一元二次不等式恒成立问题PPT课件
一元二次不等式PPT优秀课件
本节主要内容：一元二次不等式的解法， 一元二次不等式与相应的二次函数的图象、 方程之间的联系.要求能熟练、准确、迅速 地解一元二次不等式，会用分类讨论的方 法求解含参数的一元二次不等式，能够判 断一元二次不等式恒成立的条件.注意等价 转化的思想、函数与方程的思想、数形结 合的思想以及分类讨论的思想在解决问题 中的应用.
一元二次不等式与相应的二次函数的图象、 方程之间的关系如下
判别式 b2 4ac
二次函数 y ax2 bx c (a 0)的图象
△>0
y
x1 x2
x1
x2
O
x
△=0 y
x1 x2
O
x
方程ax2 bx c 0 (a 0)的根
有x1,2两不等实根 b b2 4ac
2
时
x
a
x
2
a
当 a 2 时，原不等式的解集是 x x 2 ；
a
2
时，原不等式的解集为
x
2 a
x
a ；
0a
2
时，原不等式的解集为
x
a
x
2 a
；
a 2 时，原不等式的解集是 R ；
2
a
0
时，不等式的解集为
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
人教版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式全套PPT课件
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
解决一元二次不等式的恒成立问题 高中数学课件
若f(x)=-x2+mx-1 的函数值没有正值，求m的取值范围。
解：f(x)= -x2+mx-1的函数值没有正值，意思是x取任何实数，都使f(x)≤ 0成立，
也就是关于x的不等式-x2+mx-1≤0 对一切实数x都成立。
因此，符合题意的二次函数f(x)= -x2+mx-1的图像为：
y
y
o
x
Байду номын сангаас
或
o
x
所以，Δ≤0，从而得到m的取值范围是：-2≤m≤2
y
解法三：画函数y=-x2+2x-3的图像
y o
x
o
x
根据图像，原不等式的解集为∅
根据图像，原不等式的 解集为∅
小结：这两种求不等式解集的方法都是用了数形结合的思想方法，但 是第三种是直接画不等式对应的二次函数图像，过程简洁明了，是非 常可取的办法。
知识讲解
例1：已知关于x的不等式x2-x+a>0的解 集是R，求a的取值范围。 分析：不等式的解集是R，意思是x取任 何实数，都能使不等式成立， 因此，二次函数y=x2-x+a的图像就要保 证x为任何实数时，都要使y>0，即：
3.2
解
决
一
人 教
元
A 版
二
高
次
中 数
不
学 必
等
修
式
五 第
的
三 章
恒
成
立
问
题
课题导入
教材例2：求不等式-x2+2x-3>0的解集
：将不等式化为标准不等式 形式：x2-2x+3<0 因为y=x2-2x+3=(x-1)2+2>0
一元二次不等式恒成立问题
高校长组织写教育教学论文，对教师特别是我们青年教师，有很大的帮助.但说实在的，初上讲坛，理论与经验皆不足.说写学术论文，实则愧不敢当.“学术”二字，是经验丰富的特级高级教师、能力超群的青年骨干教师才担当得起的.如我刚步入教育行业之新手，实是不敢当.思忖良久，终觉胸内无文，只得将自己讲的一堂自我感觉还算良好的课，照搬了上来.文虽浅薄，但出自己手，虽不如他人，也算无愧了.一元二次不等式恒成立问题似曾相识燕归来（认真听讲，做好笔记，就不会似曾相识）无可奈何花落去（大而化之，步步紧逼，就不会无可奈何）大而化之，步步紧逼（化，分解讨论的意思）【师】好，我们今天来继续研究一元二次不等式问题.对于一元二次不等式，通过三四天的学习，想必大家已经非常熟悉了，对于一般的一元二次不等式，大家都能熟练的掌握.那么对于一元二次不等式的综合问题，大家可能还没有头绪，一拿到这种题，都可能头晕脑涨了.这不禁令我想起了古人的一句诗（师板书）：似曾相识燕归来无可奈何花落去【生】（笑，课堂气氛活跃）：老师，写反了！应该是：无可奈何花落去，似曾相识燕归来！【师】（故作严肃）：我为什么写反啊？因为我们学数学需要逆向思维啊！…那么我们大家对于一元二次不等式的综合问题可能就是这个感觉.一接触到题就“似曾相识”，但一下笔就“无可奈何”了.（师在两句诗内相应的词下加下划线）这就要求我们平时听课的时候要认真听讲，做好笔记，这样一来我们做题的时候就不会似曾相似了，即使我们做不出来，我们也可以翻开笔记找到类似的题.（师在副标题相应的位置后面加认真听讲等语）.（生思考，拿出笔记本）而即使做到记笔记了，认真听讲了，有些同学做这类综合题的时候也会觉得“无可奈何”，这是什么原因呢？这就要求我们多做多练，练熟了，遇到这类题时就不会是“无可奈何”了，而是“下笔千言”了.（生笑，认真听讲）那么对于这一类题，我们通常采用的是“大而化之，步步紧逼”的方法来解决.大家注意，这个“化”的意思是分解讨论的意思.（师在副标题下加上“大而化之，步步紧逼”8个字）它既然是个大难题，那么我们就把它化为几个容易的步骤，再依次的讨论，这类题就做出来了.好，我们今天就通过一个典型例题来研究不等式的恒成立问题.（师板书）一、典例例：关于x 的不等式()()042222<--+-x m x m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.【师】一拿到这类题，同学们可能都傻眼了，题目中好像什么都没给啊，这个题怎么做啊？大家不用怕，看上面（师示意学生看题目下的“大而化之”四个字），既然它是以大题的形式出现了，那么咱们就用做大题的方法去对付它，“大而化之”，咱们一步步的来分解它.那么大家看这个题它是个什么不等式啊？一元二次不等式吗？（师设下陷阱）【生】是！（大部分学生说是，只有一小部分说不一定，但声音小，底气不足）【师】（继续暗示）是吗？你敢肯定么？【生】（大部分反应过来）不一定！【师】为什么不一定啊？【生】因为)2(-m 的值不定！【师】（及时插入话）对！它的值不定，那么它的值不定我们该怎么做啊？【生】讨论！（因为前几节课都在培育学生具有讨论思想，所以学生能一口答出来）【师】对，它的值不定我们就要讨论它，这是我们学习数学必备的思想，大家一定要具备这个基本素质.下面我们来分类讨论这个不等式的系数()2-m ，看看它的庐山真面目到底是什么.（一）（准备工作）：讨论系数（师边写边说：那么它的二次项系数分几种情况啊？生回答：两种.师问：是什么啊？生回答：等于零或不等于零两种.师板书并言语：那么我们来讨论这两种情况.）︒1当()02=-m 即2=m 时，那么原不等式变成了常数不等式︒2当()02≠-m 时，原不等式是一元二次不等式.【师】（板完后说）那么这是我们每个人脑海中都要具备最基本的东西，一遇到这类题，我们脑海中立马要想到讨论它的二次项系数，这一步你写出来了，高考时两分就拿到手了.（二）（具体步骤）：分类讨论1当02=-m ，即2=m 时，原不等式可化为：04002<-⋅+⋅x x【师】那么这个不等式是不是最终成了04<-，它是不是无论x 取何值时不等式都恒成立成立啊？【生】是！∴ 2=m 时，不等式恒成立【师】那么我们来讨论第二步.2当02≠-m ，即2≠m 时，不等式()()042222<--+-x m x m 是一个一元二次不等式.【师】那么我们说解一元二次不等式分四个步骤.第一步是化为标准形式，也就是二次项系数大于零的形式.那么这个不等式好不好化啊？因为我们不知道()2-m 的正负，这样的话就需要讨论，而讨论起来又很麻烦，那么我们怎么做啊？那么大家回忆一下，学习数学最重要的两个思想是什么啊？【生】分类讨论和数形结合的思想！【师】对！那么这类题我们用数形结合的思想来做是很容易理解的.那么既然是数形结合，我们就先画出()()42222--+-=x m x m y 的图像.然后再在图像上找出0<y 时x 的取值是什么就可以了.那么它的图像有几种情况啊？无非就有两种.()02>-m 或()02<-m .那么我们就先画出()02>-m ，即开口向上时的情况.那么开口向上又分三种情况.那么这个图像又是经过），（40-的这个点的，那么我们先抛开这个条件，来根据与x 轴交点 是两个一个还是没有的情况做出开口向上时函数的图像.如下图：【师】那么当02>-m 时，图像就是这三种情况.那么大家看，不等式的对应方程()()042222=--+-x m x m 的根的情况对应图像上就分别是两个、一个或无.那么它的判别式依次是：0>∆、0=∆或0<∆.()1 0)2>-m （的图像）（102>-m 0>∆ )2( 02>-m 0=∆ )3( 02=-m 0<∆【师】好，那么我们把0)2(<-m 的情况也画出来，也是三个图像.)2( 0)2(<-m 的图像）（402<-m 0>∆ )5( 02<-m 0=∆ )6( 02<-m 0<∆【师】好，到此为止，体力活已经做完了，该做脑力活了.大家观察一下图像，再看一下题目，看哪个图像适合题目的条件啊？（念题目：不等式()()042222<--+-x m x m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围）.（到此，基本上所有的同学已经能顺利的指出第6个图像适合题目的要求，老师再逐个的分析，然后得出结论）（此时有一部分同学瞌睡，老师观察到这个现象后说道：同学们注意了，关键时刻到了.比如说我们看NBA 比赛，火箭队正和湖人队比赛，比赛已经到了第四节了，剩下十几秒的时 间了，科比或者姚明再投进去一个球，胜负都出来了，可不要错过精彩啊！生笑，注意力重新集中起来.课堂气氛活跃）【生】第6个图像满足！【师】对！第6个图像满足.那么不等式的对应方程()()042222=--+-x m x m应满足什么条件啊？。
一元二次函数方程和不等式课件ppt
y 3
= y
x
2-2x-
{ x | x﹤-1 或 x > 3 }
-1 3 x
（3）不等式 x 2 - 2 x - 3 < 0 的解集是
{ x | -1 < x < 3}
思考： 二次方程、二次不等式、二次函数， 三者之间有什么关系？
为 了 规 范 事 业单位 聘用关 系，建 立和完 善适应 社会主 义市场 经济体 制的事 业单位 工作人 员聘用 制度， 保障用 人单位 和职工 的合法 权益
只需 f (1)< 0, 即 4－2 a < 0,
所以 a > 2. x
y
1x
为 了 规 范 事 业单位 聘用关 系，建 立和完 善适应 社会主 义市场 经济体 制的事 业单位 工作人 员聘用 制度， 保障用 人单位 和职工 的合法 权益
例3. 若不等式 x 2 - 2 a x + 3 > 0 对任意 x ∈[ -1 , 3 ] 恒成立， 求实数 a 的取值范围.
看一看
为 了 规 范 事 业单位 聘用关 系，建 立和完 善适应 社会主 义市场 经济体 制的事 业单位 工作人 员聘用 制度， 保障用 人单位 和职工 的合法 权益
说一说
（1）方程 x 2 - 2 x - 3 = 0 的根是
x1 （2）不等式 x
= -1, 2- 2
x x
2
-
= 3
3 >
0
的解集是
解：依题意，-1 ，3 是方程
x2 +bx+c=0
x
的两根 , 所以
-1 + 3 = - b, -1×3 = c,
解得 b = -2 , c = -3.
2.3二次函数与一元二次方程、不等式(共49张PPT)
(
)
A．a＝6，c＝1
B．a＝－6，c＝－1
C．a＝1，c＝1
D．a＝－1，c＝－6
解析：选 B.由题意知，方程 ax2＋5x＋c＝0 的两根为 x1＝13，x2＝12，由根与 系数的关系得 x1＋x2＝13＋12＝－5a，x1x2＝13×12＝ac，解得 a＝－6，c＝－1.
4．不等式(2x－5)(x＋3)<0 的解集为________． 答案：x－3<x<25
解不等式应用题的步骤
1．若产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y＝3 000＋20x
－0.1x2(0<x<240)，每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本(销售收入不
小于总成本)时的最低产量是
()
A．100 台
B．120 台
C．150 台
D．180 台
解析：选 C.由题意知 y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0， 即 x2＋50x－30 000≥0， 解得 x≥150 或 x≤－200(舍去)．
6x＋10＝0 无实根，又二次函数 y＝x2－6x＋10 的图象开口向上，所以原不 等式的解集为∅.
解不含参数的一元二次不等式的方法 (1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的 乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解 集． (2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平 方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得． (3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法， 即判别式法．
含参一元二次不a(a－1)>0，(a∈R)． 解：因为关于 x 的不等式 x2＋x－a(a－1)>0， 所以(x＋a)(x＋1－a)>0， 当－a>a－1， 即 a<12时，x<a－1 或 x>－a， 当 a－1>－a，
一元二次不等式恒成立问题
【解析】法一：当a>0时， ，由x∈(1,4)，f(x)>0得
或 或
所以 或 或 ，所以 或 ，即 。
当a<0时， ，解得a∈ ;
当a=0时， , f(1)=0,f(4)=-6,∴不合题意.
综上可得，实数a的取值范围是 。.
法二：由f(x)>0,即 ,x∈(1,4)，
则有 在(1，4)上恒成立.
令 ， ，
所以要使f(x)>0在(1,4)上恒成立，只要 即可.故a的取值范围为 .
例3.已知不等式 －2x－m＋1<0.
(1)若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；
(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
题型二.解高次不等式（方法：穿针引线法）
(1) (x+1)2(x-2)3＜0(2) (x+2)3(x-2)2(x+2)＞0 (3) (x+1)4(x-1)3(x2-1)＜0
题型三.解分式不等式(方法：等价变换)
(1) (2) (3)
题型四.解含参数的一元二次不等式（分类讨论）
1.解关于 的不等式
数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学思想方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、明显的综合性、明显的探索性，能训练人的思维条理性和概括性。分类讨论思想，贯穿于整个高中数学的全部内容。应用分类讨论，往往能够使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性能力，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力，这是素质教育的本质所在。
(2)设f(m)＝( －1)m＋(1－2x)，
《二次函数与一元二次方程、不等式》PPT课件高中数学人教版
• (1)若y在定义域内存在最大值m，则y<a(或y≤a)恒成立⇔a>m(或a≥m)；
• (2)若y在定义域内存在最小值m，则y>a(或y≥a)恒成立⇔a<m(或 a≤m)．
• 【对点练习】❶ 若关于x的不等式ax2＋(a－2)x－2≤0恒成立，求实数 a的取值范围．
[解析] 若 a＝0 时，原不等式为－2x－2≤0 不恒成立，所以 a≠0. 当 a≠0 时，则应有aΔ<≤0，0， 即aa<－0，22－4a－2≤0， 整理得aa<＋0，22≤0， 解得 a＝－2. 所以实数 a 的值为－2.
2.3 第2课时二次函数与一元二次方程、不等 式的应 用-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
2.3 第2课时二次函数与一元二次方程、不等 式的应 用-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
误区警示
2.3 第2课时二次函数与一元二次方程、不等 式的应 用-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
[解析] 设桶的容积为 x 升，显然 x>8. 依题意，得(x－8)－4x－x 8≤28%·x. 由于 x>8，因而原不等式化简为 9x2－150x＋400≤0， 即(3x－10)(3x－40)≤0. 因此130≤x≤430，从而 8<x≤430. 故桶的容积最大为430升．
当 m≠0 时，由二次函数的图象可知有mΔ＝<04，－4mm－2<0， 解得 m<1－ 2.
综上可知，m 的取值范围是{m|m<1－ 2}．
[归纳提升] 求不等式恒成立问题中参数范围的常用方法
一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式是指形式为ax^2 + bx + c > 0的不等式，其中a、b、c均为实数且a不等于0。
那么，如何判断一元二次不等式是否恒成立呢？首先，我们需要明确一元二次不等式的解集。
对于一元二次方程，我们可以先求解其对应的一元二次方程，然后将方程的解代入不等式中，判断不等式是否成立。
以一元二次不等式x^2 - 4x + 3 > 0为例，我们可以先求解对应的一元二次方程x^2 - 4x + 3=0。
通过求解方程，我们可以得到方程的根为x=1和x=3。
接下来，我们将方程的根代入不等式中，即将x分别取1和3，得到以下两个不等式：当x=1时，1^2 - 4*1 + 3 > 0，简化得0 > 0，不成立。
当x=3时，3^2 - 4*3 + 3 > 0，简化得3 > 0，成立。
由此可见，当x取3时，一元二次不等式恒成立。
也就是说，原不等式的解集为x>3。
那么，我们如何更一般地判断一元二次不等式是否恒成立呢？首先，我们需要找出一元二次不等式的判别式Δ=b^2-4ac。
判别式Δ可以帮助我们进一步判断不等式的解集。
根据判别式Δ的不同取值，我们可以有以下三种情况：1.当Δ>0时，即b^2-4ac>0。
这种情况下，一元二次方程有两个不相等的实根。
如果不等式左侧是正值，那么不等式恒成立；如果不等式左侧是负值，那么不等式不成立；如果不等式左侧等于0，则不等式没有解。
2.当Δ=0时，即b^2-4ac=0。
这种情况下，一元二次方程有两个相等的实根。
无论不等式左侧取什么值，不等式都不成立。
换句话说，一元二次不等式恒不成立。
3.当Δ<0时，即b^2-4ac<0。
这种情况下，一元二次方程没有实根。
不等式左侧可以取任意值，所以不等式恒成立。
通过以上分析，我们可以得到一元二次不等式恒成立的一般规律：-当a>0时，一元二次不等式恒成立的解集为xξ(负无穷,根据不等式的根)u(根,正无穷)。
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. 2
3x
.
.
12
例2. 关于x的不等式 2x29xm≤ 0在区间[ 2, 3]
上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
解：构造函数 f(x)2 x2 9 xm ,x [2 ,3 ],
则
f (2) ≤ 0
f
(3) ≤
0
y
10 m ≤ 0 9 m ≤ 0
m≤9.
o. 23x Nhomakorabea.
（３）数形结合思想
.
7
练习1：若不等式 x2-2x+m>0 对于x∈(0,3)恒 成立,则实数m的取值范围是_______.
练习2：若不等式 mx2-2x+1>0 对于x∈(0,3)恒 成立,则实数m的取值范围是_______.
练习3：若不等式 x2-mx+4>0 对于x∈(0,3)恒 成立,则实数m的取值范围是_______.
对任意实数x恒成立，求m取值范围。
分 析 ： 函 数 f(x)x22xm 开 口 向 上 f(x)0恒 成 立 需 0
= （ - 2 ） 2 - 4 m 0 ， 解 得 m 1
.
3
变式1：若函数 f(x) x22xm 的定义域为R， 则m的取值范围是__________。
变 式 2 .若 不 等 式 x 2 2 x m 0 的 解 集 为 空 集 ,则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ .
.
8
变式：若对于任意 a [1,1] ，函数 f ( x) x2 ax 2 的值恒小
于 0，则 x 的取值范围是_______1____x____1_________．
g(a)xax22
g(1) g(1) 0
0
此题若把它看成关于x的二次函数,由于a, x都要 变,则函数的最小值很难求出,思路受阻.若视a为主元, 则给解题带来转机.
.
9
练习：若不等式 x2+ (a-4)x+4-2a>0 对于
a ∈[-1,1]恒成立,则实数x 的取值范围是_______.
x1或x3
g (a ) x 2 (a 4 )x 4 2 a
(x2)ax24x4
g g
(1) (1)
0
0
.
10
题型二方法小结
(1)与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最 值，也可通过分离参数，再求最值．
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地， 知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
(3)对于二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数 的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二 次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方．
.
11
例2. 关于x的不等式 2x29xm≤ 0在区间[ 2, 3]
变 式 3 若 关 于 x 的 不 等 式 ： x 2 m x 1 0 的 解 集 为 R ,
求实数m的取值范围。
.
4
变式 4.设函数 f(x)＝mx2－mx－1.
若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范围；
规范解答 解 (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
解：构造函数 f(x ) 2 x 2 9 x m ,x [2 ,3 ],
问题等价于f(x)max≤0,
y
Q f(x)2 (x9)2m 8 1,x [2 ,3 ], 48
fm a x (x )f(3 ) m 9 ≤ 0 , o
m≤9.
（2）转换求函数的最值
m<0， 若 m≠0，则
Δ＝m2＋4m<0 所以－4<m≤0.
⇒－4<m<0.
练 习 ： 若 关 于 x 的 不 等 式 ： a x 2 2 a x + 2 0 的 解 集 为 R ,
求实数a的取值范围。
.
5
题型一方法小结
（1）二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
a 0
b2
4ac
0
.
13
上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g (x) 2 x2 9 x ,x [2 ,3 ],
则问题转化为 m≤g(x)min
Qgm in(x)g(3)9,m≤9.
分离参数法
【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将 不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不 等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归 为解关于参数的不等式的问题．
（2）二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立
a 0 b2 4ac 0
（3）二次不等式a x2 +bx +c ≥ 0恒成立 a 0
b2 4ac 0
（4）二次不等式a x2 +bx +c ≤ 0恒成立 a0
b2 4ac0
.
6
题型二 定义域不为R时
例2. 关于x的不等式 2x29xm≤ 0在区间[ 2, 3]
一元二次不等式应用
恒成立问题
.
1
△>0
△=0
y
y
x1 O x2 x
O x1
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根
x1=x2=
b 2a
{x|x<x1,或 x>x2}
{x|x≠
b
}
2a
{x|x1< x <x2 }
Φ
.
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
2
题型一 定义域为R时
例1：若不等式 x22xm0