OnDefaultCorrelation债务违约相关性的度量

•
1
(t) ( ln t) ,[1](s) es , 1
• （3）Frank Copula:
(t)
ln
e t e
1 1
,
先来看一个未使用各个信用资产相关性数据的例子：
而更有效的一个方法是：
• 相关度 是什么变量的相关度？
而传统意义上的违约概率相关度是： 先用Copula函数的结论得出资产组合的概率密度函数
• 对于任意一项信用资产，“距违约时间”的分布构成了该项信 用资产的“违约期限结构”。
违约期限结构的表现形式——信用曲线
先做一些定义： • 连续随机变量“距违约时间”T（time-until-default） ，
它表示从现在到违约(default)事件发生时的时间长度。 • F(t)表示在t时刻已经违约的概率 • S(t) 表示在t时刻还没有违约的概率，它也被称为生存
distinguishing risk and uncertainty
夫子自道
• “People got very excited about the Gaussian copula because of its mathematical elegance, but the thing never worked. Co-association between securities is not measurable using correlation”; in other words because past history is not predictive of the future. “Anything that relies on correlation is charlatanism(庸医术)."
• Four categories of problem can be distinguished:
• Short observation periods • Non-normal distributions • Systemic versus idiosyncratic risk • Non-independence of future events;
弱点：假设违约只在债务到期日才发生 。
First-Default模型
认为违约事件应该发生在公司资产价值第一次低于违约边界 的时候，而不是债务到期日。
一个例子：【我没看懂(╯﹏╰)】
根据B-S定价公式，假设公司资产价值At 服从对数正态分布，
违约边界为固定值D（它不必是债务总额），则从目前到时 刻t这段时间，公司的生存概率S(t)可以用下列公式得到：
X ,Y C 4
C(u, v)dC(u, v) 1
[0,1]2
• 若U,V为[0,1]上均匀分布的随机变量，其 联合分布函数恰为C，则：
X ,Y 4
C(u, v)dC(u, v) 1 4E[C(U,V )] 1
[0,1]2
·将Spearman’s rho引入Copula函数： 连续随机变量(X.Y)，其Copula函数为C，
• 现在定义信用曲线（credit curve），它是危险率函 数的图形表示，代表信用资产在不同时刻的条件违 约概率密度。有了信用曲线，就可以计算不同资产 的违约相关性。
传统上获得信用曲线的方法一般有三种：
第一，从评级机构的历史数据中获得。
第二，使用布莱克－舒尔茨方法，将股票看作一个公司的看涨期 权，用这个架构可以获得n期的违约概率，然后将其转换为危险率 函数。
• a.当前的市场信息反映了所有投资者对未来该公司 收益或损失的一致性预期，而投资者的直接损益是 取决于这种一致性预期，而非历史违约数据。
• b.评级公司给证券打等第，只看到ABCD，但这可能 丧失一些公司特有的信息；只有做出了credit curve 才能完全反应公司特有的信息。
• c.评级公司反应往往滞后于市场反应。 • d.评级者只考虑违约的频率，而投资者的损失与违
再 算 边 际 概 率 密 度
再代入：
Copula函数分布很适合利用蒙特卡罗模拟来实现。例如，模拟 正态Copula函数的步骤如下：
1. 产生均值为0，相关系数矩阵为 的正态随机数向量 Z1,..., ZN
2. 将正态随机变量转换为均匀随机变量： Ui (Zi ), I 1,…, N
3. 根据所希望的边缘分布函数转换均匀随机变量：
其中
S(t) P( X s 0, 0 s t | X0)
N ( X0 mt ) e2mX0 N ( X0 mt )
t
t
由此可X以0 计log算A0出资log产D 的, m信 (用 曲 线。2 / 2)
/ ，而h(t)
f 1
(t) F (t)
S ' (t) S (t )
• 李祥林支持使用“市场信息”(譬如股价)的方法， 理由：
约的频率frequency和严重度severity都相关。
• 但是李祥林自己计算危险率的方法……？
• 见诸the paper unavailable online: “constructing a credit curve”,1998, credit risk.
• 总之，他得到了一个hazard rate function.
函数（survival function）。根据函数的定义，可以得到：
F(t) Pr(T t), S(t) 1 F(t) Pr(T t)
可见F(t)其实就是生存时间T的累积分布函数。
违约期限结构的表现形式——信用曲线
• 根据古典概率的定义，在精确的时间点t发生事件的概 率几乎为0。但是我们可以讨论在一个小的时间间隔t到t ＋Δt之间发生违约的概率，即Pr（t<=T<t＋Δt）。我们 必须把这个概率建立在t时间之前没有发生违约的基础 上（即条件概率），这是因为如果信用资产在t时间时 已经发生违约了，那么它就不会在t到t＋Δt之间发生违 约了 ，故而需要用Pr（t<=T<t＋Δt|T>=t）。
[ 0 ,1]2
Var(U ) Var(V )
最后，我们可以看到一些intuitively correct的结论
梳理一下思路
资产价值相关性、违约概率相关性、距违约时间的相关性 资产组合的距违约时间的分布函数 Copula,注意区别不同的相关度 单个资产的距违约时间的分布函数 单个资产的各期危险率
传统违约概率相关度计算方法之不足
• 传统上计算违约率相关度的方法就是计算两资产违约率的相关 系数，譬如：
这里计算该相关系数用到的qA, qB就是当年度的违约率。 • 可是实证研究发现，a.公司债的违约概率与其在市场上交易的
时间长度是相关的；b.经济周期的起伏涨落显然与违约概率的 高低变化相关，但是经济周期不是简单地、一年一年地推进， 用某一年的违约率相关系数作为下一年违约率相关度的估计就 不太合适了；c.为了合理估测资产价值，人们需要计算接下来 十年、二十年直到完全偿付为止所有资产的违约相关度，而非 仅仅一年的违约率相关度。这些都对传统的违约了相关系数计 算方法提出了挑战。
怎么算危险率？穆迪评级方法、期权定价方法、unavailable方法
最后，我们可以看到一些intuitively correct的结论
最后，我们可以看到一些intuitively correct的结论
Professor Paul Embrechts commented on the failure of such a delicate model:
• 对于Pr（t<=T<t＋Δt|T>=t），Δt越长，那么在这个间隔 内发生违约的可能性越大。因此我们需要使之标准化， 即把它除以Δt。
• 由于我们要用危险函数确定的是在t时间发生违约的瞬 间风险，而不是在t到t＋Δt间隔时间，因此我们让Δt越 来越小，直到极限，因此最后形成了下边这个h(t)函数 公式。
件违约概率密度。有下列等式成立： h(x) f (x) S '(x)
1 F(x) S(x)
从而可以得到：
t
S
(t)
h(s)ds
e 0
而
t
f (t) h(x)(1 F (x)) h(x)S(t) h(x)e0h(s)ds
违约期限结构的表现形式——信用曲线
• 危险率是发生违约的“瞬间”风险。根据最新的各 类信息不断地确定资产的信用状态，这里隐含了盯 住市场的思想。
则X,Y的Spearman’s rho为：
X ,Y C 12
uvdC(u, v) 3 12
[0,1]2
C(u, v)dudv 3
[0,1]2
• 若U,V为[0,1]上均匀分布的随机变量， 其联合分布函数恰为C，则：
X ,Y 12
E(UV ) E(U )E(V )
uvdC(u, v) 3 12E(UV ) 3
违约期限结构的表现形式——信用曲线
资产在时刻没有违约的情况下，在时段 x内违约的概率：
Pr[x T x x | T x] F (x x) F (x) f (x)x
1 F(x)
1 F(x)
除以Δx 示条
之后定义 h(x)
f (x) 1 F(x)
为危险率(hazard
rate)函数，它表
X i Fi1(Ui ), I=1, ,N.
这里的Copula函数为： C(u1,...,uN ) (1(u1),..., 1(uN ))
况且这里的 与Copula的关系是固定的：
• 将Kendall’s tau引入Copula函数： • 连续随机变量(X，Y)，其Copula函数为C，
则 (X，Y)的Kendall’s tau为：
• Recall:计算危险率，是为了计算相关度，同时导出资产组 合内“距违约时间”的联合概率分布。
• 非线性相关的随机变量的联合分布怎么写？