使用_商不变的规律
《利用商不变的规律进行除法的简便计算》课件PPT 省一等奖课件
全课总结 提问：什么样的题目可以运用商不变的 规律进行简便计算? 计算时要注意什么?
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附赠 中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许 多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺 目的星星那样遥不可及。但实际上他们和 我们每一个同学都一样平凡而普通，但他 们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之 处就是在学习方面有一些独到的个性，又 有着一些共性，而这些对在校的同学尤其 是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
“用好课堂40分钟最重要。我的经验是，哪怕 是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯 定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容， 有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真， 但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真， 后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可 能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是 基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内 容。”常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试 题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因 正在于试题多为基础题，对上了自己的“口 味”。
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分 物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
“我坚持做好每天的预习、复习，每 天放学回家看半小时报纸，晚上10： 30休息，感觉很轻松地度过了三年 高中学习。”当得知自己的高考成 绩后，格致中学的武亦文遗憾地说 道，“平时模拟考试时，自己总有 一门满分，这次高考却没有出现， 有些遗憾。”
利用商不变的规律可以把一些比较复杂的除 法计算转化成简单的除法计算，使计算更简 便。这节课我们就学习这种简便计算的方法。
商不变的规律
（3）被除数24扩大10倍，除数4 增加10，商不变。
×
(4) (18 × 2)÷(6 × 3)=3
(5) (18 × 2)÷(6 ÷ 3)=3
( )
( )
填空
(1) 2400 ÷400=6,被除数缩小100倍，要 想使尚不变
400÷25 =（400×4） ÷ （25 × 4）
= 1600 ÷ 100
4800缩小2倍是( 2400 ) 800缩小（
2
）倍是 400
4800缩小（20）倍是 240 800缩小（
20 ）倍是 40
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饱肚子一样。南方人吃米饭养成了生活习惯，在胃里就形成偏向消化米饭的酶，所以，他们吃米饭感到舒服，而我们北方人吃面食感到舒 坦。这个是我最近研究的科研成果。”江文轩似乎分析得头头是道，而且这么快就出科研成果了，这当然是老乡之间的玩笑话。江文轩 “分析家”的美名由此而产生。马启明告诉江文轩，他们夫妻俩已是自己开火做饭，所以仍旧以面食为主，饮食上没有任何问题，并请他 有空来吃饭，一起热闹热闹。听到江文轩说他要结婚了，单身马上要成为过去式了。马启明便说：“他们这里的结婚仪式跟我们的完全不 同。结婚那天，我们那里是新娘子去得越早越好，一般早晨五六点钟就把新娘子迎娶过来了，而这里呢？”马启明喝了一口啤酒，说， “前几天，我帮一个同事去娶新娘子，到了那里一看，新娘子还没梳妆打扮，站在门口仍和亲朋好友悠闲地聊天，好像结婚的不是她，是 旁人的事情一样。我们把嫁妆抬上车以后，新娘子竟然没有和我们一起走。后来，一问同事才知道，新娘子要到晚上才过去，而且当晚还 要回一次门，真是十里不同风,百里不同俗，千里不同情。而且他们本地人特别喜欢拿公老头和儿媳妇开玩笑，叫公老头‘扒灰佬’，说儿 子是你养的，娶媳妇的钱是你掏的，所以„„（后面是污七八糟的大流氓话）”当地人说扒灰是过过嘴瘾，开开玩笑，而唐玄宗扒杨玉环 的灰是真干。越聊马启明的话越多，“你发现没有，他们这边人总觉得北方不如这里，总爱对你说‘怎么样，还是我们这好吧！’有的人 还叫我们‘蛮子’，优越感特强，好像绿溪镇土著人（即本地人）是天下最好的人似的。”“都一样，你难道不为家乡自豪吗？八百里秦 川大地，十三朝古都，出了多少帝王将相，哪是这个地方能比的？” 江文轩笑道，他已是面色桃红。“对，我到哪儿都响亮地说自己是陕 西人。”马启明自豪地大声说。他也兴致勃勃起来，表演欲望被刺激了出来，踉踉跄跄地站起来，挪到前面墙角，说给大家表演一个倒挂 金钟喝啤酒。大家都围拢过来。马启明先准备好倒满啤酒的杯子，并摆放在墙边手能够着的地方。接着，他面朝墙壁，双腿分开与肩同宽， 站定，调整气息，只听“嘿！”的一声大吼。马启明一个利落仰翻，双手着地，整个身体倒立起来。稍稍平衡后，他手臂弯曲，让头顶着 地支撑起全身的重量，而后双手离地悬空渐向两侧张开，来了个倒立的白鹤晾翅。之后，马启明一只手拿起身边啤酒杯，将杯口塞进嘴里， 用牙咬住，头微勾起，“咕咚咕咚„„”一口气就下去了一杯啤酒，不见呛咳，才用了10秒多一点时间，大家兴奋地鼓起掌来。【危险游 戏，切勿模仿。】聚会的气氛又一次掀向了高潮。马启明表演完倒挂金钟喝啤酒，还未尽兴，兴冲冲地大声叫道：“我能鼻子喝
商的变化规律和商不变的规律
注意事项：使用商的变化规律时，需要注意被除数和除数扩大的倍数必须相同；而商不 变规律中，除数不能为0，否则会导致分母为0的情况，不符合数学规则
商的变化规律和商不变规律的适用范围
商的变化规律 适用于除数不 为0的情况，被 除数和除数同 时乘或除以相 同的数（0除 外），商不变。
商不变规律是指被除数和除数同时乘或除以同一个不 为零的数，商不变。
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数学表达式为：a ÷ b = (a × k) ÷ (b × k) 或 a ÷ b = (a ÷ k) ÷ (b ÷ k)，其中 a、b、k 均 为正数。
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商不变规律是数学中一个重要的定理，它在除法、分 数、比等数学概念中有广泛应用。
商不变规律的证明方法
证明方法一：利 用除法的定义进 行证明
证明方法二：利 用商的性质进行 证明
证明方法三：利 用代数恒等式进 行证明
证明方法四：利 用几何图形进行 证明
01
商的变化规律和商不变规律的对比
商的变化规律和商不变规律的异同点
相同点：两者都是描述除法运算中商的变化情况
不同点：商的变化规律是指被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变；而商不 变的规律是指除数不能为0，被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变
当除数扩大若干倍时，商也扩大相同的倍数 当除数缩小若干倍时，商也缩小相同的倍数 除数不为0，当除数扩大或缩小若干倍时，商也相应地扩大或缩小相同的倍数 商随被除数的变化而变化，当被除数扩大或缩小若干倍时，商也扩大或缩小相同的倍数
商的变化规律在实际中的应用
《商不变的规律》教案北师大版四年级数学上册
-识别并突破以下难点内容，教师应采取有效的教学方法帮助学生理解：
2.1理解“同时扩大或缩小相同的倍数”的含义，特别是“相同”二字，让学生明白必须是同一个倍数。
2.2掌握如何将商不变的规律应用于简便运算，注意运算过程中的细节问题。
2.3解决实际问题时，如何将问题转化为数学模型，运用商不变规律求解。
在授课过程中，我尝试用生活中的实例来引导学生，发现他们对此很感兴趣，能够积极参与课堂讨论。但同时我也注意到，有些学生在将理论知识应用到实际问题时，还是显得有些吃力。这让我意识到，在今后的教学中，需要更多地设计一些贴近生活的实际问题，让学生在实践中掌握商不变的规律。
此外，小组讨论的环节，我发现学生们在交流过程中能够互相启发，互补不足，这对他们理解难点知识有很大帮助。但也有一些小组在讨论时偏离了主题，导致讨论效果不佳。针对这个问题，我打算在下次教学中加强对讨论过程的引导，确保每个小组都能围绕主题展开讨论，提高讨论效果。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了商不变的规律的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对商不变规律的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例：
-难点1：解释“相同倍数”的概念，可以通过举例让学生直观地理解，如32 ÷ 4 = 8，若将被除数扩大2倍（64），同时将除数扩大1倍（8），此时商不再是8，强调“相同倍数”的重要性。
-难点2：在简便运算中，可以设置一些易错题目，如1200 ÷ 40，引导学生注意将商不变规律应用于运算，避免出现错误。
培训总结：教案《商不变的规律》
教案《商不变的规律》第一章：商不变的规律简介1.1 教学目标了解商不变的规律的概念和重要性理解商不变的规律在数学运算中的应用1.2 教学内容商不变的规律的定义和表述商不变的规律的证明和解释商不变的规律的应用举例1.3 教学方法采用讲解和案例分析的方式进行教学引导学生通过思考和讨论来深入理解商不变的规律1.4 教学评估通过课堂提问和讨论来评估学生对商不变的规律的理解程度通过练习题和案例分析来评估学生应用商不变的规律的能力第二章：商不变的规律的证明2.1 教学目标理解商不变的规律的证明过程学会使用商不变的规律进行证明2.2 教学内容商不变的规律的证明方法商不变的规律的应用举例2.3 教学方法采用讲解和证明的方式进行教学引导学生通过思考和练习来掌握商不变的规律的证明方法2.4 教学评估通过课堂提问和练习题来评估学生对商不变的规律的证明过程的理解程度通过案例分析来评估学生应用商不变的规律进行证明的能力第三章：商不变的规律的应用3.1 教学目标学会使用商不变的规律解决实际问题理解商不变的规律在不同情境下的应用3.2 教学内容商不变的规律在不同情境下的应用举例商不变的规律在实际问题中的应用举例3.3 教学方法采用讲解和案例分析的方式进行教学引导学生通过思考和练习来掌握商不变的规律的应用方法3.4 教学评估通过课堂提问和练习题来评估学生对商不变的规律的应用方法的理解程度通过实际问题解决来评估学生应用商不变的规律的能力第四章：商不变的规律的综合练习4.1 教学目标巩固和加深学生对商不变的规律的理解提高学生应用商不变的规律解决实际问题的能力4.2 教学内容商不变的规律的综合练习题4.3 教学方法采用练习和讲解的方式进行教学引导学生通过自主练习和讨论来巩固商不变的规律的知识和方法4.4 教学评估通过课堂提问和练习题来评估学生对商不变的规律的理解程度通过实际问题解决来评估学生应用商不变的规律的能力第五章：商不变的规律与分数的关系5.1 教学目标理解商不变的规律在分数运算中的应用学会利用商不变的规律解决分数相关问题5.2 教学内容商不变的规律与分数的关系分数运算中商不变规律的应用举例5.3 教学方法采用讲解和案例分析的方式进行教学引导学生通过思考和练习来深入理解商不变规律在分数运算中的应用5.4 教学评估通过课堂提问和练习题来评估学生对商不变规律在分数运算中应用的理解程度通过分数相关问题解决来评估学生应用商不变规律的能力第六章：商不变的规律在实际问题中的应用6.1 教学目标学会将商不变的规律应用于解决实际问题培养学生在实际情境中运用数学知识解决问题的能力6.2 教学内容商不变的规律在实际问题中的应用举例学生自主提出实际问题并运用商不变规律解决6.3 教学方法采用讲解和案例分析的方式进行教学引导学生通过思考和练习来掌握商不变规律在实际问题中的应用方法6.4 教学评估通过课堂提问和练习题来评估学生对商不变规律在实际问题中应用的理解程度通过实际问题解决来评估学生应用商不变规律的能力第七章：商不变的规律的教学实践与反思7.1 教学目标提高学生对商不变规律的理解和应用能力培养学生的数学思维和反思能力7.2 教学内容商不变规律的教学实践案例分享学生对商不变规律学习过程的反思7.3 教学方法采用案例分享和小组讨论的方式进行教学7.4 教学评估通过小组讨论和学生反思文章来评估学生对商不变规律的理解程度和应用能力通过教学实践反馈来评估学生对商不变规律的学习效果第八章：商不变的规律的拓展与延伸8.1 教学目标培养学生对商不变规律的深入思考和拓展能力引导学生将商不变规律与其他数学知识相结合8.2 教学内容商不变规律的拓展知识点商不变规律与其他数学知识点的联系8.3 教学方法采用讲解和小组讨论的方式进行教学引导学生通过自主学习和合作交流来拓展商不变规律的知识和应用范围8.4 教学评估通过小组讨论和拓展练习题来评估学生对商不变规律的拓展理解和应用能力通过学生反馈来评估商不变规律教学的延伸效果第九章：商不变的规律的教学设计案例分析9.1 教学目标学习商不变规律的教学设计方法掌握商不变规律的教学策略和技巧9.2 教学内容商不变规律的教学设计案例分享商不变规律的教学策略和技巧讲解9.3 教学方法采用案例分析和讲解的方式进行教学引导学生通过讨论和思考来学习商不变规律的教学设计和实施方法9.4 教学评估通过课堂提问和教学设计练习题来评估学生对商不变规律教学设计的理解程度通过教学设计方案和实施效果来评估学生对商不变规律教学策略的掌握能力10.1 教学目标探讨商不变规律教学的改进方法和策略10.2 教学内容商不变规律教学改进的方法和策略讲解10.3 教学方法10.4 教学评估通过教学反馈和学果展示来评估商不变规律教学改进的效果。
人教版同步教参数学四年级上册——除数是两位数的除法：商的变化规律(寇向伟)
第六单元除数是两位数的除法第 4 节商的变化规律【知识梳理】1.商不变的规律：被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变。
2.商随除数或被除数变化的规律：（1）除数不变，商随被除数变化的规律：被除数乘（或除以）几（0除外），商也乘（或除以）几。
（2）被除数不变，商随除数变化的规律：除数乘（或除以）几（0除外），商反而除以（或乘）几。
3.商不变的规律的应用：应用商不变的规律，不仅可以使口算简便，还可以使笔算简便。
例. 780÷30=78÷3=26125÷25=（125×4）÷（25×4）=500÷100=54.余数问题：在有余数的除法中，如果被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），它们的余数也随之乘或除以这个数。
5.温馨提示：①根据商不变的规律，被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变，但余数发生了变化，要得到原来的余数，就要用现在的余数乘（或除以）这个数。
②被除数和除数同乘或同除以的这个数不能是0，因为当除数是0时，算式没有意义。
③除数不变时，商和被除数的变化完全相同。
④被除数不变时，商和除数的变化正好相反。
【诊断自测】1.口算题。
90÷30= 400÷200= 600÷20= 1200÷60=240÷40= 1800÷90= 350÷50= 4900÷700=2.填空。
（1）被除数不变，除数乘10，商要（）。
（2）除数不变，被除数除以5，商要（）。
（3）被除数和除数同时除以10，商（）。
3.用竖式计算。
（1） 510÷30= （2）8000÷500= （3） 1700÷200=4.简便计算。
1100÷25 5000÷125 640÷165.根据480÷60=8，直接写出下面各题的商。
商不变的规律
被除数不变
｛
除数扩大几倍,商就缩小几倍 除数扩大几倍,商就缩小几倍。
除数缩小几倍，商就扩大几倍 除数缩小几倍，商就扩大几倍。
被除数扩大几倍，商就扩大几倍。 除数不变
｛
被除数缩小几倍，商就缩小几倍。
被除数和除数同时乘（或除以） 被除数和除数同时乘（或除以）相同的 除外），商不变。 ），商不变 数（0除外），商不变。
5 商
不 变
10 ÷
÷3
2
÷3
5 商
不 变
20÷ 4 ÷
5
30 ÷
6
5
被除数和除数同时除以 被除数和除数同时除以 同时 缩小）相同的数 的数（ （缩小）相同的数（倍 数）商不变。 商不变。
10÷ 2 ﹦ 5 ÷
×2 ×2
商 不 变
10 ÷ 2 ﹦5 商
3 3 不 变
20÷ 4 ﹦ 5 ÷
20÷ 4﹦ 5 ÷ ﹦
30 ÷ 6 ﹦ 5
被除数和除数同时乘 被除数和除数同时乘（扩 同时 相同的数 倍数） 的数（ 大）相同的数（倍数）商 不变。 不变。
被除数 除数 商 10 ÷ 2 ﹦ 5
÷2 ÷2 商不变
20 ÷
4 ﹦ 5
被除数 除数 商 10 ÷ 2 ﹦ 5
÷3 ÷3 商不变
30 ÷
6 ﹦
5
10 ÷ 2
÷2 ÷2
商的变化规律3 商的变化规律3
算 练 展
被除数 除数 商 10 ÷ 2 ﹦ 5
×2 ×2 商不变
20 ÷ 4 ﹦ 5
被除数 除数 商 10 ÷ 2 ﹦ 5
×3 ×3 商不变
30 ÷ 6 ﹦ 5
10 ÷
×2
商 2 ﹦5不 ×2 变
使用商不变的规律
通过商不变规律，我们可以简化分数的加减法运算， 提高计算效率。
与比例关系综合运用
01
比例关系中，两组数的比值是 相等的，而商不变规律可以确 保在运算过程中比值保持不变 。
02
通过综合运用商不变规律和比 例关系，我们可以解决复杂的 比例问题，如比例分配、比例 缩放等。
03
在解决比例问题时，商不变规 律可以帮助我们快速找到等价 的比例表达式，从而简化问题 求解过程。
04
数学表达式与符号
数学表达式
如果被除数为a，除数为b，商为c，则有 a ÷ b = c。根据商不变规律，有 (a × k) ÷ (b × k) = c 或 (a ÷ k) ÷ (b ÷ k) = c，其中k为非零数。
符号
在数学表达式中，通常使用字母来表示未知数或变量，如a、b、c等。同时，使 用÷表示除法运算，×表示乘法运算。
05 总结归纳与拓展延伸
关键知识点回顾总结
商不变的规律定义
在除法中，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0 除外），商不变。
商不变的规律应用
利用商不变的规律，可以进行简便运算，解决一些实际问 题。
注意事项
在应用商不变的规律时，需要注意被除数和除数必须同时 扩大或缩小相同的倍数，且倍数不能为0。
拓展延伸：探索更广泛应用领域
在数学领域
商不变的规律不仅适用于整数除法，还可以推广到小数除法、分数除法等更广泛的数学领域中。
在实际生活中的应用
利用商不变的规律，可以解决一些实际问题，如分配问题、比例问题等。通过灵活运用商不变的 规律，可以提高解决问题的效率。
在其他学科中的应用
商不变的规律还可以应用到其他学科中，如物理、化学等。在这些学科中，可以利用商不变的规 律进行一些计算和分析。
第六单元《商不变规律的应用》(教案)人教版四年级上册数学
第六单元《商不变规律的应用》（教案）人教版四年级上册数学我今天要上的教案是人教版四年级上册数学的第六单元《商不变规律的应用》。
一、教学内容我今天要讲的内容是这个单元的一部分，主要内容是让学生掌握商不变的规律，并能够应用这个规律来解决实际问题。
二、教学目标我希望通过今天的教学，让学生能够理解商不变的规律，掌握如何应用这个规律，提高他们的数学解决问题的能力。
三、教学难点与重点今天的教学难点是让学生理解商不变的规律，并能够灵活应用。
教学重点则是让学生通过实际例题，理解并掌握商不变规律的应用。
四、教具与学具准备我准备了一些实际的例题和练习题，以及相关的教具，如黑板、粉笔等。
五、教学过程我会通过一个实际的例题引入今天的主题，让学生看到商不变的规律。
然后，我会详细讲解这个规律，并通过一些练习题让学生加深理解。
我会让学生自己尝试解决一些实际问题，看看他们是否能够灵活应用这个规律。
六、板书设计我会设计一些简洁的板书，帮助学生理解和记忆商不变的规律。
七、作业设计今天的作业是让学生解决一些实际问题，应用商不变的规律。
具体的题目和答案如下：1. 小明有12个糖果，他想把它们平均分给他的4个朋友，每个朋友会得到几个糖果？（答案：每个朋友得到3个糖果）2. 小红有18个糖果，她想把这些糖果平均分给她的6个朋友，每个朋友会得到几个糖果？（答案：每个朋友得到3个糖果）八、课后反思及拓展延伸我会在课后反思今天的教学，看看学生是否掌握了商不变的规律，以及他们是否能够灵活应用。
同时，我也会给学生一些拓展延伸的任务，让他们更深入地理解这个规律。
重点和难点解析在上述教案中，有几个重要的细节是我需要特别关注的。
让学生理解并掌握商不变的规律是本节课的核心目标，因此，我需要确保他们能够清楚地理解这个概念，并能够灵活地应用到实际问题中。
如何设计教学过程，让学生在实践中掌握这个规律，也是一个需要重点关注的问题。
作业的设计和课后反思也是我需要重点关注的细节，通过作业的练习和课后的反思，我可以了解学生对知识的掌握程度，从而更好地调整我的教学方法和策略。
商不变的规律
商不变的规律及扩展一、被除数与商的关系。
【图1】①被除数扩大6÷2=360÷2=30600÷2=300【结论】:在除法里，(除数)不变，(被除数)扩大多少倍，商(也扩大)相同的倍数。
②被除数缩小600÷2=30060÷2=306÷2=3【结论】:在除法里，(除数)不变，(被除数)缩小多少倍，商(也缩小)相同的倍数。
【强调】:不能扩大或缩小零倍。
③商与被除数的关系【总结】:在除法里，除数不变，被除数扩大(或缩小)多少倍(0除外)，商也扩大(或缩小)相同的倍数。
【结论】:商与被除数同向变化。
二、除数与商的关系①除数扩大800÷2=400800÷20=40800÷200=4【结论】:在除法里，(被除数)不变，(除数)扩大多少倍，商(反而缩小)相同的倍数。
②除数缩小800÷200=4800÷20=40800÷2=400【结论】:在除法里，(被除数)不变，(除数)缩小多少倍，商(反而扩大)相同的倍数。
【强调】:0除外。
③商与被除数的关系【总结】:在除法里，被除数不变，除数扩大(或缩小)多少倍(0除外)，商反而缩小(或扩大)相同的倍数。
【结论】:商与被除数反向变化。
三、商不变的规律①同时扩大8÷2=480÷20=4800÷200=4【结论】:在除法里，(被除数和除数)同时(扩大)多少倍(0除外)，商(不变)。
②同时缩小800÷200=480÷20=48÷2=4【结论】:在除法里，(被除数和除数)同时(缩小)多少倍(0除外)，商(不变)。
③商不变的规律【总结】:在除法里，(被除数和除数)同时(扩大或缩小)多少倍(0除外)，商(不变)。
【结论】:被除数与除数【同向变化】——商不变。
四、商不变的应用1，【图2】填空。
2，如果A÷B=12，下面各式应该是多少？【图3】3，①、填空。
《商不变的规律》教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握商不变的规律：本节课的核心是让学生通过实例探究，理解并掌握在除法算式中，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变的规律。
-举例：讲解8÷4=2的例子，然后引导学生观察32÷16=2、16÷8=2等算式，总结商不变的规律。
-识别并运用规律解决实际问题：学生在面对实际问题，如购物找零、分配物品等时，可能不知道如何运用商不变的规律。
-突破方法：设计实际情景题，让学生在具体的情境中应用规律，如“如果你有24个苹果，想要平均分给4个朋友，每个人能得到几个？如果苹果增加到48个，每个朋友能得到几个？”
-理解“0除外”的限定条件：学生可能不理解为什么在商不变的规律中需要排除0。
2.培养学生的逻辑思维和推理能力：引导学生通过观察、分析、归纳等思维活动，发现商不变的规律，并在实际计算中运用这一规律，提升学生的逻辑思维和推理能力。
3.培养学生的应用意识：将商不变的规律应用于解决实际问题，让学生体会数学知识的实用价值，激发学生学习数学的兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“商不变规律在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-运用商不变的规律简化计算：学生需学会将复杂的除法算式通过应用商不变的规律，简化为更易于计算的算式。
四年级上册商不变的规律(人教版)
商不变的规律
猴子分桃
6个桃子，平均分给3只小猴。
60个桃子，平均分给30只小猴。
600个桃子，平均分给300只小猴。
……
6000个桃子，平均分给3000只小猴。
……
给你6000个桃子6，00平0均÷分给30300000=只小2猴。
给你600个桃子6，00平÷均分30给03=00只2小猴。
根据第1题的商写出下面两题的商。
72÷9= 8
36÷3= 12
80÷4=
720÷90= 8 360÷30= 12 800÷40= 20
7200÷900= 8 3600÷300= 12 8000÷400= 20
在（ ）填上合适的数。
120÷30=（12）÷（ 3 ）=（ 4 ）
6300÷700=（63）÷（ 7 ）=（ 9 ）
探究要求
1.独立思考。观察每两道算式之间被除数和除 数怎么变，看看有什么发现，写在学习单上。
2.小组讨论。相互说说怎样变化，并总结规律。
①
6 ÷ 3= 2
② 60 ÷ 30= 2 ③ 600 ÷ 300= 2
④ 6000 ÷ 3000= 2
被除数、除数同时乘或除以0会怎样？
6÷3＝2 （6×0）÷（3×0）＝2 （6 ÷0）÷（3 ÷0）＝2
被除数和除数都乘或除以一 个相同的数（0除外），商 不变。
利用商不变的规律写一组算式。
我是小法官。 350÷50=（350÷10）÷（50÷10） ( √ ) 75÷25=（75×4）÷ （ 25×4 ） ( √ ) 360÷90=（360＋10）÷（90＋10） ( × ) 91÷13=（91×2）÷ （13×3 ） ( × )
《商不变的规律》教案设计
《商不变的规律》教案设计推荐文章《讲文明树新风》教学设计热度：拿来主义优秀教案设计热度：《沁园春雪》优秀教案设计热度：关于《守财奴》教案热度：《抢椅子》游戏体育教案设计热度：“商不变规律”是小学数学中的重要基础知识，它是进行除法简便计算的依据，也是今后学习小数乘除法，分数、比的基本性质等知识的基础。
下面是店铺为大家整理的关于《商不变的规律》教案教学设计，希望对你们有帮助。
《商不变的规律》教学设计教学目标：1.理解掌握商不变的规律。
2.培养学生观察、比较、抽象概括等能力。
3.通过体会“变”与“不变”的数学现象，引导学生感受辩证唯物主义思想。
教学重难点：理解商不变的规律。
归纳商不变规律的过程。
教学过程：一、激趣导入互动猜数124711……(一个一个出示)师：最后猜对了，前面怎么猜不准呢?生：最后找到规律了师：今天我们一起再来探索一节有关规律的课。
【设计意图：由猜数激趣导入，能很快集中学生的注意力，激发学生学习的兴趣，同时为本节课探索新知做了铺垫】二、探究规律出示一组=2的算式6÷3=12÷6=36÷18=24÷12=20÷10=200÷10024÷6=学生口算师：看这几个算式，你有什么发现?生：商不变，被除数、除数变了。
师根据学生的回答板书：被除数、除数变，商不变。
师：被除数和除数怎么变，商才不变呢?这节课我们好好研究研究这个问题，拿什么来研究啊?生：除法算式。
师：拿几个算式来研究比较合适、比较方便、比较可信呢?师生一起探讨最后得出：拿一组算式来研究然后找一些算式看看是不是和我们所找的规律符合。
出示6÷3=212÷6=236÷18=2生找规律呈现学生资源，交流师：还能找到第三组吗指出可以从上往下比较也能从下往上比较想一想还能以谁为标准?师：进行了几次比较?在几次比较中有什么规律?生：被除数和除数同时乘一个相同的数，商不变。
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所以，我们刚才总 结的规律必须说明（0 除外）？
被除数和除数同时扩大或缩小 相同的倍数（0除外），商不变。
（80×2）÷（20÷2）＝ （80×5）÷（20×3）＝ （80÷4）÷（20÷2）＝ （80＋12）÷（20＋12）＝
这几题的商也都是4吗？
填空 (1) 24 ÷4=6,被除数扩大100倍，要想使 商不变除数也应该 （ 扩大100 ）倍。
950÷50= 19
试一试 19 50 ）950 5 45 45 为什么可 0 以这样做
呢？
19 50 ）950 50 45 0 450 0
例11
口算 3600 ÷600
3600÷600 = (3600÷100)÷(600÷100) = 36÷6
×ห้องสมุดไป่ตู้
（2）被除数24乘100，除数4乘 100，商不变。
√
（3）被除数24乘10，除数4增加 10，商不变。
×
(4) (18 × 2)÷(6 × 3)=3 (5) (18 × 2)÷(6 ÷ 3)=3
(×) (× )
(6)在除法算式中，被除数和除数同时 乘以（或除以）一个相同的数，商不 变。( × )
2 60 1 7 0 12 5
余下的5在十位上，表 你发现了什 示5个十，不是5个一， 么问题吗？ 要把划掉的那个0再添 上。
8
4
22 4 3
12
12 40
运用商不变的规律进行特殊除法计算
400 ÷ 25 ＝（400 ×4） ÷（25 ×4） ＝1600 ÷100 ＝16 ÷1 ＝16
运用商不变的规律进行特殊除法计算
看来，对商不变的规律我们要全 面地理解。只有当被除数和除数同时 扩大或缩小相同的倍数，商才不变。
辨一辨：
① 240÷20＝（240×5）÷（20×4） （ X） ② 180÷15＝（180÷5）÷（15÷5） （ √ ）
③270÷90＝（270＋90）÷（90＋90） （ X）
④100÷20＝（100－10）÷（20－10） （ X ） ⑤在除法算式中，被除数和除数同时乘以（或除以） 一个相同的数，商不变。( X )
= 6
11
口算 3600 ÷600
3600÷600 = 36÷6 = 6
例11
口算 4800 ÷400
4800÷400 = 12
例
除 以 一 百
3600÷600＝6
除 以 一 百
商 不 变
36 ÷ 6 = 6
3600 600
古时候，有一个贪财的地主到了给长工 们发工钱的时候，他对长工们说:“你们的工 钱一共是170两银子，60个长工平均分，每 人应得2两，还余下5两。就请大家喝杯茶吧！
生3
（80×2）÷（20÷2）＝16 （80×5）÷（20×2）＝10 （80÷4）÷（20÷2）＝2 （80＋10）÷（20＋10）＝ 3 我看第一题，因为被除数和除数 不是同时扩大或缩小，尽管倍数相同， 所以商还是变化了。 第二题和第三题，虽然被除数和除 数同时扩大或同时缩小，由于倍数 生2 不相同，所以商发生了变化。 第四题，被除数和除数不是同时扩 大，而是同时增加相同的数，所以 商也变了。
想一想、填一填 48÷6=8
÷ 2 ）＝8 （48÷2）÷（6○
X 12 ）÷（6×12）＝8 （48○ （48○□）÷（6○□）＝8 6 ÷2 48÷16＝□ 120÷15＝ 240 ÷30
8700÷300＝ 87 ÷3
□÷12＝□÷4
4、下列说法对不对？
（1）被除数24乘2，除数4除以2 倍，商不变。
商不变 的规律
• 猴子分桃 • 在花果山上住着一群猴子。有一天猴王让小猴分桃子。 猴王说：“给你8个桃子，平均分给2只小猴子。”小猴 子一听，连连摇头，“不行，不行，太少了！”“那就 给你80个桃子，平均分给20只猴子。”小猴子喊道： “还少，还少。”“那就给你800个桃子，平均分给200 只猴子吧。”小猴子得寸进尺，再多给点行不行呀？” 猴王显出慷慨的样子：“好吧，给你8000个桃子平均分 给2000只小猴子，这下你该满意了吧。”小猴子笑了， 猴王也笑了。 • 想一想:小猴们分到的桃子多了吗?谁的笑才是聪明的笑 呢?同学们列式算一算。
120 ÷ 15 ＝（120×4） ÷（15 ×4） ＝480 ÷60 ＝48 ÷6 ＝8
9000 ÷ 125
＝（9000×8） ÷（125×8）
＝72000 ÷1000 ＝72 ÷1 ＝72
运用商不变的规律进行计算
150 ÷ 25
800 ÷ 25
2000 ÷ 125
25乘以4变成100, 125乘以8变成1000.
我觉得 商都是 4
我觉得 商不是4
现在同学们有两种意见， 争执不下，大家商量一下：怎 么办呢？
那我们来 计算一下：
小红
（80×2）÷（20÷2）＝16 （80×5）÷（20×2）＝10 （80÷4）÷（20÷2）＝2 （80＋10）÷（20＋10）＝ 3
与80÷20＝4比，这几题的商为什么变呢？
生1
猴王分桃子的奥秘：
8÷2=4
80 ÷ 20 = 4
800 ÷ 200 = 4 8000 ÷ 2000 = 4
6 ÷ 3 =2 24 ÷ 12 = 2
48 ÷ 24 = 2
120 ÷ 60 = 2
被除数和除数同时乘或除以相同 的数（零除外），商不变。
想一想为什么要零除外呢?
商不变的规律
（80×0）÷（20×0）＝4
我们主要学习了商不变的规律， 同学们要掌握这个规律，并且 能够应用这个规律计算相关的 习题。