数，是虚数，是纯虚数？
练习 1、以2i-3的虚部为实部，3i+2i2的实部为虚部 的复数是( A ) A. 2-2i B.2+2i C. -3+3i D. 3+3i
R
C
纯虚数(a=0)
非纯虚数(a≠0)
复数集，实数集，虚数集，纯虚数集之间有 什么关系？ 复数集 虚数集 实数集 纯虚数集
有下列命题： （1）若a、b为实数，则 z=a+bi 为虚数 （2）若b为实数，则 z=bi 必为纯虚数 （3）若a为实数，则 z= a 一定不是虚数 其中真命题的个数为（ B ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3
1、若z1,z2均为实数,则z1,z2具有大小关系 注 意 2、若z1,z2中不都为实数，z1与z2只有相 等或不相等两关系，而不能比较大小
练习 1. 当m为何实数时，复数 z=m2+m-2+(m2-1)i 是 (1)实数 (2)虚数 （3)纯虚数 (4)0
2. 对上题练习中的虚数z，若实部是虚部的两倍， 求实数m的值。
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？ 复数集C和实数集R之间有什么关系？
复数z=a+bi (a,b∈R) 条件 数的类型 b=0 实数 a=b=0 实数0 b≠0 虚数 a=0且b≠0 纯虚数 实数 (b=0) 复数 z=a+bi (a,b∈R) 虚数(b≠0)
实数集R是复数 集C的真子集，
知识回顾
数 系 的 扩 充
自然数 x + 3 = 1, 则x = ?
整数
用图形表示数集包含关 系：
3 x = 5, 则x = ?
N R Q Z
有数
x = 2, 则 x = ?
2
实数
数系是怎样一步一步扩充的？ 数系是怎样一步一步扩充的？
知识引入
思考？ 思考？
数 系 的 扩 充
自然数 x + 3 = 1, 则x = ?
将实数a和数i相加记为: a+i； 把实数b与数i相乘记作: bi； 将它们的和记作: a+bi (a,b∈R),
动 动 手
下列这些数由数i 下列这些数由数i经过了哪些运算？
2 + i， 2i， + 3)i， 2 + 3i， (2 2 + 3, 3 2
a + bi
20:07
2、定义： 把形如 a+bi (a,b∈R)的数叫复数 i 叫做 虚数单位(imaginary unit) 复数全体所组成的集合叫复数集,用字母C表示 3、复数的代数形式： 用z表示复数, 即z = a + bi (a,b∈R) 叫做复数的 代数形式 实部 规定: 0i=0,0+bi=bi 虚部
(A)-1 (C)-1或4
(B)4 (D)-1或6
1 4 4.已知(5x-1)+i=y-(3-y)i, x, y∈R,则x=____,y=____.
练习 4、已知复数Z=(2m2-3m -2)+(m2 -2m)i(m∈R)是: (1)实数；（2）虚数；（3）纯虚数； 求m的值.
我们能否将实数集 进行扩充， 3 x = 5, 则x = ? 进行扩充，使得在新的 数集中， 数集中，该问题能得到 有理数 圆满解决呢？ 圆满解决呢？
整数
x 2 = 2, 则 x = ?
引入一个新数： 引入一个新数：
i
实数
x 2 + 1 = 0, 则x = ?
？
i = −1
2
现在我们就引入这样一个数 i ，并且规定： 并且规定： （1）i2=−1； ） =−1 进行四则运算， （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运 ） 算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结 算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、 合律和分配律)仍然成立。 合律和分配律)仍然成立。