第14章光的衍射
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① 在 =0处， =0， 则I=I0，光强最大，即中央亮纹； ②当 =±k, k=1,2,3…时，sin =0 则I=0，光强最小，为暗纹；此时
a sin k , k 1,2,3与半波带法所得结论一致
③其他各级亮纹的位置：
dI 令 0 得 a sin 1.43 , 2.46 , 3.47 d 与半波带法所得结论略有差异 12
A→P和B→P的光程差
a sin
6
a sin BC
A
平行于AC作一系列相距/2的平面, 这些平面把缝上的波振面就分割成许多 等宽的窄带——菲涅耳半波带。 相邻波带上对应点发出的平行光线会
a
• • • • • •
C
聚时的光程差都是/2，因而总是相干相消。 由此得出结论： 两个相邻波带所发出的光线会聚于屏 幕上时全部干涉相消。
射。在屏上x =1.4mm 处观察到明纹极大。求入射光波长及该 处衍射条纹的级次。
x 1.4 0.0035 解 : tan f 400
明纹：a sin ( 2k 1)
f
x
2a sin 2atan 4.2 10 3 mm 2k 1 2k 1 2k 1
a sin N
相位差为：
2 a sin N
9
2
根据惠更斯－菲涅耳原理，P点合振动的振幅等于这N个
振幅相等、相差依次为的光振动的叠加，如图所示。
A1 2 R sin
θ θ θ θ θ
2
θ
θ θ
N A 2 R sin 2 N N sin sin 2 A 2 A A1 1 sin / 2 /2 N sin 2 NA1 N / 2
3
* 衍射的分类
菲涅耳衍射 光源—障碍物Leabharlann Baidu接收屏
A
S
光源
E
距离为有限远。
夫琅和费衍射 光源—障碍物—接收屏 距离为无限远。 平行光衍射
B
障碍物
接收屏
A
S
光源
E
B
障碍物
接收屏
4
§14.2 单缝夫琅和费衍射
1.实验装置
单缝 透镜 L1 S 透镜 L2 观察屏 P
A a
AB = a 为缝宽
o
：衍射角
f
B f
屏幕中心为中央明纹，两侧对称分布着其他明暗条纹， 这是缝处波阵面上(连续的)无穷多子波发出的光的相干叠加的
结果。
5
2.菲涅耳半波带法
单缝 透镜 L1 A a f B 透镜 L2 观察屏 P
S
f
o
0， 0 —— 中央明纹(中心)
P点(衍射角 ), 该束光线的最大光程差为:
f (a+b)sin
(N为光栅的总缝数)
光强:
I P N 2 Ai2 N 2 I i
26
(2)暗纹条件： 如果N束衍射光在P点的光振动的振幅首尾连接成一闭合多边 形，则P点的光振动的合振幅为零。即
NΦ m 2 m 1,2,„ kN 2 由 Φ d sin 得：
B
如果单缝被分成偶数个半波带，屏幕上对应点P出现暗纹; 如果单缝被分成奇数个半波带，于是屏幕上对应点P出现亮纹.
7
综上所述，单缝衍射明暗纹的中心位置是:
a sin 2k 暗纹 (k=1,2,3,…) 2 a sin ( 2k 1) 亮纹 (k=1,2,3,…) 2 0 零级(中央)亮纹
可以将雷达天线看成是 发出衍射波的单缝，考 虑到雷达距离公路较远, 故可按夫琅禾费衍射作 近似计算。
18
例4 设有一单色光斜射到宽度为a的单缝上，求单缝衍射明暗纹
的中心位置。
解：光线1与2的光程差为： BD+CB = asin +asin
(规定：衍射光在缝法线上侧， 取 “+”，下侧取“-”) 各级明、暗纹的中心位置：
几何光学是波动光学在a>> 时的极限情况。 (4)波长对条纹宽度的影响 当a一定时条纹在屏幕上的位置与波长成正比，如果用白光做
光源，中央为白色明条纹，其两侧各级都为彩色条纹。该衍射
图样称为衍射光谱。
k 3 k 2 k 1
15
例1 波长为的单色光垂直入射到一狭缝上，若第一级暗纹
对应的衍射角为30°，求狭缝的缝宽及对应此衍射角狭缝的
27
2. 单缝衍射
单缝衍射光强
Ii
k= -2
多缝干涉光强
-1
0
1
2 (asin/
(a)
亮纹 (主极大)
k= -8
光栅衍射 光强曲线 -4 0 I N2I0单 单缝衍射 轮廓线 0 4 4
缝数愈多， 亮纹愈细。
8 (dsin/
(b)
I N 2 Ii
k= -8
-4
(/ /d) 8 (dsin
E
PP
有干涉，光栅衍射图样是是单
缝衍射和多缝干涉的总效果。 可以证明： o d=(a+b)
屏上合成光强 =缝间干涉光强
×单缝衍射光强 1. 多光束干涉 光束到达P点的光程差：
f (a+b)sin
设衍射角为的光束经透镜会聚在屏上的P点，任意相邻两
d sin (a b) sin
k=1 k=3 k=4
2
1=14000Å 3=6000Å 4=4667Å
k=2 橙色 青色
2=8400Å
第 3 级 7个半波带 第 4 级 9个半波带
17
即在x=1.4mm处两种波长光的亮纹重叠
例3已知一雷达位于路边 d=15m处，射束与公路成 15° ，天线
宽度a= 0.20m，射束波长=30mm。求：该雷达监视范围内公
波阵面可分为几个半波带。 解: 由单缝的暗纹条件：
a sin 2k
2
k
k=1, =30°, 算得：a =2 。
(半)波带数= 2k =2 。 若不知某处是明纹还是暗纹，则计算波带数的方法是：
a sin (半)波带数 /2
16
例2 单缝衍射，a=0.6mm 透镜焦距 f=40cm , 可见光垂直入
C
1 A
D B
2
= -
零级亮纹
a(sin +sin) =
2k
2
k 暗纹 （k=1,2,……）
(2k 1)
2
亮纹
19
*14.3 圆孔衍射 光学仪器的分辨本领
一.小圆孔的夫琅和费衍射
相对光 强曲线 I
圆孔直径D
爱里斑的半角宽度：
爱里斑
1.22 D
P
波带数
S
A
o
注意： 1.k与波带数 的关系 2.明暗… 3.k≠0
8
*
a
B C
a sin BC
f
直线条纹
3.振幅矢量叠加法(定量) 将a划分为N个等宽 (
在P点引起的光振动的振幅近似相等，即
a ) 的狭窄波带，设每个波带发出的子波 N
A1 A2 AN
相邻两波带发出的子波到达 P点的光程差：
25
光程差：
相位差:
d sin (a b) sin
2
Φ
E a b
P
(1)明纹(主极大)条件：
根据干涉理论，当
d sin k
o
(k = 0,1,2,…) d=(a+b)
此时缝间干涉加强，对应主极大 亮纹。上式称为光栅方程。 Ai 振幅矢量图: NAi P点合振动的振幅: AP NAi
a
a
2 f 中央亮纹的线宽度： x0 2 f tan 1 a
其它各级明条纹的宽度为中央明条纹宽度的一半。
14
(3)缝宽对条纹的影响 ——衍射反比定律
1 x x 0 f 2 a a 当 ，
a 0
缝宽a越小，衍射现象越明显。
各级条纹全部并入中央条纹，形成单一的明条纹, 这是光直线传播的结果，即衍射现象消失。
观察到单个原子的运动图像。
22
例题
通常亮度下, 人眼瞳孔的直径D=3mm，同学们最多坐
多远，才不会把黑板上写的相距1cm的等号“=”号看成是减
号“”？ 解 只需“=”号对人眼所张的角最小分辩角就行。
L 1.22 d D
取=5500Å，有
等号 L d
人眼
L 4 1.22 2.2 10 rad 1 d D
分辨率为
1.22 D
透镜L S1 S2 透镜直径D
1 D R 1.22
对望远镜，不变，尽量增大透镜孔径D，以提高分辨率。
90年哈勃太空望远镜直径达2.4米。
对显微镜主要通过减小波长来提高分辨率。荣获1986年诺 贝尔物理学奖的扫描隧道显微镜最小分辨距离已达0.01Å，能
由上式算得：d =45.5m。
(人眼的最小分辩角)
23
§14.4 光栅衍射
一. 光栅
大量等宽等间距的平行狭缝(或反射面)构成的光学元件。 种类：
透射光栅 d 反射光栅 d
d=a+b 光栅常数
a是透光(或反光)部分的宽度
b 是不透光(或不反光)部分的宽度
24
二. 平面透射光栅的衍射
设平行光线垂直入射。 每条狭缝有衍射，缝间光线还 a b
10
N sin 2 合振幅： A NA1 N / 2 N a sin 2 令
A0 NA1
则
A A0
sin
——P点合振动的振幅
I I0 (
sin
)
2
式中I 0 ( NA1 )2
11
I I0 (
sin
)
2
N a sin 2
2
二. 惠更斯－菲涅耳原理
波振面上任何一点都是发射子波的波源，各子波在空间某 点相干叠加，就决定了该点波的强度。 P点的振幅
K( ): 方向因子 P点的振动为
K ( ) dE ( P ) dS r
dS
Q S(波前) 设初相为零
·
n r
dE(P)
· P
k 2r dE ( P ) C cos(t )dS r k 2 r 合振动： E ( P ) dE ( P ) C cos(t )dS r S S
路长L =?
L
d a
解：将雷达波束看成是
单缝衍射的中央亮纹。
θ1
1
15
β
30 mm 由：sin 1 0 .15 a 0 .20 m
1 8.63°
如图：
15° 1 23.63° 15° 1 6.37° L d (cot cot ) 99m
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第 4篇 波 动 光 学
第十四章 光的衍射
§14.1
光的衍射现象 惠更斯－菲涅耳原理
一. 光的衍射现象
光在传播过程中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边缘偏离
直线传播，并且光强重新分布的现象称为衍射现象。
A
S
E
B
E a
几何 阴影区
s
缝宽 a与相比拟
几何 阴影区
A4 A5 A3 A2
m d sin N
A6
AP 0 A1
( m 1,2, N 1, N 1, N 2,,2 N 1,2 N 1,)
这时N束衍射光在P点干涉相消，P点为暗纹。 相邻主极大间有N－1个暗纹 和N－2个次极大。当N 很大时， 在主极大明条纹之间实际上形成一片相当暗的背底。
20
二.光学成像仪器的分辨本领
几何光学：一个点通过透镜成像于一点。 衍射观点：一个点通过透镜形成衍射图样。
1.0 0.8
. .
不能分辨
.
.
恰能分辨
瑞利判据: 若一个点光源的衍射图样的中央最大处恰好
与另一点光源衍射图样的第一极小处相重合,则这两个点光源 恰能被分辨。
21
光学仪器的最小分辨角 — 恰能分辨时两光点对透镜中心 所张的角(即为爱里斑的半角宽度):
13
(2)中央亮纹宽度：两个第一级暗纹间的距离称为中央亮纹的
宽度
x0 2 x1 2 f tan 1
1 是 第 一 级 暗 纹 中 心
对应的角位置也称为 中央亮纹半角宽度：
衍射屏 透镜
λ
观测屏 x2 x1 Δx Δ x0
1 1
00
f
I
1 arc sin
(c)
28
(1)各主极大亮纹的强度受到单缝衍射的调制。
(2)主极大亮纹出现缺级现象
I N2I0 单 光栅衍射 光强曲线 单缝衍射 轮廓线
图15-10 (c)
(dsin (/ /d) 8
k= -8
-4
0
4.条纹特点:
(1)光强分布
1.0 相对光强曲线
0.017 0.047
0.047
0.017
2 a
a
o
a
2 a
sin
图15-6
中央明纹又亮又宽 ( 约为其它明纹宽度的 2 倍 ) 。中央两旁， 明纹的亮度随着级次的增大迅速减小。这是由于k越大，分成 的波带数越多, 而未被抵消的波带面积越小的缘故。
a sin k , k 1,2,3与半波带法所得结论一致
③其他各级亮纹的位置：
dI 令 0 得 a sin 1.43 , 2.46 , 3.47 d 与半波带法所得结论略有差异 12
A→P和B→P的光程差
a sin
6
a sin BC
A
平行于AC作一系列相距/2的平面, 这些平面把缝上的波振面就分割成许多 等宽的窄带——菲涅耳半波带。 相邻波带上对应点发出的平行光线会
a
• • • • • •
C
聚时的光程差都是/2，因而总是相干相消。 由此得出结论： 两个相邻波带所发出的光线会聚于屏 幕上时全部干涉相消。
射。在屏上x =1.4mm 处观察到明纹极大。求入射光波长及该 处衍射条纹的级次。
x 1.4 0.0035 解 : tan f 400
明纹：a sin ( 2k 1)
f
x
2a sin 2atan 4.2 10 3 mm 2k 1 2k 1 2k 1
a sin N
相位差为：
2 a sin N
9
2
根据惠更斯－菲涅耳原理，P点合振动的振幅等于这N个
振幅相等、相差依次为的光振动的叠加，如图所示。
A1 2 R sin
θ θ θ θ θ
2
θ
θ θ
N A 2 R sin 2 N N sin sin 2 A 2 A A1 1 sin / 2 /2 N sin 2 NA1 N / 2
3
* 衍射的分类
菲涅耳衍射 光源—障碍物Leabharlann Baidu接收屏
A
S
光源
E
距离为有限远。
夫琅和费衍射 光源—障碍物—接收屏 距离为无限远。 平行光衍射
B
障碍物
接收屏
A
S
光源
E
B
障碍物
接收屏
4
§14.2 单缝夫琅和费衍射
1.实验装置
单缝 透镜 L1 S 透镜 L2 观察屏 P
A a
AB = a 为缝宽
o
：衍射角
f
B f
屏幕中心为中央明纹，两侧对称分布着其他明暗条纹， 这是缝处波阵面上(连续的)无穷多子波发出的光的相干叠加的
结果。
5
2.菲涅耳半波带法
单缝 透镜 L1 A a f B 透镜 L2 观察屏 P
S
f
o
0， 0 —— 中央明纹(中心)
P点(衍射角 ), 该束光线的最大光程差为:
f (a+b)sin
(N为光栅的总缝数)
光强:
I P N 2 Ai2 N 2 I i
26
(2)暗纹条件： 如果N束衍射光在P点的光振动的振幅首尾连接成一闭合多边 形，则P点的光振动的合振幅为零。即
NΦ m 2 m 1,2,„ kN 2 由 Φ d sin 得：
B
如果单缝被分成偶数个半波带，屏幕上对应点P出现暗纹; 如果单缝被分成奇数个半波带，于是屏幕上对应点P出现亮纹.
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综上所述，单缝衍射明暗纹的中心位置是:
a sin 2k 暗纹 (k=1,2,3,…) 2 a sin ( 2k 1) 亮纹 (k=1,2,3,…) 2 0 零级(中央)亮纹
可以将雷达天线看成是 发出衍射波的单缝，考 虑到雷达距离公路较远, 故可按夫琅禾费衍射作 近似计算。
18
例4 设有一单色光斜射到宽度为a的单缝上，求单缝衍射明暗纹
的中心位置。
解：光线1与2的光程差为： BD+CB = asin +asin
(规定：衍射光在缝法线上侧， 取 “+”，下侧取“-”) 各级明、暗纹的中心位置：
几何光学是波动光学在a>> 时的极限情况。 (4)波长对条纹宽度的影响 当a一定时条纹在屏幕上的位置与波长成正比，如果用白光做
光源，中央为白色明条纹，其两侧各级都为彩色条纹。该衍射
图样称为衍射光谱。
k 3 k 2 k 1
15
例1 波长为的单色光垂直入射到一狭缝上，若第一级暗纹
对应的衍射角为30°，求狭缝的缝宽及对应此衍射角狭缝的
27
2. 单缝衍射
单缝衍射光强
Ii
k= -2
多缝干涉光强
-1
0
1
2 (asin/
(a)
亮纹 (主极大)
k= -8
光栅衍射 光强曲线 -4 0 I N2I0单 单缝衍射 轮廓线 0 4 4
缝数愈多， 亮纹愈细。
8 (dsin/
(b)
I N 2 Ii
k= -8
-4
(/ /d) 8 (dsin
E
PP
有干涉，光栅衍射图样是是单
缝衍射和多缝干涉的总效果。 可以证明： o d=(a+b)
屏上合成光强 =缝间干涉光强
×单缝衍射光强 1. 多光束干涉 光束到达P点的光程差：
f (a+b)sin
设衍射角为的光束经透镜会聚在屏上的P点，任意相邻两
d sin (a b) sin
k=1 k=3 k=4
2
1=14000Å 3=6000Å 4=4667Å
k=2 橙色 青色
2=8400Å
第 3 级 7个半波带 第 4 级 9个半波带
17
即在x=1.4mm处两种波长光的亮纹重叠
例3已知一雷达位于路边 d=15m处，射束与公路成 15° ，天线
宽度a= 0.20m，射束波长=30mm。求：该雷达监视范围内公
波阵面可分为几个半波带。 解: 由单缝的暗纹条件：
a sin 2k
2
k
k=1, =30°, 算得：a =2 。
(半)波带数= 2k =2 。 若不知某处是明纹还是暗纹，则计算波带数的方法是：
a sin (半)波带数 /2
16
例2 单缝衍射，a=0.6mm 透镜焦距 f=40cm , 可见光垂直入
C
1 A
D B
2
= -
零级亮纹
a(sin +sin) =
2k
2
k 暗纹 （k=1,2,……）
(2k 1)
2
亮纹
19
*14.3 圆孔衍射 光学仪器的分辨本领
一.小圆孔的夫琅和费衍射
相对光 强曲线 I
圆孔直径D
爱里斑的半角宽度：
爱里斑
1.22 D
P
波带数
S
A
o
注意： 1.k与波带数 的关系 2.明暗… 3.k≠0
8
*
a
B C
a sin BC
f
直线条纹
3.振幅矢量叠加法(定量) 将a划分为N个等宽 (
在P点引起的光振动的振幅近似相等，即
a ) 的狭窄波带，设每个波带发出的子波 N
A1 A2 AN
相邻两波带发出的子波到达 P点的光程差：
25
光程差：
相位差:
d sin (a b) sin
2
Φ
E a b
P
(1)明纹(主极大)条件：
根据干涉理论，当
d sin k
o
(k = 0,1,2,…) d=(a+b)
此时缝间干涉加强，对应主极大 亮纹。上式称为光栅方程。 Ai 振幅矢量图: NAi P点合振动的振幅: AP NAi
a
a
2 f 中央亮纹的线宽度： x0 2 f tan 1 a
其它各级明条纹的宽度为中央明条纹宽度的一半。
14
(3)缝宽对条纹的影响 ——衍射反比定律
1 x x 0 f 2 a a 当 ，
a 0
缝宽a越小，衍射现象越明显。
各级条纹全部并入中央条纹，形成单一的明条纹, 这是光直线传播的结果，即衍射现象消失。
观察到单个原子的运动图像。
22
例题
通常亮度下, 人眼瞳孔的直径D=3mm，同学们最多坐
多远，才不会把黑板上写的相距1cm的等号“=”号看成是减
号“”？ 解 只需“=”号对人眼所张的角最小分辩角就行。
L 1.22 d D
取=5500Å，有
等号 L d
人眼
L 4 1.22 2.2 10 rad 1 d D
分辨率为
1.22 D
透镜L S1 S2 透镜直径D
1 D R 1.22
对望远镜，不变，尽量增大透镜孔径D，以提高分辨率。
90年哈勃太空望远镜直径达2.4米。
对显微镜主要通过减小波长来提高分辨率。荣获1986年诺 贝尔物理学奖的扫描隧道显微镜最小分辨距离已达0.01Å，能
由上式算得：d =45.5m。
(人眼的最小分辩角)
23
§14.4 光栅衍射
一. 光栅
大量等宽等间距的平行狭缝(或反射面)构成的光学元件。 种类：
透射光栅 d 反射光栅 d
d=a+b 光栅常数
a是透光(或反光)部分的宽度
b 是不透光(或不反光)部分的宽度
24
二. 平面透射光栅的衍射
设平行光线垂直入射。 每条狭缝有衍射，缝间光线还 a b
10
N sin 2 合振幅： A NA1 N / 2 N a sin 2 令
A0 NA1
则
A A0
sin
——P点合振动的振幅
I I0 (
sin
)
2
式中I 0 ( NA1 )2
11
I I0 (
sin
)
2
N a sin 2
2
二. 惠更斯－菲涅耳原理
波振面上任何一点都是发射子波的波源，各子波在空间某 点相干叠加，就决定了该点波的强度。 P点的振幅
K( ): 方向因子 P点的振动为
K ( ) dE ( P ) dS r
dS
Q S(波前) 设初相为零
·
n r
dE(P)
· P
k 2r dE ( P ) C cos(t )dS r k 2 r 合振动： E ( P ) dE ( P ) C cos(t )dS r S S
路长L =?
L
d a
解：将雷达波束看成是
单缝衍射的中央亮纹。
θ1
1
15
β
30 mm 由：sin 1 0 .15 a 0 .20 m
1 8.63°
如图：
15° 1 23.63° 15° 1 6.37° L d (cot cot ) 99m
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第 4篇 波 动 光 学
第十四章 光的衍射
§14.1
光的衍射现象 惠更斯－菲涅耳原理
一. 光的衍射现象
光在传播过程中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边缘偏离
直线传播，并且光强重新分布的现象称为衍射现象。
A
S
E
B
E a
几何 阴影区
s
缝宽 a与相比拟
几何 阴影区
A4 A5 A3 A2
m d sin N
A6
AP 0 A1
( m 1,2, N 1, N 1, N 2,,2 N 1,2 N 1,)
这时N束衍射光在P点干涉相消，P点为暗纹。 相邻主极大间有N－1个暗纹 和N－2个次极大。当N 很大时， 在主极大明条纹之间实际上形成一片相当暗的背底。
20
二.光学成像仪器的分辨本领
几何光学：一个点通过透镜成像于一点。 衍射观点：一个点通过透镜形成衍射图样。
1.0 0.8
. .
不能分辨
.
.
恰能分辨
瑞利判据: 若一个点光源的衍射图样的中央最大处恰好
与另一点光源衍射图样的第一极小处相重合,则这两个点光源 恰能被分辨。
21
光学仪器的最小分辨角 — 恰能分辨时两光点对透镜中心 所张的角(即为爱里斑的半角宽度):
13
(2)中央亮纹宽度：两个第一级暗纹间的距离称为中央亮纹的
宽度
x0 2 x1 2 f tan 1
1 是 第 一 级 暗 纹 中 心
对应的角位置也称为 中央亮纹半角宽度：
衍射屏 透镜
λ
观测屏 x2 x1 Δx Δ x0
1 1
00
f
I
1 arc sin
(c)
28
(1)各主极大亮纹的强度受到单缝衍射的调制。
(2)主极大亮纹出现缺级现象
I N2I0 单 光栅衍射 光强曲线 单缝衍射 轮廓线
图15-10 (c)
(dsin (/ /d) 8
k= -8
-4
0
4.条纹特点:
(1)光强分布
1.0 相对光强曲线
0.017 0.047
0.047
0.017
2 a
a
o
a
2 a
sin
图15-6
中央明纹又亮又宽 ( 约为其它明纹宽度的 2 倍 ) 。中央两旁， 明纹的亮度随着级次的增大迅速减小。这是由于k越大，分成 的波带数越多, 而未被抵消的波带面积越小的缘故。