中考必会几何模型:8字模型与飞镖模型

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解法二:
3
Wang
模型 2:角的飞镖模型
如图所示,有结论:∠D=∠A+∠B+∠C.
A A
A
ห้องสมุดไป่ตู้
12
D B
模型分析
B C
D 34
图①
1 CB 2
D 图②
3 4C
解法一:如图①,作射线 AD.
∵∠3 是△ABD 的外角,∴∠3=∠B+∠1,∵∠4 是△ACD 的外角,∴∠4=∠
C+∠2
∴∠BDC=∠3+∠4,∴∠BDC=∠B+∠1+∠2+∠C,∴∠BDC=∠BAC+∠
3.③
由①+②+③得:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2(∠1+∠2+∠3)=360
°.
解法二:利用角的 8 字模型.如图⑥,连接 DE.∵∠AOE 是△AOB 的外角,
∴∠A+∠B=∠AOE.∵∠AOE 是△OED 的外角,∴∠1+∠2=∠AOE.
∴∠A+∠B=∠1+∠2.(角的 8 字模型)
模型实例
如图,在四边形 ABCD 中,AM、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB,AM 与 CM 交
于 M,探究∠AMC 与∠B、∠D 间的数量关系.
4
Wang
A
A
1
D
D
B
M
3M B
4
2
C
C
解答:利用角的飞镖模型
如图所示,连接 DM 并延长.∵∠3 是△AMD 的外角,∴∠3=∠1+∠ADM,
∵∠4 是△CMD 的外角,∴∠4=∠2+∠CDM,∵∠AMC=∠3+∠4
10
1.如图,在△ABC 中,D、E 在 BC 边上,且 BD=CE。求证:AB+AC>AD+AE.
7
Wang
A
B
D
E
C
【答案】 证法一:如图①,将 AC 平移至 BF,AD 延长线与 BF 相交于点 G,连接 DF。 由平移可得 AC=BF ,∵AC∥BF ,∴∠ACE=∠BFD ,∵BD=CE ∴△AEC≌△FDB ,∴DF=AE 如图,延长 AD 交 BF 于点 G,∵AB+BF=AB+BG+GF. ∵AB+BG>AG, ∴AB+BF>AG+GF① ,∵AG+GF=AD+DG+GF, ∵DG+GF>DF, ∴AG+GF>AD+DF② ,由①②可得:AB+BF>AD+DF.(飞镖模型) ∴AB+AC=AB+BF>AD+DF=AD+AE. ∴AB+AC>AD+AE.
(3)图③将(2)中的点 P 变为两个点 P1 、 P2 ,请比较四边形 BP1P2C 的周长与△ABC
的周长的大小,并说明理由.
8
Wang
A
A
A
P
P1
P2
B
P
CB
CB
C
【答案】 (1)如图①,BP+PC<AB+AC. 理由:三角形两边之和大于第三边。(或两点之间线段最短) (2)△BPC 的周长小于△ABC 的周长。 证明:如图②,延长 BP 交 AC 于 M。在△ABM 中,BP+PM<AB+AM① 在△PMC 中,PC<PM+MC② ,由①+②得:BP+PC<AB+AC. ∴△BPC 的周长小于△ABC 的周长。
E
D
图②
A
B
O
F
123
P
Q
CF
D
E 图⑤
E
A
B
O C
1
2
D
图⑥
(2)解法一:
如图⑤,利用角的 8 字模型.∵∠AOP 是△AOB 的外角,∴∠A+∠B=
∠AOP.
∵∠AOP 是△OPQ 的外角,∴∠1+∠3=∠AOP.∴∠A+∠B=∠1+∠3.①(角
的 8 字模型),同理可证:∠C+∠D=∠1+∠2.② ,∠E+∠F=∠2+∠
2
°.
练习:
1.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
.
A
C E
115°
B
D
F
【答案】230°
提示:∠C+∠E+∠D=∠EOC=115º.(飞镖模型),∠A+∠B+∠F=∠BOF=115º.
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º
2.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D=
.
5
求证:(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD; (2) AB+BC+CD+AD <2AC+2BD.
A D
O
B
C
证明:(1)∵AB+BC>AC①, CD+AD>AC②, AB+AD>BD③, BC+CD> BD④
6
Wang
由①+②+③+④得: 2 (AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD). 即 AB+BC+CD+AD >AC+BD. (2) ∵AD<OA+OD① ,BC<OB+OC②, 由①+②得: AD+BC< OA+OD+OB+OC.
模型实例 如图,点 O 为三角形内部一点. 求证:(1) 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC; (2) AB+BC+AC>AO+BO+CO.
A
A
O
E
O
B
CB
C
证明:(1)∵OA+OB>AB①, OB+OC>BC②, OC+OA>AC③ 由①+②+③得: 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC
B+∠C
解法二:如图②,连接 BC.
∵∠2+∠4+∠D=180°,∴∠D=180°-(∠2+∠4)
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°,∴∠A+∠1+∠3=180°-(∠2+∠4)
∴∠D=∠A+∠1+∠3.
(1)因为这个图形像飞镖,所以我们往往把这个模型称为飞镖模型.
(2)飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用.
F
A
O
B
D
E
C
2.观察图形并探究下列各问题,写出你所观察得到的结论,并说明理由. (1)如图①,△ABC 中,P 为边 BC 一点,请比较 BP+PC 与 AB+AC 的大小,并说明 理由. (2)如图②,将(1)中的点 P 移至△ABC 内,请比较△BPC 的周长与△ABC 的周长 的大小,并说明理由.
∴∠AMC=∠1+∠ADM+∠CDM+∠2,∴∠AMC=∠1+∠2+∠ADC.(角
的飞镖模型)
∵AM、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB,∴ 1 BAD , 2 BCD ,
2
2
∴ AMC BAD BCD ADC ,∴ AMC 360 B ADC ADC (四边形
2
2
2
内角和 360°),∴ AMC 360 B ADC ,∴2∠AMC+∠B-∠ADC=360
如图所示,AC、BD 相交于点 O,连接 AD、BC.结论 AC+BD>AD+BC. A
D
O
B
C
模型分析 ∵OA+OD>AD①, OB+OC>BC②, 由①+②得: OA+OD+OB+OC>BC+AD 即:AC+BD>AD+BC.
模型实例 如图,四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O。
A
B
D
G
E
C
F
证法二:如图②,将 AC 平移至 DF,连接 BF ,则 AC=DF ,∵AC∥DF,∴∠ACE= ∠FDB. ∵BD=CE,∴△AEC≌△FBD. ∴BF=AE. ∵OA+OD>AD①, OB+OF>BF② 由①+②得:OA+OD+OB+OF>BF+AD. ∴AB+DF>BF+AD.(8 字模型) ∴AB+AC=AB+DF>BF+AD=AE+AD. ∴AB+AC>AD+AE.
A A
M
P1
P2
P1
M
P2 N
B
C
B
C
证法二:如图④,做直线 P1P2 分别交 AB、AC 于 M、N。在△BM P1 中, BP1 <BM+ MP1 ① 在△AMN 中, MP1 + P1P2 + P2 N <AM+AN② ,在△ P2 NC 中, P2C < P2 N +NC③
9
Wang
由①+②+③得:∴ BP1 + P1P2 + P2C <AB+AC.∴四边形 BP1P2C 的周长小于△ABC 的周 长.
∴AD+BC<AC+BD.(边的 8 字模型), 同理可证:AB+CD <AC+BD. ∴AB+BC+CD+AD< 2AC+2BD.
模型 4 边的飞镖模型
如图所示有结论:AB+AC> BD+CD.
A
A
D
DE
B
CB
C
模型分析 如图,延长 BD 交 AC 于点 E。 ∵AB+AC=AB+AE+EC,AB+AE>BE,∴AB+A C>BE+EC.① ,∵BE+EC=BD+DE+EC, DE+EC> CD,∴BE+EC>BD+CD. ② ,由①②可得:AB+AC>BD+CD.
解法二:如图④,利用三角形外角和定理.∵∠1 是△FCE 的外角,∴∠1=∠C +∠E. ∵∠2 是△GBD 的外角,∴∠2=∠B+∠D.
1
Wang
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠1+∠2=180°.
(2)如图②,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________.
A
A
B
E
B
C
F
C
D
图①


E
F
D
C G
H A B
解:∵∠G+∠D=∠3,∠F+∠C=∠4,∠E+∠H=∠2, ∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2, ∵∠B+∠2+∠1=180°,∠3+∠5+∠A=180°,∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°, ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°
Wang
8 字模型与飞镖模型
模型 1:角的 8 字模型 如图所示,AC、BD 相交于点 O,连接 AD、BC. ∠C.
结论:∠A+∠D=∠B+
A D
O
B
C
模型分析 证法一: ∵∠AOB 是△AOD 的外角,∴∠A+∠D=∠AOB.∵∠AOB 是△BOC 的外角, ∴∠B+∠C=∠AOB.∴∠A+∠D=∠B+∠C. 证法二:
∴∠A+∠B+∠C+∠ADC+∠FEB+∠F=∠1+∠2+∠C+∠ADC+∠FEB
+∠F
=360°.(四边形内角和为 360°)
练习:
1.(1)如图①,求:∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=

E A
A
E
B
O
B
O
C
D C
图①
D 图②
解:如图,∵∠1=∠B+∠D,∠2=∠C+∠CAD,
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°. 故答案为:180°
模型实例
观察下列图形,计算角度:
(1)如图①,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________;
A
A
A
B
E
E
B
B C
C
D
F E C 1 O 2 DD
图①
图图②③
A
F 12 G E B
C
D
图④
解法一:利用角的 8 字模型.如图③,连接 CD.∵∠BOC 是△BOE 的外角, ∴∠B+∠E=∠BOC.∵∠BOC 是△COD 的外角,∴∠1+∠2=∠BOC. ∴∠B+∠E=∠1+∠2.(角的 8 字模型),∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+ ∠E =∠A+∠ACE+∠ADB+∠1+∠2=∠A+∠ACD+∠ADC=180°.
∵∠A+∠D+∠AOD=180°,∴∠A+∠D=180°-∠AOD.∵∠B+∠C+∠BOC=180°, ∴∠B+∠C=180°-∠BOC.又∵∠AOD=∠BOC,∴∠A+∠D=∠B+∠C. (1)因为这个图形像数字 8,所以我们往往把这个模型称为 8 字模型. (2)8 字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到.
(2)如图,延长 BO 交 AC 于点 E, ∵AB+AC=AB+AE+EC, AB+AE>BE, ∴AB+AC>BE+EC. ① ∵BE+EC=BO+OE+EC, OE+EC>CO,∴BE+EC>BO+CO,② 由①②可得: AB+AC>BO+CO.③(边的飞镖模型) 同理可得: AB+BC>OA+OC.④ ,BC+AC>OA+OB.⑤ 由③+④+⑤得: 2 (AB+BC+AC)>2 (AO+BO+CO). 即 AB+BC+AC>AO+BO+CO.
解法二:
2
O 图①
Wang
(2)如图②,求:∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=

E
A
E
B
O
C
D
D
图②
解:由三角形的外角性质,知∠BAC=∠E+∠ACE,∠EAD=∠B+∠D, 又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°,∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E
=180° 解法二:
2.如图,求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H
Wang
D
105°
A
C
115°
BA
D
2
1 105°
C
115° 4 3
B
【答案】220° 提示:如图所示,连接 BD. ∠AED=∠A+∠3+∠1,∠BFC=∠2+∠4+∠C, ∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220º
模型 3 边的“8”字模型
A
M P
B
C
(3)四边形 BP1P2C 的周长小于△ABC 的周长。
证法一:如图③,分别延长 BP1 、 CP2 交于 M,由(2)知,BM+CM<AB+AC. 又∵ P1P2 < P1M P2M ,∴ BP1 + P1P2 + P2C <BM+CM<AB+AC.
∴四边形 BP1P2C 的周长小于△ABC 的周长.
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