模糊控制数学基础

)
且定义g(vi /vj ) =1，当i=j时。
③以g(vi /vj ) (i , j=1,2)为元素构造相及矩阵G:
G
=
⎡1
⎢ ⎣
g
(v2
/
v1 )
g(v1 / v2 )⎤
1
⎥ ⎦
推广： n个元素 (v1 , v2 ,L , vn ) 的相及矩阵G:
⎡1
g(v1 / v2 ) g(v1 / v3 ) L g(v1 / vn ) ⎤
0
x ≤0
µF (u)=
1
1
+
100 u2
x>0
可算出µF (5)=0.2, µF (10)=0.5, µF (20)=0.8
可见µF (u)是U到闭区间[0,1]的映射。
U
µF (u)
5 10 20
[0,1]
0.2 0.5 0.8
模糊集合的表示方法：
1、论域U为离散域（即论域U是有限集合）
(1)查德表示法
两个模糊集A和B，若对所有元素u，它们的 隶属函数相等，则A和B也相等。即
A = B ⇔ µ A (u) = µ B (u)
设A、B为U中的两个模糊子集，隶属函 数分别为µA 和µB，则模糊集合中的并、交、 补等运算按如下定义： 并（析取）：并(A∪B)的隶属函数µA∪B对 所有的u ∈U 被逐点定义为取大运算，即： µA∪B= µA(u)∨µB(u) 式中，符号“∨”为取大 值运算。
µF (u)=1：u完全属于U； µF (u)= 0：u完全不属于U； 0< µF (u)<1：u部分属于U。
U中的模糊集F可以用元素u和它的隶属度 来表示：
F={(u ,µF (u) )| u∈U}
例：设F是远大于0的实数集合（显然F 是模糊集合，而论域U表示全部实数集 合），U中任一元素u隶属模糊集合F的 隶属度µF (u)可有下式来定义：
n
∑µ u u F = i=1
( )/
Fi
i
例：集合F表示接近于0的整数（已知论域 U={0,1,2,3,4,5}）
F = 1.0 + 0.9 + 0.75 + 0.5 + 0.2 + 0.1 01 2 345
(2)序偶表示法
F ={(u1,µ(u1)),(u2 , µ(u2)),…,(un , µ(un))}
A = φ ⇔ µA (u) = 0 (∀u ∈U )
（2）全集 模糊集合的全集的隶属度为1，即
A = U ⇔ µA (u) = 1 (∀u ∈U )
（3）子集（包含于） 若B为A的子集，则
B ⊆ A ⇔ µ B (u ) ≤ µ A (u ) (∀u ∈ U )
( A, B ∈ F (U )) （4）等集
TU
(u )
=
⎧1
⎨ ⎩
0
u ∈U u ∉U
经典集合论中任意一个元素与任意一 个集合之间的关系，只是“属于”或“不属 于”两种，两者必居其一而且只居其一。 它描述的是有明确分界线的元素的组合。
用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。 对于诸如“速度的快慢”、“年龄的大
小”、“温度的高低”等模糊概念没有明确 的界限。
经典集合对事物只用"1"、"0"简 单地表示“属于”或“不属于”的分类； 而模糊集合则用“隶属度(Degree of membership)”来描述元素的隶属程 度，隶属度是0到1之间连续变化的值。 模糊集合 特征函数 隶属度函数（0～1连续变
化值）
例：人对温度的感觉(0°C ~40°C的感觉)：
2、模糊单片机或集成电路芯片 3、可编程门阵列
模糊集合论基础 一、模糊集的概念 二、模糊集合的运算 三、隶属函数的建立 四、模糊关系
一、模糊集的概念 集合：具有某种特定属性的对象的全
体。 集合中的个体通常用小写英文字母如：
u表示； 集合的全体又称为论域通常用大写英
文字母如：U表示。 u∈U表示元素（个体）u在集合论域
相对比较法的具体步骤：
① 设论域U中的一对元素(v1, v2)， 在v1和v2的二元对比 中，v1具有某特征的程度用gv2(v1)表示，v2具有某特征的
程度用gv1(v2)表示。
且满足： 0≤ gv2(v1) ≤ 1 、 0≤ gv1(v2) ≤1
②
令： g(v1
/
v2 )
=
gv2 (v1) max(gv2 (v1) , gv1(v2 )
4、二元对比排序法
通过对多个事物之间的两两对比，来确定某 种特征下的顺序，由此来决定这些事物对该特征 的隶属函数的大体形状。
二元对比排序法分为：相对比较法、对比平均 法、优先关系定序法、相似优先对比法。
相对比较法：
论域U中元素v1, v2,… vn ，要对论域中的元素按某种 特征进行排序，首先，在二元对比中建立比较等级， 然后用一定的方法进行总体排序，以获得各元素对于 该特性的隶属函数。
µ
适中 高 很高
1.0
0
32
速度 /(km ⋅ h−1 )
注意：间隔的两个模糊集合隶属度函数尽量不 相交。
重叠指数：衡量隶属度函数
µ
1.0
A1
A2
与模糊控制器性能关系的一 0.5
个重要指标。
L‘ L
U U’
0
x
重叠指数采用重叠率、重叠鲁棒性来表征 重叠范围
重叠率＝
重叠范围
附近模糊隶属函数的范围
附近隶属函数的范围
确定隶属函数应遵守的一些基本原则：
1、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合
例:适中速度的集合是模糊集合。可表示为:
“适中速度”= 0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70
从最大隶属度函数点向两边延伸时,其 隶属函数的值是必须是单调递减的,而不允 许有波浪形。
凸模糊集合：隶属函数呈单峰形。
0.8 0.7 0.6 0.5 0.4
0.3
0.2
模糊集合表示为：
0.1
0
0
20
40
60
80
100
120
X Years
∫ ∫ F = 1/ u+ [1+ (u − 25)2 ]−1 / u “年轻”的隶属函数曲线
0≤u ≤ 25
5
25<u ≤100
二、模糊集合的运算
定义： （1）空集 模糊集合的空集的隶属度为0，即
∫ 2、论域为连续域 F = µF / u
例 以年龄为论域，取 U =[0,100] 。Zadeh给出了“年
轻”的模糊集F，其隶属函数为
1
⎧1
0 ≤ u ≤ 25 0.9
µF
(u )
=
⎪⎪ ⎨ ⎪
⎡ ⎢1
+
⎪⎩ ⎢⎣
⎛ ⎜⎝
u
− 25 5
⎞2 ⎟⎠
⎤ −1 ⎥ ⎥⎦
25 < u ≤ 100
Degree of membership
1.62~1.73 1.65~1.72 1.64~1.73 1.60~1.69
1.69~1.75 1.69~1.77
µ
(1.56)＝?
A
µ
(1.56)=
A
1 10
＝0.1µ
(1.60)=
A
3 10
＝0.3
µ
(1.64)=
A
6 10
＝0.6
……
µ
(1.77)=
A
1 10
＝0.1
∴
FA
=
0.1 1.56
设U为一可能是离散或连续的集合，用{u}表示，
论域（Universe of Discourse）： 所有元素组成的全集 ：U 元素：u 定义2-1 模糊集合：论域U中的模糊 集合F用一个在区间[0,1]上的取值的隶 属函数µF来表示，即：
µF ：U →[0,1] （隶属函数 µF：u隶属于F的程度）
µ 凸模糊集合
非凸模糊集合
0
x
2、变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。
Degree of membership
很低
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
5
20
标称名：语
低
适中
高 很高 言值
(个数适中：
3～9个（奇
数）)
30
50
70
速度（语言变量）
语言值的 个数和规 则数成正 比。
95 100
3、隶属度函数要符合人们的语言顺序，避免不恰当的重叠
例1 设集合U由1到5的五个自然数组成， 用上述前三种方法写出该集合的表达式。
解：(1)列举法 U={1,2,3,4,5}
(2)定义法 U={u|u为自然数且1≤u≤5}
(3)归纳法 U={ui+1=ui+1, i=1,2,3, 4, u1=1}
(4)特征函数表示法：集合U通过
特征函数来TU(u)表示
+
0.3 1.60
+
0.6 1.64
+
1 1.69
+
0.5 1.73
+
0.1 1.77
µ
(1.64)=
A
6 10
＝0.6
模糊统计法的特点： ①随着n的增大，隶属频率会趋向稳定， 这个稳定值就是v0对A的隶属度。 ②计算量大。
2、例证法 ：从有限个隶属度值，来估计U 上的模糊集A 的隶属度函数。
3、专家经验法：根据专家的经验对每一现 象产生的各种结果的可能性程度，来决定 其隶属度函数。
“舒适”的温度：15°C ~25°C “热”： 25°C以上 “冷”： 15°C 以下