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圆锥曲线定义的应用

一、基本知识概要

1、 知识精讲：

涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形，常用第一定义结合正余弦定理； 涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统一的定义。 椭圆的定义：点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；

双曲线的定义：点集M={P|︱|PF 1|-|PF 2|︱=2a ， |)|2(21F F a < }的点的轨迹。 抛物线的定义：到一个定点Ｆ的距离与到一条得直线Ｌ的距离相等的点的轨迹．

统一定义：M={P|

e d

PF

=，}0＜e ＜1为椭圆，e>1为双曲线，e ＝1为抛物线 重点、难点：培养运用定义解题的意识 2、 思维方式：等价转换思想，数形结合 特别注意：圆锥曲线各自定义的区别与联系 二、例题选讲

例1 、 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别为1和2，且|O 1O 2|=4，动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线。

解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为轴建立平面直角坐标系。由|O 1O 2|=4有O 1（-2，0），O 2

（2，0）。设动圆的半径为r 。由动圆M 与圆O 1内切有|MO 1|=|r-1|. 由动圆M 与圆O 2内切有|MO 2|=r+2。∴|MO 1|+|MO 2|=3或|MO 1|-|MO 2|=-3,∵|O 1O 2|=4∴|MO 1|-|MO 2|= -3∴M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，长轴为3的双曲

线的左支。所以M 的轨迹方程为17

4942

2=-y x （x<0） [思维点拔]利用圆锥曲线定义求轨迹是一种常用的方法

变式练习：F 1、F ２是椭圆122

22=+b

y a x （a>b>0）的两焦点，P 是椭圆上任一点, 从任一焦点引∠F 1PF 2

的外角平分线的垂线，垂足为Q 的轨迹为（ ）

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A

等腰三角形APF 1中，a PF PF PF AP AF AP PF 2

21221=+=+==∴从而 a AF OQ ==

∴22

1

选A 例２：已知双曲线122

22=-b

y a x （a ＞０，b ＞０），Ｐ为双曲线上任一点，∠F 1PF 2=θ, 求ΔF 1PF 2的面积．

解：在ΔF 1PF 2中，由三角形面积公式和余弦定理得ＳΔF1PF2＝

2

1｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ２｜sin θ ①(2c)2

＝｜

ＰＦ1｜2+｜ＰＦ２｜2

-2｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ２｜cos θ ②由双曲线的定义可得｜ＰＦ1｜-｜ＰＦ２｜=2a, 即｜Ｐ

Ｆ1｜2

+｜ＰＦ２｜2

-2｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ２｜=4a 2

③ 由②③得｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ２｜=θ

cos 122

-b ④ 将④①代

入得ＳΔF1PF2＝b 2

θθcos 1sin -=b 2cot 2θ,所以双曲线的焦点三角形的面积为b 2cot 2

θ

．

[思维点拔]焦点三角形中，通常用定义和正余弦定理

例３：已知Ａ（211，３）为一定点，Ｆ为双曲线

12792

2=-y x 的右焦点，Ｍ在双曲线右支上移动，当｜ＡＭ｜＋

2

1

｜ＭＦ｜最小时，求Ｍ点的坐标． 解：∵过Ｍ作ＭＰ准线于点Ｐ，则21｜ＭＦ｜＝｜ＭＰ｜，∴｜ＡＭ｜＋2

1

｜ＭＦ｜＝｜ＡＭ｜＋｜Ｍ

Ｐ｜≤｜ＡＰ｜．当且公当Ａ、Ｍ、Ｐ三点共线时，｜ＡＭ｜＋2

1

｜ＭＦ｜最小。此时Ｍ（32，３）。

[思维点拔]距离和差最值问题，常利用三角形两边之和差与第三边之间的关系. 1

2

数量关系用定义来进行转换

变式：设Ｐ（x,y ）是椭圆122

22=+b

y a x （a>b>0）上一点，Ｆ1、Ｆ２为椭圆的两焦点，求｜ＰＦ1｜·｜

ＰＦ２｜的最大值和最小值。

解：由椭圆第二定义知｜ＰＦ1｜＝a+ex,｜ＰＦ2｜＝a-e x , 则｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ２｜=a 2-e 2x 2,而0≤x 2≤a 2

,所

以｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ２｜的最大值为a 2，最小值为b 2

。

例4．过抛物线y 2

＝2px 的焦点F 任作一条直线m ，交这抛物线于P 1、P 2两点，求证：以P 1P 2为直径的圆和这抛物线的准线相切．

分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．

证明：如图2-17．设P 1P 2的中点为P 0，过P 1、P 0、P 2分别向准线l 引垂线P 1Q 1，P 0Q 0，P 2Q 2，垂足为Q 1、Q 0、Q 2，则

｜P 1F ｜＝｜P 1Q 1｜，｜P 2F ｜＝｜P 2Q 2｜ ∴｜P 1P 2｜＝｜P 1F ｜＋｜P 2F ｜ ＝｜P 1Q 1｜＋｜P 2Q 2｜＝2｜P 0Q 0｜

所以P 0Q 0是以P 1P 2为直径的圆P 0的半径，且P 0Q 0⊥l ，因而圆P 0和准线l 相切．

[思维点拔]以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切．类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离；以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．以上结论均可用第二定义证明之．

变式：求证：以双曲线的任意焦半径为直径的圆，与以实轴为直径的圆相切．