历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书

及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分，共20分）

1．计算=--++⎰⎰y x y

x x y

y x D

d d 1)

1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.

解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11

10

det d d =⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-=， v u u v u u u y x y x x y

y x D D d d 1ln ln d d 1)

1ln()(⎰⎰⎰⎰--=

--++

⎰⎰⎰⎰----=---=10

2

1

00

0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (

u u

u u u u u u u u v v u

u

v u u u u u ⎰

-=1

2

d 1u u

u （*） 令u t -=1，则2

1t u -=

dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，

⎰+--=0

1

42d )21(2(*)t

t t

⎰

+-=10

42d )21(2t t t 1516513

2

21

053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t

2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰

--

=20

22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.

解: 令⎰

=

20

d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，

A A x A x A 24)2(28d )23(20

2-=+-=--=

⎰

,

解得34=

A 。因此3

103)(2

-=x x f 。 3．曲面22

22

-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面22

22

-+=y x z 在

)

,(00y x 处的法向量为

)

1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故

)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知

0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，

即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在

)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面

22

22-+=y x z 平行平面

022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则

=2

2d d x

y

________________. 解: 方程29ln )

(y y f e xe

=的两边对x 求导，得

29ln )()()(y e e y y f x e y y f y f '=''+

因)

(29ln y f y

xe

e =，故

y y y f x

'=''+)(1

，即))(1(1y f x y '-=

'，因此 2

222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-'

''+'--=''=

3

22

23

2)](1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''= 二、（5分）求极限x

e

nx x x x n

e e e )(

lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 解 :因

x

e

nx x x x x e nx x x x n

n e e e n e e e )1(lim )(lim 2020-++++=+++→→ 故

nx

n e e e e x

e n n e e e A nx

x x x nx x x x -+++=-+++=→→ 2020lim lim

e n n n e n ne e e e nx x x x 2

1

212lim 20+=+++=+++=→

因此

e n A x

e

nx x x x e e n

e e e 2

1

20)(lim +→==+++

三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰

=10

d )()(t xt f x g ，且A x

x f x =→)

(lim

，A 为常数，

求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.