《运筹学》期末考试试题及参考答案

《运筹学》试题参考答案

一、填空题（每空2分，共10分）

1、在线性规划问题中，称满足所有约束条件方程和非负限制的解为 可行解 。

2、在线性规划问题中，图解法适合用于处理 变量 为两个的线性规划问题。

3、求解不平衡的运输问题的基本思想是 设立虚供地或虚需求点，化为供求平衡的标准形式 。

4、在图论中，称 无圈的 连通图为树。

5、运输问题中求初始基本可行解的方法通常有 最小费用法 、 西北角法 两种方法。

二、（每小题5分，共10分）用图解法求解下列线性规划问题： 1）max z = 6x 1+4x 2

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≤≤+≤+0

7810

22122121x x x x x x x ， 解：此题在“《运筹学》复习参考资料.doc ”中已有，不再重复。 2）min z =－3x 1+2x 2

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧≥≤-≤-≤+-≤+0

,1

37210

42242212

1212121x x x x x x x x x x 解：

⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹、⑺

⑴

⑵ ⑶ ⑷ ⑸、⑹

可行解域为abcda ，最优解为b 点。

由方程组⎩

⎨⎧==+022

42221x x x 解出x 1=11，x 2=0

∴X *=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21x x =（11，0）T ∴min z =－3×11+2×0=－33

三、（15分）某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A 、B 、C 三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示：

A B C 甲 9 4 3 70 乙 4 6 10 120

360

200

300

1）建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型；（5分）

2）用单纯形法求该问题的最优解。（10分） 解：1）建立线性规划数学模型：

设甲、乙产品的生产数量应为x 1、x 2，则x 1、x 2≥0，设z 是产品售后的总利润，则

max z =70x 1+120x 2

s.t.

⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧≥≤+≤+≤+0

30010320064360

4921212121x x x x x x x x ， 2）用单纯形法求最优解：

加入松弛变量x 3，x 4，x 5，得到等效的标准模型：

max z =70x 1+120x 2+0 x 3+0 x 4+0 x 5

s.t.

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨⎧=≥=++=++=++5,...,2,1,0300103200643604952142

13

21j x x x x x x x x x x j 列表计算如下：

∴X *=（11，11，11

，0，0）T

∴max z =70×11100+120×11300=11

43000

四、（10分）用大M 法或对偶单纯形法求解如下线性规划模型：

min z =5x 1＋2x 2＋4x 3

⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥++≥++0,,105364

233

21321321x x x x x x x x x

解：用大M 法，先化为等效的标准模型：

max z / =－5x 1－2x 2－4x 3 s.t.

⎪⎩⎪

⎨⎧=≥=-++=-++5,...,2,1,010********

214321j y x x x x x x x x j

增加人工变量x 6、x 7，得到：

max z / =－5x 1－2x 2－4x 3－M x 6－M x 7 s.t

⎪⎩⎪

⎨⎧=≥=+-++=+-++7,...,2,1,010*********

2164321j x x x x x x x x x x x j

大M 法单纯形表求解过程如下：

∴x *

=（3

2

，2，0，0，0）T

最优目标函数值min z =－max z / =－（－3

22）=3

22

五、（15分）给定下列运输问题：（表中数据为产地A i 到销地B j 的单位运费）

1）用最小费用法求初始运输方案，并写出相应的总运费；（5分） 2）用1）得到的基本可行解，继续迭代求该问题的最优解。（10分） 解：用“表上作业法”求解。

1）先用最小费用法（最小元素法）求此问题的初始基本可行解：

∴初始方案：

Z=1×8+2×2+6×2+5×18+10×20+11×10=424

2

18

B 3

B 4

A 2

20

10

B 2

B 3

A 3

8

2

B 1

B 2

A 1

2）①用闭回路法，求检验数：

∵34σ=1＞0，其余j σ≤0 ∴选34x 作为入基变量迭代调整。 ②用表上闭回路法进行迭代调整：

调整后，从上表可看出，所有检验数j σ≤0，已得最优解。 ∴最优方案为：

最小运费Z=1×8+2×2+6×12+5×8+10×20+9×10=414

六、（8分）有甲、乙、丙、丁四个人，要分别指派他们完成A 、B 、C 、D 四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示：

问：应该如何指派，才能使总的消耗时间为最少？

解：用 “匈牙利法”求解。 效率矩阵表示为：

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛913

15

4

1116141381441579102

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

59

11

05324100115780

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭⎫ ⎝

⎛54

12

00)0(3245)0(11

528)0(**

12

8

B 3

B 4

A 2

20

10

B 2

B 4

A 3

8

2

B 1

B 2

A 1

√ √