2模糊控制的数学基础

A
B 0.5 0.2 0.3 0.8 0.4 0.1 0.2 0.7 0.1 0.4
a
b
c
d
e
0.2 0.3 0.1 0.2 0.1 abcde
A B 0.5 0.2 0.3 0.8 0.4 0.1 0.2 0.7 0.1 0.4 0.5 0.8 0.4 0.7 0.4
的模糊集Y，其隶属函数为
1
0 x 25
Y
(x)
1
x
25 5
2
1
25 x 200
当x=33时，Y(x)=0.2808 当x=45时，Y(x)=0.0588
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2.2 模糊集合
例2.2.1
Degree of membership
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
2.2 模糊集合
普通集合
* 集合 具有特定属性的对象的全体， 称为集合。集合通常用大写字 母A，B，……，Z来表示。
* 元素 组成集合的各个对象，称为元 素，也称为个体。通常用小写 字母a，b，……，z来表示。
* 论域 所研究的全部对象的总和，叫 做论域，也叫全集合。
* 空集 不包含任何元素的集合，称为 空集，记做Φ。
特征函数的值域是{0，1}，它表示元素x是否属于集 合A。如果x属于集合A，那么它的值为1；如果x不 属于集合A，那么它的值为0。
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2.2 模糊集合
集合的运算 集合的交
PX Y
集合的并
Q X Y
集合的补
X {x | x X}
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X
Y
P
X
Y
Q
Y
X
X
2.2 模糊集合
隶属函数μA(x)是x属于集合A的程度的数量指标，μA(x)的值越大， 表示x从属于A的程度越高，反之越低，当μA(x)仅取0，1二值时， A便成为普通集合，隶属函数就成为普通集合的特征函数。
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2.2 模糊集合
例2.2.1
以年龄为论域，取 X 0, 200 ，Zadeh给出了“年轻”
分解定理
设A是论域X上的模糊集合，λ∈[0, 1]，A是A的λ截集，则有
A A 0, 1 其中λAλ为x的一个特殊模糊集合，其隶属函数为
, A (x) 0,
x A x A
说明任何一个模糊集可由 一个普通集合簇来表示
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2.3 模糊集合与普通集合的联系
分解定理 为了对分解定理有一个直观的了解，在左图中，取λ1、 λ2∈[0,1]两个值
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2.1 概述
模糊概念大量存在于人的观念之中： 没有明确外延的概念 概念本身具有开放性 概念的外延就是适合这个概念的一切对象的范围， 概念的内涵就是这个概念所反映的对象的本质属 性的总和
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2.1 概述
模糊概念
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
年龄大小
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个子高低
2.1 概述
A {x | x X , A (x) }
称 A为A的λ强截集
当λ=1时，得到的最小的水平截集A1称为模糊集合A的核。 当λ=0+时，得到的最大的水平截集称为模糊集合A的支集。 如果A的核A1非空，则称A为正规模糊集，否则称为非正规 模糊集。
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2.3 模糊集合与普通集合的联系
λ水平截集
对于两个集合A和B，如果A B 和 B A 同时成立，则称A和B相等，记做 A=B。 *有限集 如果一个集合包含的元素为有限 个，就叫做有限集；否则叫做无 限集。
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2.2 模糊集合
集合的表示法 例举法 将集合中的所有元素都列在大括号中表示出来，该 方法只能用于有限集的表示。
例如10-20之间的偶数组成集合A，则A可表示为 A={10，12，14，16，18，20}
2.2 模糊集合
例2.2.3
以年龄为论域，取 X 0, 200，用模糊集Y表示“年
轻”，用O表示“年老”。隶属函数分别为定义为
1
1
Y
(
x)
1
(
x
25)2
5
μ
1
0 x 25 25 x 200
μY(x)
0
1
O (x)
1 (
5
)2
x 50
0 x 50 50 x 200
μO(x)
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2.2 模糊集合
例2.2.2
设X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，以A表示“小的数”，分别写出 上述三种模糊集合的表达方式。 解：根据经验，“小的数”这一模糊概念，可以定量地给出其隶 属函数
Zadeh表示法： A 1 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 0 0 0 0
A• B A B
AB
AB AB
A•B (x) A (x) B (x) AB (x) A (x) B (x) A (x) B (x)
AB (x) (A (x) B (x)) 1
AB (x) (A (x) B (x)) 0 AB (x) (A (x) B (x) 1) 0
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智能控制
北京理工大学自动化学院 sunjian@bit.edu.cn 孙健
第二章 模糊控制的数学基础
概述 模糊集合 模糊集合与普通集合的联系 隶属函数 模糊关系与模糊关系合成 模糊逻辑与模糊推理
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2.1 概述
引子 谷堆论证——欧布利德 秃头悖论
模糊概念 模糊的英文为Fuzzy，它具有“不分明”，“边界不清” 的意思。模糊数学是用来描述、研究、处理事物所具 有的模糊特征（即模糊概念）。 模糊数学（模糊集）是模糊控制的数学基础，它是由 美国加利福尼亚大学Zadeh教授最先提出的。 模糊概念大量存在于人的观念之中：
* 子集 集合中的一部分元素组成的集 合，称为集合的子集。
* 属于
若元素 a 是集合 A 的元素，则 称元素 a 属于集合 A ，记为 a A； 反之，称a不属于集合A，记 a A
*包含 若集合A是集合B的子集，则称集 合A包含于集合B，记为 A B；或 者集合B包含集合A，记为 B A 。
*相等
0 0
20
40
60
80
100
120
X Years
“年轻”的隶属函数曲线
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2.2 模糊集合
模糊集合的表示法
有限离散论域
Zadeh表示法
论域为有限集，即 X {x1, x2 , xn} 时，X上的模糊集可以表示为
隶属度为零的项可以不写。
A A (x1 ) A (x2 ) A (xn )
注：由于序偶和顺序有关，所以 A B B A
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2.2 模糊集合
模糊集合的定义
论域
给定论域X，X到[0, 1]闭区间的任一映射μA
模糊集合 两要素
A : X [0, 1] x A (x)
隶属函数
都确定X上的一个模糊子集A，简称模糊集。对于x∈X，μA称为 模糊集合A的隶属函数，μA(x)称为x对于A的隶属度。
2.2 模糊集合
模糊集合的运算性质
交换律 结合律 分配律
传递律
A B B A， A B B A A(B C) (A B) C， A (B C) (A B) C
A(B C) (A B) (AC) A (B C) (A B) (A C)
A B ，B C ，则 A C
核
截集
支集
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2.3 模糊集合与普通集合的联系
水平截集的性质 A∪B的λ水平截集是Aλ和Bλ的并集：
( A B) A B
A∩B的λ水平截集是Aλ和Bλ的交集：
( A B) A B
如果λ∈[0,1],α∈[0,1]，且λ≤α ，则
A A
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2.3 模糊集合与普通集合的联系
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2.2 模糊集合
模糊集合的表示法 连续论域 Zadeh表示法：
A A (x) x X 之Ax间(x) 不的是对表应示关“系分；数 既”不，表而示表“示积论分域”上也的不元是素“x与求隶和属”度记号A，(x) 而是表示论域X上的元素x与隶属度 A (x)对应关系的一个总括。
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2.1 概述
模糊性与随机性 概率论处理随机事件： 事件发生与否不确定，但事件本身有明确定义， 即发生不发生的界限明确。 模糊集合处理模糊事件： 事件本身模糊，出现不出现没有明确的分界线 事件本身有确切定义，发生与不发生的界限明确， 但事件发生的概率难于用精确的数值表示
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幂等律 摩根律
A A A， A A A
AB A
Βιβλιοθήκη BaiduB，
A B AB
注：互补律不再成立，即 A A X A A
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2.3 模糊集合与普通集合的联系
λ水平截集 在论域X中，给定一个模糊集合A，任取λ∈[0, 1]，记
A {x | x X , A (x) } 称 A为A的水平截集，其中λ称为阈值或置信水平。又记
a
b
c
d
e
abcd e
A 1 0.5 1 0.3 1 0.4 1 0.2 1 0.1 0.5 0.7 0.6 0.8 0.9 a b c d e abcde
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2.2 模糊集合
模糊集合的运算
设A，B为X中的两个模糊集合，隶属函数分别为μA和μB，则
代数积 代数和 有界和 有界差 有界积
描述法 将集合中所有元素的共同特征列在大括号中描述出来。 上例中的集合A也可用描述法表示为 A={a|a为偶数， 10≤a≤20}
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2.2 模糊集合
特征函数 设x为论域X中的元素，A为论域X中定义的一个集合， 则x和A的关系可以用集合A的特征函数来表示。 1, x A
A (x) 0, x A
模糊集交 C A B C (x) A (x) B (x)
模糊集并 D A B D (x) A (x) B (x)
模糊集补 A
_ (x) 1 A (x)
A
相等
若 x X ，总有A (x) B (x)成立，则称 A和 B 相等，记作 A B
包含
若 x X，总有A (x) B (x)成立，则称 A包含 B ，记作 A B
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
简化为：
A 1 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 12 3 4 5 6
序偶表示法：
A {(1, 1),(2, 0.9),(3, 0.7),(4, 0.5),(5, 0.3),(6, 0.1)}
向量表示法：
A (1, 0.9, 0.7, 0.5, 0.3, 0.1, 0, 0, 0, 0)
x1
x2
xn
式中的“＋”和“/”仅仅 是分隔符号，并不代表 “加”和“除”。
向量表示法
A [ A (x1) A (x2 ) A (xn )]
序偶表示法
隶属度为零的项 不能省略
隶属度为零的项 可以不写
A {( x1, A(x1)) (x2, A(x2 )) (xn , A(xn ))}
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2.2 模糊集合
模糊集合的运算
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2.2 模糊集合
例2.2.4
设论域X={a, b, c, d, e}上有两个模糊集分别为：
A 0.5 0.3 0.4 0.2 0.1 abcde
求 A B，A B ，A
B 0.2 0.8 0.1 0.7 0.4 abcd e
集合的直积 序偶 将不同的事物按一定顺序排列起来组成一个整体， 用以表达它们之间的关系，这就叫做序偶。 集合的直积 有两个集合X，Y，从X中取一个元素x，从Y中取一个元 素y，把它们组成一个序偶，所有元素序偶的全体组成一 个新的集合，这个集合叫做集合X，Y 的直积，表示为
X Y {(x, y) | x X , y Y}
模糊性与精确性 对立统一，相互依存，可互相转化 精确的概念可表达模糊的意思 模糊的概念也能表达精确的意思
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2.1 概述
模糊性与随机性 随机性是事件发生与不发生的因果规律被破坏而造成 的一种不确定性。在形容随机性时，虽然我们不知道 每次实验时该事件是否出现，但每一事件是什么样的， 则是非常明确和清晰的。 模糊性则是事物本身性态和类属的不确定性。 大体上说，随机性是一种外在的不确定性，模糊性是 一种内在的不确定性。
0
25 50 75 100
u
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2.2 模糊集合
例2.2.3
“年轻”和“年老”模糊集合可以写为：
Y
1
1
(
x
25) 5
2
1
x 0x25
25x200
x
O
0
1
(
x
5 50
)
2
1
x 0x50
50x200
x
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2.2 模糊集合
模糊集合的运算
设A，B为X中的两个模糊集合，隶属函数分别为μA和μB，则