电磁场与电磁波课后习题及答案

电磁场与电磁波课后习题解答

1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e

4y z =-+B e e

52x z =-C e e

求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ；

（7）()⨯A B

C 和()⨯A B

C ；（8

）()⨯⨯A

B C 和()⨯⨯A B C 。

解 （1）23A x y z

+-=

==-e e e A a e

e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (

4)y z -+=e e －11

（4）由 cos AB θ

=

14-==⨯A B A B ，得 1cos AB θ-=(135.5= （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ=11

17

=-A B B （6）⨯=A C 1

235

02x

y z

-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 04

1502x y

z

-=-e e e 8520x y z ++e e e ⨯=A B 123041

x

y

z

-=-e e e 1014x y z ---e e e

所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()⨯=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e

（8）()⨯⨯=A B C 1014502x y z

---=-e e e 2405x y z -+e e e

()⨯⨯=A B C 1

238

5

20

x

y z -=e e e 554411x y z --e e e

1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断123

PP P ∆是否为一直角三角形；

（2）求三角形的面积。

解 （1）三个顶点1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)

P 的位置矢量分别为 12y z =-r e e ，243x y z =+-r e e e ，3625x y z =++r e e e 则 12214x z =-=-R r r e e ， 233228x y z =-=++R r r e e e ，

311367x y z =-=---R r r e e e

由此可见

1223(4)(28)0x z x y z =-++=R R e e e e e

故123

PP P ∆为一直角三角形。 （2）三角形的面积

122312231117.1322S =

⨯=⨯==R R R R 1.3 求(3,1,4)P '-点到(2,2,3)P -点的距离矢量R 及R 的方向。

解 34P x y z '=-++r e e e ，223P x y z =-+r e e e ，

则 53P P P P x y z ''=-=--R r r e e e 且P P 'R 与x 、y 、z 轴的夹角分别为

11cos (

)cos 32.31x P P x

P P φ--''===e R R 11cos (

)cos 120.47y P P

y

P P φ'--'===e R R

11cos ()cos (99.73z P P z P P φ--''===e R R

1.4

给定两矢量234x y z =+-A e e e 和456x y z =-+B e e e ，求它们之间的夹角和A 在

B 上的分量。

解 A 与B 之间的夹角为 1

1cos (

)cos 131θ--===AB A B A B A 在B 上的分量为 31

3.53277

B A -===-B A

B 1.5 给定两矢量234x y z =+-A e e e 和64x y z =--+B e e e ，求⨯A B 在x y z

=-+C e e e 上的分量。

解 ⨯=A B 2

3

464

1

x

y z

-=--e e e 132210x y z -++e e e 所以⨯A B 在C 上的分量为 ()⨯=

C A B ()25

14.433

⨯=-=-A B C C

1.6 证明：如果A B =A C 和⨯=A B ⨯A C ，则=B C ； 解 由⨯=A B ⨯A C ，则有()()⨯⨯=⨯⨯A A B A A C ，即

()()()()-=-A B A A A B A C A A A C

由于A B =A C ，于是得到 ()()=A A B A A C 故 =B C

1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A 为一已知矢量，p =A X 而=⨯P A X ，p 和P 已知，试求X 。

解 由=⨯P A X ，有

()()()()p ⨯=⨯⨯=-=-A P A A X A X A A A X A A A X 故得 p -⨯=

A A P X A A 1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由2(4,,3)3

π定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。

解 （1）在直角坐标系中 4cos(23)2x π==-、4sin(23)y π==3z =

故该点的直角坐标为(2,-。

（2）在球坐标系中 5r ==、1tan (43)53.1θ-==、2120φπ== 故该点的球坐标为(5,53.1,120)

1.9 用球坐标表示的场2

25r

r =E e ， （1）求在直角坐标中点(3,4,5)--处的E 和x E ；

（2）求在直角坐标中点(3,4,5)--处E 与矢量22x y z =-+B e e e 构成的夹角。 解 （1）在直角坐标中点(3,4,5)--处，2222(3)4(5)50r =-++-=，故

22512

r

r ==E e

1cos

220

x x rx E θ====-

e E E

（2）在直角坐标中点(3,4,5)--处，345x y z =-+-r e e e ，所以

233452525r r -+-===

e e e r E

故E 与B 构成的夹角为

11cos (

)cos (153.63θ--===EB E B E B 1.10 球坐标中两个点111(,,)r θφ和222(,,)r θφ定出两个位置矢量1R 和2R 。证明1R 和2

R 间夹角的余弦为

121212cos cos cos sin sin cos()γθθθθφφ=+-

解 由 111111111sin cos sin sin cos x y z r r r θφθφθ=++R e e e

222222222sin cos sin sin cos x y z r r r θφθφθ=++R e e e

得到 12

12

cos γ=

=R R R R

1122112212sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos θφθφθφθφθθ++=

121211212sin sin (cos cos sin sin )cos cos θθφφφφθθ++= 121212sin sin cos()cos cos θθφφθθ-+