第一节 反比例函数的图像和性质-学而思培优

第一节 反比例函数的图像和性质

一、课标导航

二、核心纲要 1.反比例函数

(1)定义：一般地，形如k x

k

y (=

为常数，)0=/k 的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数．

注：①自变量x 在分母上，指数为1． ②比例系数.0=/k

③自变量x 的取值为一切非零实数，函数值的取值范围是.0=/y ④反比例函数的其他形式：).0()0(1

=/==/=-k kx y k k xy 或 (2)图像：反比例函数的图像是双曲线，也称为双曲线).0(=/=k x

k

y (3)性质（如下表所示）

注：（1）y 随x 变化的情况必须指出“在每个象限内”或“在每一分支上”这一条件 (2) ).0(=/=

k k x

k

y 为常数，中自变量.0=/x 函数值.0=/y 所以双曲线不经过原点，两个分支逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.

2．待定系数法求反比例函数的解析 式只需图像上一个点的坐标即可求出k. 3.反比例函数的图像的对称性 (1)中心对称：对称中心是原点．

(2)轴对称：对称轴是直线x y =和直线.x y -=.

4.︱k ︱的几何意义(如下表所示)

5.数学思想

(1)数形结合；(2)分类讨论．

本节重点讲解：一个定义，一个性质，一个对称性，一个几何意义．

三、全能突破

基 础 演 练

1．如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的( )．

A.反比例函数 B ．正比例函数 C ．-次函数 D ．反比例或正比例函数

2．若反比例函数2

2)12(--=m x

m y 的图像在第二、四象限，则m 的值是( )．

A ．-1或1

B ．小于

2

1

的任意实数 C ．-1 D ．不能确定

3．如图26 -1-1所示，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比

例函数x

k k y 1

22++=的图像上．若点A 的坐标为（-2，-2），则k 的值为( )．

1.A 3.-B 4.C D ．1或-3

4．若函数|

|1

m x

m y -=为反比例函数，则m=

5．三个反比例函数321y y y 、、的图像的一部分如图26 -1-2所示，则321k k k 、、的大小关系为

6．反比例函数x

k y 2

-=

的图像一个分支经过第一象限，对于给出的下列说法： ①常数k 的取值范围是k>2;②另一个分支在第三象限；

③在函数图像上取点),(11b a A 和点),,(22b a B 当21a a >时，则;21b b <

④在函数图像的某一个分支上取点),(11b a A 和点),,(22b a B 当21a a >时，则;21b b < ⑤函数的图像是中心对称图形但不是轴对称图形； ⑥一元二次方程01)12(2

2

=-+--k x k x 无实数根， 其中正确的是 （在横线上填出正确的序号）

7．已知,21y y y +=而1y 与x+l 成反比例，2y 与2

x 成正比例，并且1=x 时，,20;2===y x y 时，求

y 与x 的函数关系式．

8．如图26 -1-3所示，定义：若双曲线)0(>=

k x

k

y 与它的其中一条对称轴x y =相交于A 、B 两点，则线段AB 的长度为双曲线)0(>=k x

k

y 的对径． (1)求双曲线x y 1

=

的对径． (2)若双曲线)0(>=k x

k

y 的对径是,210求k 的值．

(3)仿照上述定义，定义双曲线)0(<=k x

k

y 的对径．

能 力 提 升

9．已知二次函数C bx ax y ++=2

的图像如图26 -1-4所示，那么一次函数c bx y +=和反比例函数

x

a

y =

在同一平面直角坐标系中的图像大致是( )．

10.下列选项中，阴影部分面积最小的是( )．

11.根据图26-1-5(a)所示的程序，得到了y 与x 的函数图像如图26-1-5(b)，过点M 作x PQ //轴交图像于点P 、Q ，连接OP 、OQ.则以下结论：①x<0时，;2

x

y =

②△OPQ 的面积为定值；③x>0时，y 随x 的增大而增大；④;2PM MQ =POQ ∠⑤可以等于.90

其中正确的结论是( )．

A.①②④

B.②④⑤ C .③④⑤ D.②③⑤

12．(1)正比例函数)0(11=/=k x k y 和反比例函数)0(22=

/=k x k

y 的一个交点为(1，-2)，则另一个交点 为

(2)直线)0(>=a ax y 与双曲线x

y 3

=

交于),(),(2211y x B y x A 、两点，则=-122134y x y x

13.如图26 -1-6所示，在直角坐标系中，正方形的中心在原点0，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P (3a ，a)是反比例函数)0(>=

k x

k

y 的图像上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则 这个反比例函数的解析式为