初中数学最值问题--最新版
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.如图是一块长、宽、高分别是4cm、2cm和1cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到C1处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是___________．
4.如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是___________米（结果不取近似值）
例5、(1)如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A.2 B.2 C.3 D.
(2)如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为___________．
例2、如图（1），平行四边形ABCD中，AB=4,BC=3,∠BAD=120°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，设BE=x，△DEF的面积为S当 运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？
二、利用几何模型求最值
例3、如图所示，已知AB是⊙O中一条长为4的弦，P是⊙O上一动点，且cos∠APB＝ ，求△APB的面积的最大值？
六、综合提高
1.如图，（1），在△ABC中，AC=BC=2,∠ACB=90°，P为BC边上一定点，（不与点B，C重合），Q为AB边上一动点，设BP的长为a（0＜a＜2），请写出CQ+PQ最小值，并说明理由。
2.如图（1）所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A、B，已知AB=10千米，直线AB与公路MN的夹角∠AON=30°新开发区B到公路MN的距离BC=3千米。
（1）求新开发区A到公路MN的距离，
（2）现从MN上某点P处向新开发区A、B修两条公路PA、PB，使点P到新开发区A、B距离
之和最短，请用尺规作图在图中找出点P的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出此时PA+PB的值。
3.已知：抛物线的对称轴为x=-1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0）、C（0，-2）．
例4、如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=30°，AB=DE=a。当两三角形沿着直线FC移动时，求图中阴影部分的面积的最大值。
三、归入“两点之间的连线中，线段Baidu Nhomakorabea短”
思路：不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”。口诀：和最小，找对称。
初中数学精选知识点汇总
-----最值问题
“最值”问题大都归于两类基本模型：
Ⅰ、归于函数模型：
即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值
Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：
（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
四、归于“三角形两边之差小于第三边”
例8、如图（1），直线 与 轴交于点C，与 轴交于点B，点A为 轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点 ，直线BC交⊙A于点D。
（1）求点D的坐标；
（2）过 ，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使线段 与 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标。若不存在，请说明理由。
（2）如图2， 的半径为2，点 在 上， ， ， 是 上一动点，求 的最小值___________．
（3）如图3， ， 是 内一点， ， 分别是 上的动点，求 周长的最小值___________．
例7、如图，锐角△ABC的边AB=4 ，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是___________．
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。
一、利用函数模型求最值
例1、如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃ABCD，设AB=x米，由于实际需要矩形的宽只能在4m和7m之间。设花圃面积为y平方米．求y与x之间的函数关系式和y的最值。
五、路径最短问题(两点间连线中，直线段最短)
1.如图，圆柱形的桶外，有一只蚂蚁从桶外的A点爬到桶内的B点处寻找食物，已知点A到桶口的距离AC为12cm，点B到桶口的距离BD为8cm，CD的长为15cm，那么蚂蚁爬行的最短路程是___________．
2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是___________．
例6、几何模型：
条件：如下左图， 、 是直线 同旁的两个定点．
问题：在直线 上确定一点 ，使 的值最小．
方法：作点 关于直线 的对称点 ，连结 交 于点 ，则 的值最小（不必证明）．
模型应用：
（1）如图1，正方形 的边长为2， 为 的中点， 是 上一动点．连结 ，由正方形对称性可知， 与 关于直线 对称．连结 交 于 ，则 的最小值是___________．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．
（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
4.如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是___________米（结果不取近似值）
例5、(1)如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A.2 B.2 C.3 D.
(2)如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为___________．
例2、如图（1），平行四边形ABCD中，AB=4,BC=3,∠BAD=120°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，设BE=x，△DEF的面积为S当 运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？
二、利用几何模型求最值
例3、如图所示，已知AB是⊙O中一条长为4的弦，P是⊙O上一动点，且cos∠APB＝ ，求△APB的面积的最大值？
六、综合提高
1.如图，（1），在△ABC中，AC=BC=2,∠ACB=90°，P为BC边上一定点，（不与点B，C重合），Q为AB边上一动点，设BP的长为a（0＜a＜2），请写出CQ+PQ最小值，并说明理由。
2.如图（1）所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A、B，已知AB=10千米，直线AB与公路MN的夹角∠AON=30°新开发区B到公路MN的距离BC=3千米。
（1）求新开发区A到公路MN的距离，
（2）现从MN上某点P处向新开发区A、B修两条公路PA、PB，使点P到新开发区A、B距离
之和最短，请用尺规作图在图中找出点P的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出此时PA+PB的值。
3.已知：抛物线的对称轴为x=-1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0）、C（0，-2）．
例4、如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=30°，AB=DE=a。当两三角形沿着直线FC移动时，求图中阴影部分的面积的最大值。
三、归入“两点之间的连线中，线段Baidu Nhomakorabea短”
思路：不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”。口诀：和最小，找对称。
初中数学精选知识点汇总
-----最值问题
“最值”问题大都归于两类基本模型：
Ⅰ、归于函数模型：
即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值
Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：
（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
四、归于“三角形两边之差小于第三边”
例8、如图（1），直线 与 轴交于点C，与 轴交于点B，点A为 轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点 ，直线BC交⊙A于点D。
（1）求点D的坐标；
（2）过 ，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使线段 与 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标。若不存在，请说明理由。
（2）如图2， 的半径为2，点 在 上， ， ， 是 上一动点，求 的最小值___________．
（3）如图3， ， 是 内一点， ， 分别是 上的动点，求 周长的最小值___________．
例7、如图，锐角△ABC的边AB=4 ，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是___________．
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。
一、利用函数模型求最值
例1、如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃ABCD，设AB=x米，由于实际需要矩形的宽只能在4m和7m之间。设花圃面积为y平方米．求y与x之间的函数关系式和y的最值。
五、路径最短问题(两点间连线中，直线段最短)
1.如图，圆柱形的桶外，有一只蚂蚁从桶外的A点爬到桶内的B点处寻找食物，已知点A到桶口的距离AC为12cm，点B到桶口的距离BD为8cm，CD的长为15cm，那么蚂蚁爬行的最短路程是___________．
2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是___________．
例6、几何模型：
条件：如下左图， 、 是直线 同旁的两个定点．
问题：在直线 上确定一点 ，使 的值最小．
方法：作点 关于直线 的对称点 ，连结 交 于点 ，则 的值最小（不必证明）．
模型应用：
（1）如图1，正方形 的边长为2， 为 的中点， 是 上一动点．连结 ，由正方形对称性可知， 与 关于直线 对称．连结 交 于 ，则 的最小值是___________．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．
（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．