一元二次不等式恒成立问题PPT课件

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练习1：若不等式 x2-2x+m>0 对于x∈(0,3)恒 成立,则实数m的取值范围是_______.
练习2：若不等式 mx2-2x+1>0 对于x∈(0,3)恒 成立,则实数m的取值范围是_______.
练习3：若不等式 x2-mx+4>0 对于x∈(0,3)恒 成立,则实数m的取值范围是_______.
上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g (x) 2 x2 9 x ,x [2 ,3 ],
则问题转化为 m≤g(x)min
Qgm in(x)g(3)9,m≤9.
分离参数法
【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将 不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不 等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归 为解关于参数的不等式的问题．
对任意实数x恒成立，求m取值范围。
分 析 ： 函 数 f(x)x22xm 开 口 向 上 f(x)0恒 成 立 需 0
= （ - 2 ） 2 - 4 m 0 ， 解 得 m 1
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变式1：若函数 f(x) x22xm 的定义域为R， 则m的取值范围是__________。
变 式 2 .若 不 等 式 x 2 2 x m 0 的 解 集 为 空 集 ,则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ .
. 2
3x
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例2. 关于x的不等式 2x29xm≤ 0在区间[ 2, 3]
上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
解：构造函数 f(x)2 x2 9 xm ,x [2 ,3 ],
则
f (2) ≤ 0
f
(3) ≤
0
y
10 m ≤ 0 9 m ≤ 0
m≤9.
o
. 2
3x
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（３）数形结合思想
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地， 知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
(3)对于二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数 的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二 次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方．
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例2. 关于x的不等式 2x29xm≤ 0在区间[ 2, 3]
（2）二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立
a 0 b2 4ac 0
（3）二次不等式a x2 +bx +c ≥ 0恒成立 a 0
b2 4ac 0
（4）二次不等式a x2 +bx +c ≤ 0恒成立 a0
b2 4ac0
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题型二 定义域不为R时
例2. 关于x的不等式 2x29xm≤ 0在区间[ 2, 3]
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一元二次不等式应用
恒成立问题
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1
△>0
△=0
y
y
x1 O x2 x
O x1
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根
x1=x2=
b 2a
{x|x<x1,或 x>x2}
{x|x≠
b
}
2a
{x|x1< x <x2 }
Φ
.
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
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题型一 定义域为R时
例1：若不等式 x22xm0
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练习：若不等式 x2+ (a-4)x+4-2a>0 对于
a ∈[-1,1]恒成立,则实数x 的取值范围是_______.
x1或x3
g (a ) x 2 (a 4 )x 4 2 a
(x2)ax24x4
g g
(1) (1)
0
0
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题型二方法小结
(1)与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最 值，也可通过分离参数，再求最值．
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变式：若对于任意 a [1,1] ，函数 f ( x) x2 ax 2 的值恒小
于 0，则 x 的取值范围是_______1____x____1_________．
g(a)xax22
g(1) g(1) 0
0
此题若把它看成关于x的二次函数,由于a, x都要 变,则函数的最小值很难求出,思路受阻.若视a为主元, 则给解题带来转机.
m<0， 若 m≠0，则
Δ＝m2＋4m<0 所以－4<m≤0.
⇒－4<m<0.
练 习 ： 若 关 于 x 的 不 等 式 ： a x 2 2 a x + 2 0 的 解 集 为 R ,
求实数a的取值范围。
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题型一方法小结
（1）二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
a 0
b2
4ac
0
上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
解：构造函数 f(x ) 2 x 2 9 x m ,x [2 ,3 ],
问题等价于f(x)max≤0,
y
Q f(x)2 (x9)2m 8 1,x [2 ,3 ], 48
fm a x (x )f(3 ) m 9 ≤ 0 , o
m≤9.
（2）转换求函数的最值
变 式 3 若 关 于 x 的 不 等 式 ： x 2 m x 1 0 的 解 集 为 R ,
求实数m的取值范围。
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变式 4.设函数 f(x)＝mx2－mx－1.
若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范围；
规范解答 解 (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；