(2020届)天津市(红桥区)高三第一次模拟考试(数学)含答案
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注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号。 2．本卷共 9 题，每小题 5 分，共 45 分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知全集U = {1, 2,3, 4,5} , 集合 M = {3, 4,5} , N = {1, 2,5} , 则集合{1, 2} 可以表示为
（Ⅰ）求数列 {an}和 {bn}的通项公式；
2, n为奇数
（Ⅱ）令 cn
=
− 2an bn
，n为偶数
，求数列的 {cn}前项
n
和ຫໍສະໝຸດ BaiduTn
．
（20）（本小题满分15 分） 已知函数 f (x) = x2 + 2x + a ln x .
（Ⅰ）若函数 f (x) 在区间 (0，1]为单调函数，求实数 a 的取值范围；
2
平移 π 个单位后得到一个偶函数，则ϕ 的一个可能取值为
8
3π
(A)
4
π
(B)
4
(C) 0
(D) − π 4
（6）在△ABC 中，“ Α > π ”是“ cos Α < 1 ”的
3
2
(A) 充分不必要条件 (C) 充要条件
(B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件
（7）已知一个口袋中装有 3 个红球和 2 个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两 个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ ，则 ξ 的期
（9）如图所示，在菱形 ABCD 中， AB = 1， ∠DAB = 60 ， E 为 CD 的中点，则 AB ⋅ AE 的值是
(A) 1 (C) 2
(B) −1 (D) −2
二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分．
（10）若 i 是虚数单位，则 2 = .
D
E
C
1+ i
4
3
（17）（本小题满分15 分） 如图，在四棱锥 P − ABCD 中，PD = 2 AD , PD ⊥ CD , PD ⊥ AD ,底面 ABCD 为正方形，
M , N 分别为 AD, PD 的中点. （Ⅰ）证明： PA //平面 MNC ； （Ⅱ）求直线 PB 与平面 MNC 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角 M − NC − D 的余弦值.
(A) (0.5,1)
(B) (1,1.5)
(C) (1.5, 2)
(D) (2, 2.5)
（4）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
1
(A) π
π
(B)
4
π
(C)
2
3π
(D)
4
（5）已知函数 y = sin(ωx + ϕ )的两条相邻的对称轴的间距为 π ，现将 y = sin(ωx + ϕ )的图像向左
（11）函数 f (x) = x2 ⋅ ex 单调减区间是.
（12）过原点且倾斜角为 60 的直线被圆 x2 + y2 − 4 y = 0 所
A
B
截得的弦长为.
（13） (2 x − 1 )6 的二项展开式中的常数项为.（用数字作答） x
（14）若 4x + 4y = 1，则 x + y 的取值范围是.
红桥区 2020 届高三第一次模拟考试
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。答 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时， 务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。 祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
(A) M N
(B) (CU M ) N
(C) M (CU N )
(D) (CU M ) (CU N )
（2）下列函数中，既是奇函数又在区间 (0, +∞) 上单调递减的是
(A) y = −x2 +1
(B) y = 1 x
(C) y = 2−x
(D) y = ln x
（3）方程 log2 x + x = 2 的解所在的区间为
望为
9
(A)
5
18
(B)
5
6
(C)
5
24
(D)
5
（8）已知双曲线 x2 − y2 = 1与抛物线 y2 = 8x 的一个交点为 P ， F 为抛物线的焦点，若 PF = 5 ， m
则双曲线的渐近线方程为
(A) x ± 2 y = 0
(B) 2x ± y =0
2
(C) 3x ± y =0
(D) x ± 3y = 0
2
1 x3 + m 与 3
三、解答题：本大题共 5 个小题，共 75 分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（16）（本小题满分15 分） 设 ∆ABC 的内角 A ， B ， C 所对边的长分别是 a ， b ， c ，且 b = 3 ， c = 4 ， C = 2B .
（Ⅰ）求 cos B 的值； （Ⅱ）求 sin(2B − π ) 的值．
P
4
N
D M A
C B
（18）（本小题满分15 分）
已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1(a >b > 0)
的离心率
e
=
2 ,且右焦点到直线 x− y +2 = 0 的距离为 2
2 2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）四边形
ABCD
的顶点在椭圆上，且对角线
AC,
BD
过原点 O
,若 k AC
⋅ kBD
=
−
b2 a2
（15）设 f (x) 与 g(x) 是定义在同一区间[a ，b] 上的两个函数，若函数 h= (x) f (x) − g(x) 在[a ，b]
上 有 两 个 不 同 的 零 点 ， 则 称 f (x) 与 g(x) 在 [a ，b] 上 是 “ 关 联 函 数 ”． 若 f = (x) g= (x) 1 x2 + 2x 在[0 ，3] 上是“关联函数”，则实数 m 的取值范围是.
，
证明：四边形 ABCD 的面积为定值.
5
（19）（本小题满分15 分）
已 知 数 列 {an} 是 等 差 数 列 ， 其 前 n 项 和 为 Sn ， 数 列 {bn} 是 公 比 大 于 0 的 等 比 数 列 ， 且
b1 = −2a1 = 2 ， a3 + b2 = −1 ， S3 + 2b3 = 7 ．
（Ⅱ）当 m ≥ 1时，不等式 f (2m −1) ≥ 2 f (m) − 3 恒成立，求实数 a 的取值范围．
6
高三数学 参考答案
一、选择题 每题 5 分
题号
1
2
3
4
5
答案
B
B
B
D
B
二、填空题 每题 5 分
后，再选涂其他答案标号。 2．本卷共 9 题，每小题 5 分，共 45 分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知全集U = {1, 2,3, 4,5} , 集合 M = {3, 4,5} , N = {1, 2,5} , 则集合{1, 2} 可以表示为
（Ⅰ）求数列 {an}和 {bn}的通项公式；
2, n为奇数
（Ⅱ）令 cn
=
− 2an bn
，n为偶数
，求数列的 {cn}前项
n
和ຫໍສະໝຸດ BaiduTn
．
（20）（本小题满分15 分） 已知函数 f (x) = x2 + 2x + a ln x .
（Ⅰ）若函数 f (x) 在区间 (0，1]为单调函数，求实数 a 的取值范围；
2
平移 π 个单位后得到一个偶函数，则ϕ 的一个可能取值为
8
3π
(A)
4
π
(B)
4
(C) 0
(D) − π 4
（6）在△ABC 中，“ Α > π ”是“ cos Α < 1 ”的
3
2
(A) 充分不必要条件 (C) 充要条件
(B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件
（7）已知一个口袋中装有 3 个红球和 2 个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两 个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ ，则 ξ 的期
（9）如图所示，在菱形 ABCD 中， AB = 1， ∠DAB = 60 ， E 为 CD 的中点，则 AB ⋅ AE 的值是
(A) 1 (C) 2
(B) −1 (D) −2
二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分．
（10）若 i 是虚数单位，则 2 = .
D
E
C
1+ i
4
3
（17）（本小题满分15 分） 如图，在四棱锥 P − ABCD 中，PD = 2 AD , PD ⊥ CD , PD ⊥ AD ,底面 ABCD 为正方形，
M , N 分别为 AD, PD 的中点. （Ⅰ）证明： PA //平面 MNC ； （Ⅱ）求直线 PB 与平面 MNC 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角 M − NC − D 的余弦值.
(A) (0.5,1)
(B) (1,1.5)
(C) (1.5, 2)
(D) (2, 2.5)
（4）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
1
(A) π
π
(B)
4
π
(C)
2
3π
(D)
4
（5）已知函数 y = sin(ωx + ϕ )的两条相邻的对称轴的间距为 π ，现将 y = sin(ωx + ϕ )的图像向左
（11）函数 f (x) = x2 ⋅ ex 单调减区间是.
（12）过原点且倾斜角为 60 的直线被圆 x2 + y2 − 4 y = 0 所
A
B
截得的弦长为.
（13） (2 x − 1 )6 的二项展开式中的常数项为.（用数字作答） x
（14）若 4x + 4y = 1，则 x + y 的取值范围是.
红桥区 2020 届高三第一次模拟考试
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。答 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时， 务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。 祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
(A) M N
(B) (CU M ) N
(C) M (CU N )
(D) (CU M ) (CU N )
（2）下列函数中，既是奇函数又在区间 (0, +∞) 上单调递减的是
(A) y = −x2 +1
(B) y = 1 x
(C) y = 2−x
(D) y = ln x
（3）方程 log2 x + x = 2 的解所在的区间为
望为
9
(A)
5
18
(B)
5
6
(C)
5
24
(D)
5
（8）已知双曲线 x2 − y2 = 1与抛物线 y2 = 8x 的一个交点为 P ， F 为抛物线的焦点，若 PF = 5 ， m
则双曲线的渐近线方程为
(A) x ± 2 y = 0
(B) 2x ± y =0
2
(C) 3x ± y =0
(D) x ± 3y = 0
2
1 x3 + m 与 3
三、解答题：本大题共 5 个小题，共 75 分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（16）（本小题满分15 分） 设 ∆ABC 的内角 A ， B ， C 所对边的长分别是 a ， b ， c ，且 b = 3 ， c = 4 ， C = 2B .
（Ⅰ）求 cos B 的值； （Ⅱ）求 sin(2B − π ) 的值．
P
4
N
D M A
C B
（18）（本小题满分15 分）
已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1(a >b > 0)
的离心率
e
=
2 ,且右焦点到直线 x− y +2 = 0 的距离为 2
2 2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）四边形
ABCD
的顶点在椭圆上，且对角线
AC,
BD
过原点 O
,若 k AC
⋅ kBD
=
−
b2 a2
（15）设 f (x) 与 g(x) 是定义在同一区间[a ，b] 上的两个函数，若函数 h= (x) f (x) − g(x) 在[a ，b]
上 有 两 个 不 同 的 零 点 ， 则 称 f (x) 与 g(x) 在 [a ，b] 上 是 “ 关 联 函 数 ”． 若 f = (x) g= (x) 1 x2 + 2x 在[0 ，3] 上是“关联函数”，则实数 m 的取值范围是.
，
证明：四边形 ABCD 的面积为定值.
5
（19）（本小题满分15 分）
已 知 数 列 {an} 是 等 差 数 列 ， 其 前 n 项 和 为 Sn ， 数 列 {bn} 是 公 比 大 于 0 的 等 比 数 列 ， 且
b1 = −2a1 = 2 ， a3 + b2 = −1 ， S3 + 2b3 = 7 ．
（Ⅱ）当 m ≥ 1时，不等式 f (2m −1) ≥ 2 f (m) − 3 恒成立，求实数 a 的取值范围．
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高三数学 参考答案
一、选择题 每题 5 分
题号
1
2
3
4
5
答案
B
B
B
D
B
二、填空题 每题 5 分