数学思想方法介绍.
初中数学思想方法大全
初中数学思想方法大全一、观察法：1.通过观察数的规律，找出数列或图形的特点，进而解决问题。
2.观察题目中的条件，找出规律，推断出解题的方法和步骤。
二、分类法：1.将题目中的条件进行分类，分别求解，再综合得出最终结果。
2.将复杂问题进行分解，分别解决每个小问题，再将结果合并。
三、逆向思维法：1.从结果出发，逆向推断出题目中的条件和方法。
2.通过反证法，假设题目中的条件不成立，然后推出矛盾，得出正确答案。
四、抽象化方法：1.将具体问题抽象成数学模型，通过代数符号和方程式进行求解。
2.通过建立几何图形的模型，求解几何问题。
五、归纳法：1.通过观察和分析已有的具体例子，总结出规律，推导出一般结论。
2.通过已知结论，推导出未知的结论。
六、对称性思想：1.利用图形的对称性质，简化问题的求解过程。
2.利用函数的奇偶性，简化函数的计算。
七、假设法：1.假设未知数的值，通过代入验证是否满足题目中的条件。
2.假设结论成立，通过逻辑推理得出结果。
八、递推法：1.利用数列或图形中前一项与后一项的关系，递推出未知项的值。
2.利用已知条件，递推出问题的解决步骤。
九、化繁为简法：1.将复杂问题简化为简单问题，逐步解决，最后得出最终结果。
2.利用等价变形，将复杂计算简化为简单计算。
十、分而治之法：1.将大问题拆分成若干个小问题，分别解决，再将结果合并得出最终答案。
2.将复杂的问题分解成几个简单的部分，分别求解。
十一、反证法：1.假设题目中的条件不成立，通过推理和逻辑推断得出矛盾，进而得出正确结论。
2.利用反证法证明一个结论的真实性。
以上是初中数学常用的思想方法，通过灵活运用这些思想方法，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
高中数学四大思想方法
高中数学四大思想方法高中数学是数学学科的一部分，其主要涉及代数、几何、函数、概率和统计等内容。
在学习过程中，数学家们发展了许多思想方法，以解决和理解数学问题。
以下是高中数学中常见的四大思想方法。
1.抽象思维方法抽象思维方法是数学的核心思想之一、它通过剥离具体的数学问题中的不必要部分，从而将问题抽象化为更为一般的形式，并建立相应的模型。
例如，在代数中，我们可以将具体的算式和方程抽象为符号表示，以简化问题的描述和解决过程。
抽象思维方法能够提高学生的思维能力和数学抽象能力，培养学生的逻辑思维和推理能力。
2.归纳与演绎思维方法归纳与演绎思维方法是数学推理的重要方法。
归纳是通过观察事实和案例，找出普遍规律和规则。
例如，通过观察一系列数列，我们可以归纳出它们的通项公式。
演绎是通过已知条件和推理规则，从而推导出结论。
例如，通过已知两条平行线被一条横截线相交，我们可以演绎出对应角相等的结论。
归纳和演绎相辅相成，使学生能够更好地理解和应用数学定理和思想。
3.综合思维方法4.探究思维方法探究思维方法是数学学科中重要的思想方法之一、它强调学生通过实践探索和发现数学规律和定理。
例如，通过动手操作、观察和实验，学生可以发现一些几何定理或数学规律，并且对其原理和应用有更深入的理解。
探究思维方法能激发学生的学习兴趣，培养学生的发现问题和解决问题的能力。
同时，它也强调学生的自主学习和合作学习能力。
综上所述，高中数学中的四大思想方法包括抽象思维方法、归纳与演绎思维方法、综合思维方法和探究思维方法。
这些方法能够培养学生的数学思维和解决问题的能力，提高学生的数学水平和学习效果。
学生在学习和应用这些方法时，应结合实际问题进行思考和讨论，不断深化对数学的理解和应用。
数学思想方法介绍
◆数学方法具有三个基本特征：
（1）高度的抽象性和概括性； （2）精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性； （3）应用的普遍性和可操作性。
◆数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：
（1）提供简洁精确的形式化语言； （2）提供数量分析及计算的方法； （3）提供逻辑推理的工具。
二. 中学数学中常用的数学方法
一种方法，数学中许多方法都属于RMI方法，例如，分割法、
函数法、坐标法、换元法、复数法、向量法、参数法等。
☆RMI方法不仅是数学中应用广泛的方法，而且可以拓展到人
文社会科学中去。例如，哲学家处理现实问题的思想方法，就 可以看作RMI方法的拓展 （客观物质世界---哲学家的思维---哲
学理论体系---解决客观世界的现实问题）。
3）同态与同构 4）数的概念的扩充 5）多项式理论与整数理论的类比 整数
＋、－ 、×
带余除法 算术基本定理
多项式
＋、－ 、× 带余除法 代数基本定理
3. 归纳法（逻辑学中的方法）
与数学归纳法（数学中的一般方法）
☆归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的 一种思维方法。归纳法是实验科学最基本的方法。 归纳法的特点：1）立足于观察和实验；2）结论具有猜 测的性质；3）结论超越了前提所包含的内容。 归纳法用于猜测和推断。 例子：1) Fermat数(1640年，Fn=22 +1, Fermat素数：3，5， 17，257，65537)； 2)Goldbach猜想（1742年）。
《数学思想与数学文化》
数学思想方法介绍
内 容
一.前言
二.中学数学中常用的数学方法
三.几类常用的数学思想方法介绍
1.演绎法或公理化方法 2.类比法 3.归纳法与数学归纳法 4.数学构造法
主要数学思想方法简介
第一章数学思想和方法第一节主要数学思想方法简介数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果.数学思想方法是一种数学意识，属于思维范畴，只能领会和运用.通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高.掌握数学思想，就是掌握数学的精髓.掌握数学思想方法，可以受用一生.常用的数学思想：分类讨论思想、数形结合思想、方程与函数思想、化归与转化思想等，其他还有建模思想、归纳推理思想、两边夹的思想、换元思想、等效思想、优化思想、连续性思想、运动变化思想等.数学方法，就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略.常用的一般性数学方法有定义法、配方法、换元法、消元法、参数法、待定系数法、数学归纳法等，常用的逻辑方法有分析法、综合法、反证法、同一法、归纳法、演绎法等，常用的数学思维方法有观察与实验、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳与演绎等.数学思想方法与数学基础知识相比较，它是深层次的.它来源于数学基础知识及常用的数学方法,在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位.数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义.而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段.一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略.但由于中学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的.如常用的分类思想和分类方法，集合思想和交集方法，在本质上都是相通的，所以中学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即中学数学思想方法.下面介绍四种主要的数学思想方法.一、函数与方程思想方法用运动和变化的观点分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，然后运用函数的图像和性质去分析问题和解决问题的思想即函数思想.从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程（组）或不等式（组）等数学模型，然后通过解方程（组）或不等式（组）来解决问题的思想即方程思想.函数与方程是互相转化的,方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x 轴的交点的横坐标，即函数y＝f(x)的零点，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0.所以方程的问题可以用函数的方法解决，反之函数问题也可以用方程的方法来解决.挖掘题目中的隐含条件，找出需要解答的问题与函数方程的关系，是应用函数与方程思想的关键.比如函数与不等式的关系：()()f x g x >的几何意义就是函数()y f x =的图象在函517数()y g x =的图象的上方，故可用函数思想解决有关不等式问题.又如函数与数列的关系：数列是特殊的函数，即数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数，故用函数思想可以处理数列问题.再如函数与二项式定理的关系：函数*()()()n f x ax b n N =+∈与二项式定理具有相同的形式，故利用函数思想及赋值法和比较系数法可以解决很多二项式问题.再如函数方程与几何的关系：解析几何中的线和线的位置关系就是方程组问题，参数的取值范围、线段长度的最值、图形面积的最值等就是函数的值域问题.立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算也经常用列方程或建立函数的方法来解决.下面举几个简单的例子.1.一般问题典型例题：已知,,a b c R ∈且515b c a -=，则____.A.24b ac > B.ac b 42≥ C.ac b 42< D.ac b 42≤解：观察选择支，显然与判别式相关，故构造方程.由题意得550a b c ⋅-⋅+=，看成5是实系数一元二次方程20ax bx c -+=的一个实根，所以240b ac ∆=-≥，即ac b 42≥，故选 B.2.计算问题典型例题：求12122+++⋅⋅⋅的极限值.解：这是求无限式的值，一般是用极限方法解决此题，这里我们用方程来解决.设原式x =，列出方程12x x +=，解得262x +=（262x -=舍去），所以原式262+=.3.函数与方程的转化典型例题：已知,a b R ∈，且32351a a a -+=，32355b b b -+=，求a b +的值.解：这是解方程问题，直接解方程难度较大，故转化为函数问题.条件变形得3(1)2(1)2a a -+-=-，3(1)2(1)2b b -+-=，构造函数3()2f x x x =+，则()f x 是奇函数、单调递增函数，所以(1)(1)(1)f a f b f b -=--=-，于是11a b -=-即2a b +=.5184.解决三角函数问题典型例题：已知,,A B C R +∈且2A B C++=，求证1sin sin sin 8A B C ≤.解：这里有三个变量，故可以以其中一个变量为主元构造方程.设sin sin sin t A B C =1sin [cos()cos()]2A B C B C =--+1sin [cos()sin ]2A B C A =--，整理得到一个关于sin A 的一元二次方程2sin cos()sin 20A B C A t --+=，因为方程有解，故其判别式2cos ()80B C t ∆=--≥，则211cos ()88t B C ≤-≤，即1sin sin sin 8A B C ≤.5.解决不等式问题典型例题：对于任意1[,3]2m ∈不等式2424x mx m x ++>+恒成立，求x 的取值范围.解：转化为2(2)(2)0m x x -+->恒成立.（1）当2x =时，不等式不成立；（2）当2x ≠时，看成m 的一次函数2()(2)(2)f m x m x =-+-，则1()02(3)0f f ⎧>⎪⎨⎪>⎩，解之得(,1)(2,)x ∈-∞-+∞ .6.解决数列问题典型例题：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知123=a ，120S >，130S <，问1S 、2S 、3S 、…、12S 中哪一个最大，并说明理由.解：由题意1122a d =-，则215(12)22n S dn d n =+-，这是关于n 的二次函数；而函数215()(12)22f x dx d x =+-的对称轴方程为5122x d =-；再由题意得1213144420156520S d S d =+>⎧⎨=+<⎩，得2437d -<<-，故51213622d <-<，所以6n =时n S 最大.7.列方程解应用题常见的列方程解应用题，就是方程思想的体现.典型例题：有一种玻璃瓶装饮料，每瓶1元.为了环保，玻璃瓶回收.某人用6元钱买这种饮料，回收3个玻璃瓶可以换1瓶饮料，问此人最多可以喝到多少瓶饮料？解：设此人最终喝了x 瓶饮料，则可列出方程63x x =+，解得9x =.即此人最终喝了9519瓶饮料.二、化归与转化思想方法解题时，把未知的、不熟悉的、复杂的、抽象的、一般的、非基本的问题通过不同方式，转化为已知的、熟悉的、简单的、具体的、特殊的、基本的容易解决的问题，这种方法称为转化法，又称为化归法.转化有等价转化与非等价转化.等价转化的转化过程是充分且必要的，转化后的结果仍为原问题的结果.非等价转化其过程是充分或必要的，之后要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根）.消元法、换元法、数形结合法等具体方法，其实都体现了转化思想.1.数学语言和自然语言的转化典型例题：设(){}22,|4A x y x y =+=，()()(){}222,|34B x y x y r =-+-=，其中0r >,若A B =∅ ,求r 的取值范围.解：由题意，转化为“集合A 表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B 表示以（3，4）为圆心以r 为半径的圆，当两圆无交点时，求半径r 的取值范围”.由图象易得r 的取值范围为03r <<或7r >.2.数与形的转化典型例题：若函数2()4f x x x a =+-+有且仅有一个零点，求a 的取值范围.解：转化为直线y x a =--与半圆24y x =-有且仅有一个交点，如图可知a 的取值范围为22a -<≤或22a =-.3.生疏问题转化为熟悉问题典型例题：求和222222222141614121416141n n S n ++++=+++⋅⋅⋅+----.解：拆分分式转化为熟悉的裂项抵消，22221111133557(21)(21)n S n n =++++++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯-⨯+52011111113352121n n n =+-+-+⋅⋅⋅+--+221n n n =++．4.困难问题转化为容易问题典型例题：判断命题“若5x y ->，则3x >或2y <-”的真假.解：设y a -=，转化为判断“若5x a +>，则3x >或2a >”，再转化为判断其逆否命题“若3x ≤且2a ≤，则5x a +≤”，此命题显然正确，故原命题正确.5.繁杂问题转化为简单问题典型例题：已知1111a b c a b c++=++=，求证a 、b 、c 中至少有一个等于1.证明：a 、b 、c 中至少有一个为1，转化为1a -、1b -、1c -中至少有一个为零，只需证(1)(1)(1)0a b c ---=即可.由1111a b c ++=得bc ac ab abc ++=，所以(1)(1)(1)a b c ---()()10abc ab ac bc a b c =-+++++-=，故结论成立.6.正与反的转化当顺向思维较难或无从下手时就反向思考，即反证法、逆向思维的思想.典型例题：已知()f x 、()g x 是定义在R 上的函数，证明存在,[0,1]x y ∈使1()()4xy f x g y --≥.证明：假设对任意,[0,1]x y ∈，有1()()4xy f x g y --<.令0x y ==，则1(0)(0)4f g +<；令0,1x y ==，则1(0)(1)4f g +<；令1,0x y ==，则1(1)(0)4f g +<；则当1x y ==时1(1)(1)f g --1[(1)(0)][(0)(0)][(0)(1)]f g g f f g =-+++-+1(1)(0)(0)(0)f g g f ≥-+-+1(0)(1)4f g -+>，这与假设矛盾，故原命题得证.7.常量与变量的转化典型例题：对于任意01m ≤≤，不等式2(1)20x m x m --+->恒成立，求x 的取值范围.解：我们习惯于x 为变量m 为常量，所以题目转化为“对于任意01x ≤≤，不等式2(1)20m x m x --+->恒成立，求m 的取值范围”，即2()(1)20f x m x m m =-++->对521于任意01x ≤≤恒成立，则22(0)20(1)10f m m f m ⎧=+->⎪⎨=->⎪⎩，解之得(,2)(1,)m ∈-∞-+∞ ，即x 的取值范围为(,2)(1,)x ∈-∞-+∞ .8.抽象问题转化为具体问题典型例题：设函数2()f x ax bx c =-+，若不等式()0f x >的解集为(1,3)，解关于t 的不等式2(8)(2)f t f t +<+.抽象不等式可以根据函数单调性转化为具体不等式.解：不等式()0f x >的解集为(1,3)，则0a <且函数对称轴为2x =，故函数在区间[2,)+∞上递减，而88t +≥，222t +≥，由函数的单调性，不等式转化为282t t +>+即260t t --<，解之得(3,3)t ∈-.三、数形结合思想方法把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来解决数学问题的方法即数形结合方法.运用数形结合，能避免复杂的计算与推理，能简化解题过程.它在解选择题、填空题中更显其优越性.下面举少数简单的例子说明，与其他知识点结合还有许多，更多参见本书后面各章节的图象法.1.解决集合问题典型例题：已知集合3cos (,),03sin x M x y y θθπθ⎧⎫=⎧⎪⎪=<<⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭，{(,)|}N x y y x b ==+，且M N ≠∅ ，求b 的取值范围.解：集合M 表示以原点为圆心3为半径的上半圆（不含端点），题意为直线y x b =+与半圆有交点，求b 的取值范围.画出草图，如图易知b 的取值范围为332b -<≤.2.解决函数问题典型例题：设2()22f x x ax =-+，当[1,)x ∈-+∞时()f x a >恒成立，求a 的取值范围.522解：转化为“函数2()22g x x ax a =-+-，[1,)x ∈-+∞的图像在x 轴上方”.函数的对称轴x a =，当1a ≥-时由图象得244(2)0a a ∆=--<，故11a -≤<；当1a <-时由图象得(1)0g ->，故31a -<<-；综上可知a 的取值范围为31a -<<.3.解决方程与不等式的问题典型例题：已知关于x 的方程2230x kx k ++=的两根都在1-和3之间（含1-和3），求k 的取值范围.解：由题意画出草图，如图，则2134120(1)0(3)0k k k f f -≤-≤⎧⎪∆=-≥⎪⎨-≥⎪⎪≥⎩，解之得k ∈[-1,0],即k 的取值范围.4.解决三角问题典型例题：求函数sin 2cos 2x y x +=-的值域.解：因为函数sin 2cos 2x y x +=-表示过两点(2,2)P -、(cos sin )A x x ,的直线的斜率，而点A 是圆221x y +=上的点，如图，求函数的值域即求过点P 与圆有交点的直线的斜率的取值范围12[,]y k k ∈，设过点P 的切线为2(2)y k x +=-，则有2|22|11k k +=+，解之得1,2473k -=±，所以函数的值域为4747[]33y ---+∈，.5.解决几何问题523典型例题：求函数246u t t =++-的最值.解：设24x t =+，6y t =-，u x y =+，则22216(04022)x y x y +=≤≤≤≤，，转化为直线y x u =-+与椭圆22216x y +=第一象限的部分（包括端点）有公共点，如图，min 22u =，当直线与部分椭圆相切于第一象限时，u 取最大值，由22216y x u x y =-+⎧⎨+=⎩得22342160x ux u -+-=，根据∆=0得26u =±，取26u =，即max 26u =.四、分类讨论思想方法在数学中有些问题的结论有多种情况，有些问题的结论不能以统一的形式进行表示，有些问题的条件中含有字母且字母的取值不同结果也不同，等等，解决这些问题时就需要根据题目的特点和要求分类，转化成若干个小问题；这种按不同情况分类，然后再逐一解决的思想方法，就是分类讨论思想方法.解题时，要抓住引起分类讨论的原因，把握分类标准，进行合理分类.分类的对象是确定的，标准是统一的，原则是不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.中学数学中引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、指数函数与对数函数的底数的意义、等比数列的前n 项和公式等等；由数学运算要求引起的分类讨论：如开偶次方、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响、函数单调性对不等式中不等号方向的影响等等；由某些概念、定理、法则、公式的限制条件引起的分类讨论；由几何图形中点、线、面、体的相对形状、位置不确定引起的分类讨论；由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等.典型例题1.设{}2|870A x x x =-+=，{}|140B x ax =-=，若A B B = ，求实数a 的值.524解：由题意得{}1,7A =，由A B B = 知B A ⊆，故分B =∅与B ≠∅讨论.（1）当B =∅时，即方程140ax -=无解，则0a =；（2）当B ≠∅时，即方程140ax -=的解为1或7，则14a =或2；综上，a 的值为0、2、14.典型例题2.解关于x 的不等式(1)12a x x ->-.解：原不等式化为(1)(2)02a x a x -+->-，即2(1)()(2)01a a x x a---->-.（1）当1a >时，原不等式化为2()(2)01a x x a --->-，因为211211a a a -=-<--，故其解为2(,)(2,)1a x a -∈-∞+∞- ；（2）当1a =时，原不等式化为102x >-，其解为(2,)x ∈+∞；（3）当01a <<时，原不等式化为2()(2)01a x x a ---<-，因为211211a a a -=->--，故其解为2(2,)1a x a -∈-；（4）当0a =时，原不等式无解；（5）当0a <时，原不等式化为2()(2)01a x x a ---<-，因为211211a a a -=-<--，故其解为2(,2)1a x a -∈-；综上所述：当1a >时，解为2(,)(2,)1a x a -∈-∞+∞- ；当1a =时，解为(2,)x ∈+∞；当01a <<时，解为2(2,)1a x a -∈-；当0a =时，无解；当0a <时，解为2(,2)1a x a -∈-.典型例题3.已知函数2()log ()a f x ax x =-在[2,4]上是增函数，求实数a 的取值范围.解：（1）当1a >时，则2()u x ax x =-在[2,4]上是增函数且恒大于零，根据图象得122(2)420a u a ⎧≤⎪⎨⎪=->⎩，解得12a >，所以1a >；（2）当01a <<时，则2()u x ax x =-在[2,4]上是减函数且恒大于零，根据图象得525()14241640a u a ⎧≥⎪⎨⎪=->⎩，不等式组无解；综上所述，实数a 的取值范围为1a >.典型例题4.数列}{n a 中，11=a ，22=a ，数列}{1+⋅n n a a 是公比为q （0>q ）的等比数列，求数列}{n a 的前n 2项的和n S 2．解：由题意得121n n n n a a q a a +++=，即2n na q a +=，故数列}{n a 的所有奇数项、所有偶数项分别成等比数列，且公比都是q .(1)当1≠q 时，n S 2135212462()()n n a a a a a a a a -=+++++++++ 12(1)(1)11n n a q a q q q --=+--3(1)1n q q-=-；（2）当1=q 时，n S 2135212462()()3n n a a a a a a a a n -=+++++++++= .典型例题5.设常数0a >，变量R λ∈，经过原点O 以(,)e a λ= 为方向向量的直线与经过定点(0,)A a 以(1,2)f a λ=- 为方向向量的直线相交于点P ，问是否存在两个定点E 、F ，使得PE PF +为定值.解：由题意直线OP 、AP 的方程分别为y ax λ=、2y a ax λ-=-，当0λ≠时消去λ，得点(,)P x y 的方程为22()2y y a a x -=-，即222()211()82a y x a -+=；当0λ=时得点(0,)P a ，也在此方程上.（1）当22=a 时，方程表示圆，故不存在满足题意的定点E 、F ；（2）当202a <<或22a >时，方程表示椭圆，故存在两个定点E 、F 使得PE PF +为定值，这时E 、F 为椭圆的焦点.典型例题6.如果异面直线a 、b 所成的角为θ，P 为空间一定点，且过点P 的直线l 与a 、b 所成的角相等，设求满足条件的直线l 的条数.526解：平行平移三条直线交于一点P ，如图，设过点P 的直线l 与a 、b 所成的角均为ϕ；由题意知,(0,]2πθϕ∈，直线l 绕点P 运动变化，则（1）当02θϕ<<时，这样的直线不存在；（2）当2θϕ=时，这样的直线只有一条；（3）当22θπθϕ-<<时，这样的直线有两条；（4）当2πθϕ-=时这样的直线有3条；（5）当22πθπϕ-<<时，这样的直线有四条；（6）当2πϕ=时，这样的直线只有一条.第二节常见的数学方法简介前面介绍了宏观的数学思想方法，在具体的解题中，要用到许多微观的方法技巧.这些方法技巧有几百种之多，这里介绍几种常用的方法.一、定义法定义法，就是直接用数学定义解题.数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来.用定义法解题，是最直接的方法.典型例题1.已知{}0,1A =，}{B x x A =⊆，则下列关系正确的是.A.A ⊆BB.A ⊇BC.A∈BD.A ∉B 解：由题意{}{}{}{},0,1,0,1B =∅，由定义{}0,1A =是B 的一个元素，故选C .典型例题2.函数()y f x =存在反函数，则方程()3f x =的的零点有个.A.只有1个 B.至少1个 C.至多1个D.可以有无数个解：由题意，函数()y f x =是一一映射，根据一一映射的定义，选C .典型例题3.奇函数()f x 的最小正周期为T，求()2T f -的值.解：由奇函数的定义得()()22T T f f -=-，由周期函数的定义得()()()222T T T f f T f =-=-，所以()()22T T f f -=--，即()02T f -=.527。
数学四大思想八大方法
数学四大思想八大方法数学是一门古老而又充满魅力的学科，它的发展离不开数学家们的思想和方法。
在数学的发展过程中，形成了许多重要的思想和方法，其中最具代表性的就是数学四大思想和八大方法。
下面我们就来一一介绍一下。
首先，我们来谈谈数学四大思想。
数学四大思想是指，抽象思维、逻辑思维、直观思维和计算思维。
抽象思维是数学家在研究问题时，将具体问题抽象出来，从而得出一般性的结论。
逻辑思维是数学家在进行推理和证明时所运用的思维方式，它要求严密的逻辑推理。
直观思维是指数学家在解决问题时，常常依靠自己的直觉和想象力。
计算思维是数学家在进行计算和运算时所运用的思维方式，它要求准确和高效。
接下来，我们来介绍数学八大方法。
数学八大方法是指，归纳法、演绎法、逆证法、反证法、数学归纳法、数学演绎法、数学逆证法和数学反证法。
归纳法是从个别事实归结出一般规律的推理方法。
演绎法是从一般规律推导出个别事实的推理方法。
逆证法是通过假设与结论相反的结论来推导出矛盾，从而证明原结论的方法。
反证法是通过否定所要证明的结论的否定来得出矛盾，从而证明原结论的方法。
数学归纳法是指证明对于所有自然数n成立的方法。
数学演绎法是指从已知命题出发，推出新的命题的方法。
数学逆证法是指通过假设与结论相反的结论来推导出矛盾，从而证明原结论的方法。
数学反证法是指通过否定所要证明的结论的否定来得出矛盾，从而证明原结论的方法。
总之，数学四大思想和八大方法是数学家们在研究数学问题时所运用的重要思想和方法，它们为数学的发展做出了重要贡献。
希望我们能够在学习数学的过程中，认真学习和运用这些思想和方法，不断提高自己的数学水平。
初中数学思想方法有哪些
初中数学思想方法有哪些1.抽象思维：数学是一门抽象的科学，学生需要通过将具体问题抽象化，找到问题的本质，从而解决问题。
例如，将实际问题转化为代数方程式，通过求解方程得到答案。
2.推理思维：数学是一门严密的逻辑学科，学生需要通过推理和证明来解决问题。
推理思维包括归纳和演绎思维。
归纳思维是从特殊到一般的思考方式，通过观察到的具体情况推导出普遍的规律。
演绎思维是从一般到特殊的思考方式，通过已知的规律推导出未知的结论。
3.创造性思维：数学是一门富有创造性的学科，学生需要发散思维来解决问题。
学生应该养成从多个角度思考问题、寻找多种解决方法的习惯。
例如，在解决几何问题时，可以尝试使用不同的图形构造方法来求解。
4.反证法思维：反证法是一种常用的数学证明方法，在解决问题时可以采用。
学生可以假设问题的逆否命题成立，然后通过逻辑推理和推导得出矛盾，从而证明原问题成立。
5.模型思维：通过建立模型来解决实际问题是数学思维中的重要方法之一、模型可以是几何图形、方程式或者统计模型等，通过对模型进行分析和求解，获得问题的解答。
6.折中思维：在解决问题中，有时需要找到一个平衡点，综合考虑各种因素来确定最优解。
学生需要分析问题的各方面情况，权衡利弊，寻找最佳解决方案。
7.归纳与猜想：通过归纳已有的数据、规律和经验，进行猜想和推论，从而找到问题的解答。
学生可以通过数列、几何图形等进行观察和总结，从中找到问题的规律。
8.合作思维：数学是一门合作学科，学生应该培养合作与沟通的能力。
学生可以通过小组讨论、合作解题等方式，互相帮助、共同思考问题，从而提高解决问题的能力。
以上是初中数学思想方法的一些例子，学生通过不断练习和培养，可以逐渐培养出灵活运用这些思维方法解决数学问题的能力。
数学中的思想方法
数学中的思想方法
数学中的思想方法包括：
1. 分析思维：对问题进行分解，找出其中的关键因素，并分析它们之间的关系。
2. 抽象思维：将具体的问题抽象化，转换成数学模型或符号，以便进行推理和计算。
3. 归纳思维：通过观察和总结已有的规律和模式，得出普遍性的结论。
4. 推理思维：基于已知的事实和定理，推导出新的结论。
5. 反证法：通过假设问题的对立面，推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
6. 直觉思维：凭借一种“直觉”或“感觉”来找到解决问题的思路和方法。
7. 创造性思维：发散思维，尝试不同的方法和视角，寻找新的解决方案。
8. 形象思维：通过图形、图表等形象化的方式来理解和解决问题。
9. 比较思维：将不同的问题或对象进行比较，找出它们的共同点和差异，从而
得到更深入的理解。
10. 逆向思维：从问题的解决结果出发，反推回问题的条件和前提。
这些思维方法在数学中起到重要作用，帮助人们理解和解决各种数学问题。
同时，这些思维方法也可以应用到其他领域，培养人们的逻辑思维、创新思维和问题解决能力。
数学的思想和方法
数学的思想和方法
数学的思想和方法是指数学研究中所采用的思考方式和解决问题的途径。
它们包括以下几个方面：
1. 抽象与逻辑思维：数学的基础是抽象和逻辑思维，通过抽象可以将具体问题转化为可用数学语言描述的形式，通过逻辑思维可以进行推理和证明。
2. 归纳与演绎：数学既可通过归纳法从特例中总结出一般规律，又可以通过演绎法从已知条件推导出结论，从而建立起一套完整的数学理论体系。
3. 规范化与符号化：数学借助规范化和符号化的手段将问题和解法以严谨的形式表示出来，使得数学结果的传递和交流更为方便和准确。
4. 分析与综合：数学的思想和方法需要具备分析和综合的能力，既要能够对问题进行细致入微的分析，把复杂问题分解为简单的组成部分，又要能够将各个部分综合起来，形成整体。
5. 形式化与计算：数学思想和方法经常需要将问题形式化，即用数学符号和公式来表示问题，并通过计算来解决问题或得出结论。
6. 推理与证明：数学思想和方法需要借助推理和证明来验证推断和结论的正确性，通过建立严密的逻辑链条来证明数学命题的真伪。
总之，数学的思想和方法是建立在抽象、逻辑和严谨基础上的，通过规范化、符号化和计算等手段来分析和解决问题，同时又借助推理和证明来验证和确立数学结论。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5. 化归法（基本数学方法）
（ 1)特殊化与一般化，2)关系映射反演方法 ）
☆化归原则是指把待解决的问题，通过某种转化过 程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题 中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。
☆其过程就是将一个问题由繁化简，由难化易，由 复杂化简单，由未知化已知。
☆数学建模的过程：模型准备---模型假设---模型建立---模型求解---模 型检验---模型应用
☆ 成功的MM:
a）解释已知现象； b）预言未知现象； c）被实践所证明。
☆数学模型的意义：
a)对所研究的对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果；
b)任何一项数学的应用，主要或首先就是数学模型方法的应用。
2）关系映射反演（RMI）方法
基本思想：当处理某问题甲有困难时，可以联想适当
的映射，把问题甲及其关系结构R，映成与它有一一对 应关系，且易于考察的问题乙，在新的关系结构中问
题乙处理完毕后，再把所得到的结果，通过映射反演
到R，求得问题甲的结果。
问题甲
映射σ
问题乙
问题甲的解
映射σ-1
问题乙的解
☆RMI 方法是一种矛盾转化的方法，它可以化繁为简，化难为 易，化生为熟，化未知为已知，因而是数学中应用非常广泛的 一种方法，数学中许多方法都属于RMI方法，例如，分割法、 函数法、坐标法、换元法、复数法、向量法、参数法等。
数学归纳法用于证明。 例子：证明数列
2, 2 2 , 2 2 2 ,, 2 2 2 2 2 .
，
单调增加有上界。
，
。
《数学思想与数学文化》之第三讲——
数学思想方法介绍(续)
4．数学构造法（基本数学方法）
☆数学构造法---数学中的概念或方法按固定的方式 经有限步骤能够定义或实现的方法。 ☆应用---构造概念、图形、公式、算法、方程、函 数、反例、命题等。 ☆构造法在数学中的地位不仅古老，而且重要。 ☆ 例子
数学证明的重要方法 ◆ 反证法与同一法 ◆ 数学归纳法
中学数学中几种常用的具体方法 ◆ 待定系数法 ◆ 配方法 ◆ 基本量法 ◆ 递推法
三. 几类常用的数学思想方法介绍
有人这样给数学思想方法分类： 1. 操作性思想方法
例如：换元法、配方法、待定系数法、割补法、构造 法等； 2. 逻辑性思想方法
例如：抽象、概括、分析、综合、演绎等； 3 .策略性思想方法
1）求一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)的根。 2）求两个正整数最大公因数的欧几里德辗转相除法。
3）勾股定理（毕氏定理）。
宋刻本《周髀算经》， （上海图书馆藏）
第24届“国际数学家大 会”会标
例子： 4）导数的概念。 5）定积分的概念。 练习： 1. 求证在任何两个有理数a和b之间一定还有有理数。 2. 有没有2000个连续自然数，它们都是合数？ 3. 证明：素数的个数是无穷的。 4. 求证：对于定义域包含于实数集且关于原点对称的任何函数f(x)
（2）若命题P在特殊条件下为假，则在一般条件下P也为假。
☆特殊化方法---在研究一个给定集合的性质时，先研究某些个 体或子集的性质，从中发现每个个体都具有的特性后，再猜想 给定集合的性质，最后用严格的逻辑推理论证猜测的正确性；
☆一般化方法---在研究一个给定集合的性质时，先研究包含该 集合的较大集合的性质，从中发现较大集合所具有的性质，再 根据特殊化与一般化的依据（1）推出所要证明的命题。
参考文献
[1] 王子兴．数学方法论．中南工业大学出版社．2002 [2] 徐利治．数学方法论选讲（第三版）．华中理工大学 出版社．2000 [3] 姜启源等．数学模型（第三版）．高等教育出版 社．2003
几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多 概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。然 而，1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖 论”，矛头直指几何概率概念本身： 在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，求该 弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。从 不同方面考虑，可得不同结果： ⑴．由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直 于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与 3/4 点 间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交 点是等可能的,则所求概率为1/2 。 2) 由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过 此端点的切线的交角在60°～ 120° 之间，其长才合乎 要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 。 3) 弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径 缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都 是等可能的,则所求概率为1/4。 这导致同一事件有不同概率，因此为悖论。 而此悖论在提出概率公理化后发现根本都不是问题！！
《数学思想与数学文化》
数学思想方法介绍
内容
一.前言 二.中学数学中常用的数学方法 三.几类常用的数学思想方法介绍
1.演绎法或公理化方法 2.类比法 3.归纳法与数学归纳法 4.数学构造法 5.化归法 6.数学模型方法
附：参考文献
一. 前 言
☆ 数学思想---对数学的知识内容和所使用的方法的本质 认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，而在 后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和 相对稳定的特征，是对数学规律的理性认识。 ☆ 数学方法---以数学为工具进行科学研究的方法，即用 数学的语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运 算与分析，以形成解释、判断和预言的方法。 ☆ 二者关系--- 数学思想直接支配着数学的实践活动。数 学方法是数学思想具体化的反映。简言之，数学思想是数 学的灵魂，数学方法是数学行为，数学思想对数学方法起 指导作用。
☆RMI方法不仅是数学中应用广泛的方法，而且可以拓展到人 文社会科学中去。例如，哲学家处理现实问题的思想方法，就 可以看作RMI方法的拓展 （客观物质世界---哲学家的思维---哲 学理论体系---解决客观世界的现实问题）。
例1. 证明方程(m+1)x4-(3m+3)x3-2mx2+18m=0， 对任何实数m都有一个共同的实数解，并求此实数解。
1777年法国科学家布丰提出的一种 计算圆周率的方法——随机投针法， 即著名的布丰投针问题。这一方法的 步骤是：
1) 取一张白纸，在上面画上许多 条间距为d的平行线；
2) 取一根长度为l（l<d） 的针， 随机地向画有平行直线的纸上掷n次， 观察针与直线相交的次数，记为m；
3）计算针与直线相交的概率．
例2.计算p=a1/3b1/7 数值。（对数）
（原像关系---映像关系---求得映像的值---求得原像的值）
例3.用解析几何方法处理平面几何问题。
（几何关系问题---代数关系问题---求出某些代数关系---确定某种 几何关系）
6. 数学模型方法（基本数学方法）
☆数学模型（MM）---针对或参照某种事物系统的特征 或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近 似地表述出来的一种数学结构。
例如：方程与函数、化归、猜想、数形结合、整体与 系统等。
事实上，数学思想方法是有层次的。
操作性思想方法、逻辑性思想方法、策略性思想方法，从思维的
角度上看，层次是逐渐上升的。
1. 演绎法或公理化方法（逻辑思维方法）
☆演绎法是由一般到特殊的推理，它在逻辑上的依据 是三段论。 ☆演绎法的重要性：1）数学理论都是用演绎推理组织 起来的；2）它能超越技术与仪器的限制。 ☆演绎法的基本构件：定义（概念）、公理和定理。 ☆公理化方法的例子： 欧几里德《几何原本》，希尔伯特《几何学基础》 柯尔莫哥洛夫《概率论基础》 ZFC《公理化集合论》
◆数学方法具有三个基本特征： （1）高度的抽象性和概括性； （2）精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性； （3）应用的普遍性和可操作性。
◆数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用： （1）提供简洁精确的形式化语言； （2）提供数量分析及计算的方法； （3）提供逻辑推理的工具。
二. 中学数学中常用的数学方法
☆精彩范例：
力学：牛顿万有引力定律； 电磁学：麦克斯韦方程组； 化学：门捷列夫元素周期表； 生物学：孟德尔遗传定律…
☆数学模型应用日益广泛的原因：
a) 社会生活的各个方面日益数量化； b) 计算机的发展为精确化提供了条件； c) 很多无法试验或费用很大的试验问题，用数学模型进行研究是一 条
捷径。
附：
3）同态与同构 4）数的概念的扩充 5）多项式理论与整数理论的类比 整数
＋、－ 、× 带余除法 算术基本定理
多项式
＋、－ 、× 带余除法 代数基本定理
3. 归纳法（逻辑学中的方法）
与数学归纳法（数学中的一般方法）
☆归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的 一种思维方法。归纳法是实验科学最基本的方法。 归纳法的特点：1）立足于观察和实验；2）结论具有猜 测的性质；3）结论超越了前提所包含的内容。 归纳法用于猜测和推断。 例子：1) Fermat数(1640年，Fn=22n+1, Fermat素数：3，5， 17，257，65537)；
2)Goldbach猜想（1742年）。
☆数学归纳法：P(n)是一个含有自然数n的命题， 如果（1）P(n) 当n=1时成立； （2）若P(k)成立的假定下，则P(k+1)也成立。 那么P(n)对任意自然数n都成立。 这两个步骤，（1）称为归纳起点，（2）称为归纳推断。
数学归纳法是一种完全归纳法，其应用范围及其广泛。
数学研究的基本方法 ◆ 数学抽象方法 ◆ 数学模型方法 ◆ 数学研究活动的一般方法
数学中的逻辑方法 ◆ 数学定义方法 ◆ 逻辑划分方法 ◆ 数学公理化方法
数学解题的思维方法 ◆ 数学推理方法（演绎法、 归纳法、类比法） ◆ 分析法与综合法 ◆ 数学实验方法 ◆ 数形结合方法 ◆ 关系影射反演原则（换 元法、初等变换方法）