常见曲线的参数方程

a
.
0
r
.
例2 求曲线 r cosθ 及 r cosθ 分别所围成的图形的公 共 部分的面积 由 3cos =1+cos
y r =3cos
得交点的坐标 S= 2
θ

π 3 0
1 (1 cosθ ) 2 dθ 2

o
π 3
S
x
2 3
π 2 π 3
9 cos2 θ dθ 2
a
x
.
x
来看动点的慢动作
参数方程 x = a (t – sint) y = a (1– cost)
y
t 的几何意义如图示
当 t 从 0 2，x从 0 2a 即曲线走了一拱
2a
a
0
t
a
a
2a
x
.
y
o
M t
A C
a
x
x AC OM sin t a( t sin t )
y OC OM cos t a(1 cos t )
这就是旋轮线的参数方程。
2. 旋轮线也叫摆线（单摆）
将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板
.
两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。
在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。
3. 旋轮线是最速降线
最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？

=1+cos
.
. . . .
令 cos2 = 0, θ k
例3.求曲线 r sinθ 及 r 2 cos θ 分别所围成的图形的公 共 部分的面积 θ θ , 联立后得交点坐标 y


由 sin > 0, θ
当 t 由 ,
动点由 (0,0) (0,0) 依逆时针方向画出叶形 线.
1. 曲线关于 y= x 对称 2. 曲线有渐进线 x+y+a = 0 3. 令 y = t x, 得参数式
3at x 3 t 1 2 3 at y t3 1
(- t , t -1)


s2
s
o
s1
1
s s
x
s s
. . . . . .
a2 例5. 求由双纽线 ( x y ) a ( x y ) 所围而且在圆周 x y 2 内部的面积。 θ k 令 r = 0, 双纽线化成极坐标 r a cosθ a θ k 令r , 由对称性 y 2 π π a 1 2 π 4 S=4 + π a cos2θ dθ θ 4 12 2 2 6 π θ 6 ( )a
A
B
答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。
生活中见过这条曲线吗？
A
B
A
B
A
B
滑板的轨道就是这条曲线
.
y
4. 心形线(圆外旋轮线)
一圆沿另一圆外缘无滑
动地滚动，动圆圆周上
任一点所画出的曲线。
o
a a
x
y
.
o
a
a
x
来看动点的慢动作
y
o
a
a
x 2a
.
来看动点的慢动作
参数方程 r = a (1+cosθ)
.
.
. . . . .
3 5 7 , , 曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 = , 4 4 4 4
例1 求双纽线 r 2 2a 2 cos 2 所围面积
由对称性
S


r ( )d a cosd 2a 2 y


0
a
a
x
. . . . .
.
0 2
6. 圆的渐伸线 一直线沿圆周滚转（无滑动） 直线上一个定点的轨迹 参数方程为
x a(cost t sint ) y a(sint t cos t )
a x y
0
再看一遍
y
.
0
a
x
y
0
a
.
x
y
0
a
.
x
x a(cost t sint ) 参数方程为 y a(sint t cos t )
S=2
[
π 4
π 6 0
1 2 sin2 θ dθ 2

π θ 6
θ
π 4 π 6
1 cos2 θ dθ 2

]
0
1
x
.
例4 圆ρ 1被心形线 ρ 1 cosθ 分割为两部分，求这两 部分
的面积。
y
S=
=1+cos
( cos θ ) dθ
y
0
x
曲线关于 y= x 对称
曲线有渐近线 x+y+a=0
.
8.双纽线
FF 2a , 到F与F 距离之积为a2的点的轨迹 ( a 2 )
2 r 2 a 2 2ra cos 2 r 2 a 2 2ra cos
( ) 2 (r 2 a 2 ) 2 4r 2 a 2 cos2 a 4
0
4
2a
x
. . . .
9.
阿基米德螺线 r =a
曲线可以看作这种点的轨迹： 从极点射出半射线
动点在射线上作等速运动
同时此射线又绕极点作等速转动
0
r
0
r
.
0
r
.
请问：动点的轨迹什么样？
再看一遍
0
r
.
0
r
.
阿基米德螺线 r =a
0
r
.
阿基米德螺线
r =a 这里 从 0 +
每两个螺形卷间沿射线的距离是定数
0
r
.
阿基米德螺线 r =a
当 从 0 –
0
r
.
10
θ
双曲螺线 r
a

这里 从 0 +
lim r 0
极点是曲线的渐近点 y rsin a si n lim y a
θ 0
a
.
y a是曲线的渐近线
0
r
. .
双曲螺线
r
a

当 从 0 –
y
M (x,y)
a
0
t
t a
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x
试由这些关系推出曲线的方程
7.狄卡儿叶形线
分析
x 3 y 3 3axy 0 (a 0)
当 t , ( x, y ) (0,0)
当 t 0, 也有 ( x, y) (0,0)
故在原点，曲线自身相交. 4. 当 t 由 , 动点由(0,0) (,-) 当 t 由 , 动点由( ,) (0,0)
y
P r

x
o
2a
.
y
5.星形线(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆 内缘无滑动地 滚动，动圆圆
周上任一点
所画出的曲线。 –a
a 4
o
a x
y
.
–a
o
a x
来看动点的慢动作
y
–a
o
a x
来看动点的慢动作
.
y
直角坐标方程为：
x y a
2 3
2 3
2 3
P
.
.
–a
o

a x
极坐标方程为
x a cos3 3 y a si n
即
r 2a cos 2
2 2
cos 2 0
y
3 5 7 (0, ) ( , ) ( . ,2 )
4 4 4 4
直角系方程
( x 2 y 2 ) 2 2a 2 ( x 2 y 2 )
P

F ( a ,0)
0

r

F (a,0)
2a
.
x
. .
常见曲线的参数方程
主 目 录（1–10 ）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 旋轮线 旋轮线也叫摆线 旋轮线是最速降线 心形线 星形线 圆的渐伸线 笛卡儿叶形线 双纽线 阿基米德螺线 双曲螺线
1. 旋轮线
一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的
曲线,是一条极其迷人的曲线，在生活中应用广泛。