不等式 恒成立问题
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3.设 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。
解：设 ，则当 时， 恒成立
当 时， 显然成立；
当 时，如图， 恒成立的充要条件为：
解得 。
综上可得实数 的取值范围为 。
4：在 ABC中，已知 恒成立，求实数m的范围。
解析：由
， ， 恒成立， ，即 恒成立，
5、若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的取值范围。
变式：已知函数 ，若在区间 上， 的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围
由题意得，对于 恒成立 对于 恒成立,令 ,设 ,则 ，
, , k的取值范围是k> .
解：令 ， 所以原不等式可化为： ，
要使上式在 上恒成立，只须求出 在 上的最小值即可。
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量实行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例4．对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。
解析本题能够化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意 .若 恒成立
或 或 ，即a的取值范围为 .
8、已知函数 ，若在区间 上， 的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围.
解析本题等价于一个不等式恒成立问题,即对于 恒成立,式子中有两个变量,能够通过变量分离化归为求函数的最值问题.对于 恒成立 对于 恒成立,令 ,设 ,则 ,即x=1时 , k的取值范围是k>2.
课后作业：
1.已知函数 的定义域为R，求实数 的取值范围。
解：由题设可将问题转化为不等式 对 恒成立，即有 解得 。
所以实数 的取值范围为 。
若不等式 对任意 R恒成立，则 的取值范围是．
【分析】先确定 的取值范围，则只要 不大于 的最小值即可．
【解】当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
综上可得 ，所以只要 ，
（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；
（2） 时，只需 ，所以，
二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
1） 恒成立
2） 恒成立
例2、若 时，不等式 恒成立，求 的取值范围。
解：设 ，则问题转化为当 时， 的最小值非负。
（1）当 即： 时， 又 所以 不存有；
分析：题中的不等式是关于 的一元二次不等式，但若把 看成主元，则问题可转化为一次不等式 在 上恒成立的问题。
解：令 ，则原问题转化为 恒成立（ ）。
当 时，可得 ，不合题意。
当 时，应有 解之得 。
故 的取值范围为 。
注：一般地，一次函数 在 上恒有 的充要条件为 。
五、数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：
1） 函数 图象恒在函数 图象上方；
2） 函数 图象恒在函数 图象下上方。
例5：已知 ，求实数a的取值范围。
解析：由 ，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由 得到a分别等于2和0.5，并作出函数 的图象，所以，要想使函数 在区间 中恒成立，只须 在区间 对应的图象在 在区间 对应图象的上面即可。当 才能保证，而 才能够，所以 。
（2）当 即： 时， 又
（3）当 即： 时， 又
综上所得：
三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：
1） 恒成立
2） 恒成立
例3．已知 时，不等式 恒成立，求 的取值范围。
解：设 ，对满足 的 ， 恒成立，
解得：
6、若不等式 在 内恒成立，求实数 的取值范围。
解：由题意知： 在 内恒成立，
在同一坐标系内，分别作出函数 和
观察两函数图象，当 时，若 函数 的图象显然在函数 图象的下方，所以不成立；
当 时，由图可知， 的图象必须过点 或在这个点的上方，则，
综上得：
7、已知 ，若 恒成立，求a的取值范围.
不等式中恒成立问题的解法
一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ,有
1） 对 恒成立 ;
2） 对 恒成立
例1：若不等式 的解集是R，求m的范围。
解析：要想应用上面的结论，பைடு நூலகம்得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。
由此能够看出，对于参数不能单独放在一侧的，能够利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。
综合练习;
例6已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若 ，若 对于所有的 恒成立，求实数t的取值范围.
解析本题不等式中有三个变量，所以能够通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=1,则 对于所有的 恒成立 对于所有的 恒成立，即 对于所有的 恒成立，令 ，只要 ， ．
即实数 的取值范围是 ．
【答案】
2.．函数 ，若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围。
解：若对任意 ， 恒成立，
即对 ， 恒成立，
考虑到不等式的分母 ，只需 在 时恒成立而得
而抛物线 在 的最小值 得
注：本题还可将 变形为 ，讨论其单调性从而求出 最小值。
若二次不等式中 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。
解：设 ，则当 时， 恒成立
当 时， 显然成立；
当 时，如图， 恒成立的充要条件为：
解得 。
综上可得实数 的取值范围为 。
4：在 ABC中，已知 恒成立，求实数m的范围。
解析：由
， ， 恒成立， ，即 恒成立，
5、若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的取值范围。
变式：已知函数 ，若在区间 上， 的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围
由题意得，对于 恒成立 对于 恒成立,令 ,设 ,则 ，
, , k的取值范围是k> .
解：令 ， 所以原不等式可化为： ，
要使上式在 上恒成立，只须求出 在 上的最小值即可。
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量实行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例4．对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。
解析本题能够化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意 .若 恒成立
或 或 ，即a的取值范围为 .
8、已知函数 ，若在区间 上， 的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围.
解析本题等价于一个不等式恒成立问题,即对于 恒成立,式子中有两个变量,能够通过变量分离化归为求函数的最值问题.对于 恒成立 对于 恒成立,令 ,设 ,则 ,即x=1时 , k的取值范围是k>2.
课后作业：
1.已知函数 的定义域为R，求实数 的取值范围。
解：由题设可将问题转化为不等式 对 恒成立，即有 解得 。
所以实数 的取值范围为 。
若不等式 对任意 R恒成立，则 的取值范围是．
【分析】先确定 的取值范围，则只要 不大于 的最小值即可．
【解】当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
综上可得 ，所以只要 ，
（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；
（2） 时，只需 ，所以，
二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
1） 恒成立
2） 恒成立
例2、若 时，不等式 恒成立，求 的取值范围。
解：设 ，则问题转化为当 时， 的最小值非负。
（1）当 即： 时， 又 所以 不存有；
分析：题中的不等式是关于 的一元二次不等式，但若把 看成主元，则问题可转化为一次不等式 在 上恒成立的问题。
解：令 ，则原问题转化为 恒成立（ ）。
当 时，可得 ，不合题意。
当 时，应有 解之得 。
故 的取值范围为 。
注：一般地，一次函数 在 上恒有 的充要条件为 。
五、数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：
1） 函数 图象恒在函数 图象上方；
2） 函数 图象恒在函数 图象下上方。
例5：已知 ，求实数a的取值范围。
解析：由 ，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由 得到a分别等于2和0.5，并作出函数 的图象，所以，要想使函数 在区间 中恒成立，只须 在区间 对应的图象在 在区间 对应图象的上面即可。当 才能保证，而 才能够，所以 。
（2）当 即： 时， 又
（3）当 即： 时， 又
综上所得：
三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：
1） 恒成立
2） 恒成立
例3．已知 时，不等式 恒成立，求 的取值范围。
解：设 ，对满足 的 ， 恒成立，
解得：
6、若不等式 在 内恒成立，求实数 的取值范围。
解：由题意知： 在 内恒成立，
在同一坐标系内，分别作出函数 和
观察两函数图象，当 时，若 函数 的图象显然在函数 图象的下方，所以不成立；
当 时，由图可知， 的图象必须过点 或在这个点的上方，则，
综上得：
7、已知 ，若 恒成立，求a的取值范围.
不等式中恒成立问题的解法
一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ,有
1） 对 恒成立 ;
2） 对 恒成立
例1：若不等式 的解集是R，求m的范围。
解析：要想应用上面的结论，பைடு நூலகம்得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。
由此能够看出，对于参数不能单独放在一侧的，能够利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。
综合练习;
例6已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若 ，若 对于所有的 恒成立，求实数t的取值范围.
解析本题不等式中有三个变量，所以能够通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=1,则 对于所有的 恒成立 对于所有的 恒成立，即 对于所有的 恒成立，令 ，只要 ， ．
即实数 的取值范围是 ．
【答案】
2.．函数 ，若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围。
解：若对任意 ， 恒成立，
即对 ， 恒成立，
考虑到不等式的分母 ，只需 在 时恒成立而得
而抛物线 在 的最小值 得
注：本题还可将 变形为 ，讨论其单调性从而求出 最小值。
若二次不等式中 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。