六年级下册奥数讲义-奥数方法：图示法(练习无答案)全国通用

在解答数学问题时，可以用图形把题中的数量关系具体化，使较复杂问题的数量关系简单化，从而悟出解题思路。这种运用直观图形来分析思考、求解的方法叫做图示法。其特点是直观、可靠，便于分析数量关系，同时不受逻辑推导限制，思路灵活开阔。

常用的图示有实物图、示意图、线段图三种。实物图图示法就是把题中的实物画成具体的图形，展示出题中数量关系，通过观察图形找出解题思路；示意图图示法是把题中数量关系用长方形、正方形、圆等示意图的形式来表示，通过观察，找出解题思路；线段图图示法是把题中数量关系用线段的形式表示出来，使题中较复杂的数量关系具体化、简单化，便于从中找出解题思路。

[例1] 一辆汽车往线路上运送电线杆，从出发地装车，每次拉4根，线路上每两根电线杆间距为50米，共运了两次，装卸结束后返回原地共3 小时，其中装一次车用30分钟，卸一根电线杆用5分钟，汽车运行时的平均速度是每小时24千米，则从出发点到第一根电线杆的距离是

千米。

分析与解答

如图l，汽车从A地(出发地)装上4根电线杆到达曰地，卸下后返回A地，又装上4根开往C地，卸下后并返回A地。(每50米卸下一根。)

共用3小时，其中装车共用30×2=60分钟，卸电线杆用8×5：40分钟，所以汽车用于行驶的时间为3×60-60-40=80分钟

可设从出发点到第一根电线杆的距离是x米远，则有方程：

解之得：x=7750米=7．75千米

即从出发点到第一根电线杆的距离是7．75千米。

[例2] 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛打乒乓球，每两人都

要打一盘，到现在为止，甲已经打了4盘，乙打了3盘，丙打了2盘，丁打了l盘，问小强已经打了多少盘?

思路剖析

本题看上去比较抽象，关系较复杂，可利用关系图进行分析，即用点表示对象，用连结点的线条表示对象间的某种关系。这样不仅直观、形象，而且能直接找到问题的答案。

解答

我们将五个人看成五个“点”一两人比赛过，就用线条连结相应的两点。根据“甲赛了4盘”。可以画出图2。

再依次根据“乙赛了3盘”、“丙赛了2盘”、“丁赛了1盘’’等条件，得出图3。

从图3可以直接看出：小强已经赛了2盘。

[例3] 正三角形的边长增加

面积增加了几分之几?

思路剖析

对这种相似多边形面积比的问题，可以借助图形思考。如图4所示，将已增加边长的正三角形的边长四等分，则该三角形可分摊16个同样大小的正三角形，观察图形，不难得出结论。

解答

如图4所示，大正三角形由16个小正三

角形构成，原正三角形由9个小正三角形构

成，这些小正三角形面积均相等，所以可得出

正三角形的边长增加

后．面积增加了：

[例5] 甲、乙、丙、丁四人共有60本书，如果甲的书增加4本，乙的每减少1本，丙的书增加4倍，丁的书减少一半，则四人的书一样多。这四人原来各有多少本书?

思路剖析

为使本题中条件更为直观，可用图6表示题意。

由图6可以看出甲乙丙丁四人原有书数之间的关系，不难求出本题答案。

解答

设变化后每人有书x(本)，可得方程

所以，甲、乙、丙、丁原来备有书1l本、16本、3本、30本。

[例6】从2、3、5、7四张数字卡片中，任取三张排成三位数，能排成多少个不同的三位数?

·巴路剖析

解答本题，可先考虑百位上可以排哪些数字卡片，然后考虑十位、个位，这种依次考虑各种可能性的问题，可用树形图进行直观表示。

解答

先考虑排好百位上的数字卡片；百位上的数字排好后，再考虑排好十位上的数字卡片；百位上的数字、十位上的数字都排好后，剩下的就是个位上的数字。树形图如图7所示。

由图7可知，从2、3、5、7四张卡片中任取三张排成三位数，可以排成[例7】某修路队抢修一段公路，原计划36天可以完成任务，为了赶工程进度，开工时又调来一个修路队，结果

实际每天比计划多抢修200米，只用了20天

就完成了任务。这段公路长多少米?

思路剖析

采用长方形图解法来解答。如图8所

示，由于原计划与实际的总任务相同，所以

可以用两个面积相同的长方形来表示实际

与计划的总任务。

长方形ABCD的面积表示实际工作量，AD表示实际所用的时间，AB 表示实际的工作效率。AD=20，GB=200。长方形AGFE的面积表示计划工作量，AE表示计划所用时间为36天。

解答

因此200×20=(36-20)×EF，EF=200×20÷16=250，由此可求出计划每天修的米数。

则路长为： 250×36=9000(米)

答：这段公路长9000米。

点津

图示法是一种解数学应用题的基本方法，其本质是使题目条件表达方式的转变更有利于对题目的分析理解。在用图形表示题中的数量关系时，应注意使具体数量尽量往一块集中，以便于发现解题思路，同时，画图时应注意图形题中数量之间的对应关系，以不致在视觉上产生错觉，造成误解．影响解题思路。

1．小林家养了一些鸡。黄鸡比黑鸡多13只，比白鸡少18只。自鸡的只数是黄鸡的2倍。白鸡、黄鸡、黑鸡一共有多少只?

2．学校买了4个足球和3个排球，共用去117元，每个足球比每个排球贵3元。每个足球和排球各多少元?

3．甲乙两人去商店买衣服，甲原有100元钱，乙原有70元钱，两人买了同样价格的衣服后，结果发现甲剩下的钱恰好是乙剩下的钱的4倍。

l司甲乙买衣服各用了多少元钱?

4·甲乙两个水泥库原来共存水泥170吨。后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，这时甲库存的水泥是乙库的2倍，两个水泥库原来各存水泥多少吨?

5·甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才5岁。"乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将50岁。"那么甲现在多少岁?乙现在多少岁?

6·容器中有某种浓度的酒精，加入一杯水后，容器中纯酒精含量为25％，再加入一杯纯酒精，容器中纯酒精含量为40％，问原来容器中有几杯酒精，浓度是多少?

7·甲、乙两个工程队合作修筑一段公路，甲先单独施工4天，完成这段公路的后来乙队加入，两队共同施工3天，完成了这段公路修筑任务。乙队每天修筑75米。这段公路全长多少米?

8·甲、乙两班的同学人数相等，各有一些同学参加数学小组。甲班参

加数学小组的人数恰好是乙班没有参加人数的乙班参加数学小组的人数是甲班没有参加人数的问甲班没有参加的人数是乙班没有参加人数的几分之几?

9·一列火车从甲城驶往乙城。若火车的平均速度是每小时24千米，

则它将于午后1时到达乙城；若火车的平均速度是每小时40千米，则它

将于午前11时到达乙城。为了使火车于中午12时到达乙城，则它的平均

速度应为多少?