带电粒子在磁场中的运动-圆心、半径、运动时间

§X3.3带电粒子在磁场中的运动（一）

【学习目标】洛伦兹力、圆周运动、圆心、半径、运动时间

【自主学习】

一、基础知识：

1、洛仑兹力

叫洛仑兹力。通电导线所受到的安培力实际上是作用在运动电荷上的洛仑兹力的。

2、洛仑兹力的方向

用左手定则判定。应用左手定则要注意：

（1）判定负电荷运动所受洛仑兹力的方向，应使四指指向电荷运动的方向。

（2）洛仑兹力的方向总是既垂直于又垂直于，即总是垂直于所决定的平面。但在这个平面内电荷运动方向和磁场方向却不一定垂直，当电荷运动方向与磁场方向不垂直时，应用左手定则不可能使四指指向电荷运动方向的同时让磁感线垂直穿入手心，这时只要磁感线从手心穿入即可。

3、洛仑兹力的大小

f= ，其中θ是带电粒子的运动方向与磁场方向的夹角。

（1）当θ=90°，即v的方向与B的方向垂直时，f= ，这种情况下洛仑兹力。

（2）当θ=0°，即v的方向与B的方向平行时，f= 最小。

（3）当v=0，即电荷与磁场无相对运动时，f= ，表明了一个重要结论：磁场只对相对于磁场运动的电荷有作用力，而对相对磁场静止的电荷没有作用力。

4、洛仑兹力作用效果特点

由于洛仑兹力总是垂直于电荷运动方向，因此洛仑兹力总是功。它只能改变运动电荷的速度（即动量的方向），不能改变运动电荷的速度（或动能）。

5、带电粒子在磁场中运动（不计其它作用）

（1）若v//B，带电粒子以速度v做运动（此情况下洛伦兹力F=0）（2）若v⊥B，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做运动。

v2

①向心力由洛伦兹力提供：=m

R

②轨道半径公式：R= = 。 ③周期：T= = ，频率：f=T

1

= 。 角频率：==

ωr

v

。 说明：T 、F 和ω的两个特点：

①T 、f 和ω的大小与轨道半径（R ）和运动速率（v ）无关，只与 和 有关；

②比荷（

m

q

）相同的带电粒子，在同样的匀强磁场中，T 、f 和ω相同。 二、重点、疑点：

1、洛伦兹力公式F=qvB 是如何推导的？

直导线长L ，电流为I ，导体中运动电荷数为n ，截面积为S ，电荷的电量为q ，运动速度为v ，则安培力F ′=ILB=nF

所以洛仑兹力F=

n

ILB

n F =

' 因为I=NqSv （N 为单位体积内的电荷数） 所以F=

n

LB

NqSv ⋅式中n=NSL 故F=qvB 。 2、如何确立带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间？ （1）圆心的确定。因为洛伦兹力f 指向圆心，根据f ⊥v ，画出粒子运动轨迹上任意两点（一般是射入和射出磁场的两点）的f 的方向，其延长线的交点即为圆心。

（2）半径的确定和计算。圆心找到以后，自然就有了半径（一般是利用粒子入、出磁场时的半径）。半径的计算一般是利用几何知识，常用解三角形的方法及圆心角等于圆弧上弦切角的两倍等知识。

（3）在磁场中运动时间的确定。利用圆心角与弦 切角的关系，或者是四边形内角和等于360°计算出圆 心角θ的大小，由公式t=

360

θ×T 可求出运动时间。

有时也用弧长与线速度的比。

如图所示，还应注意到：

①速度的偏向角ϕ等于弧AB 所对的圆心角θ。

②偏向角ϕ与弦切角α的关系为：ϕ＜180°，ϕ=2α；ϕ＞180°，ϕ=360°-2α； （4）注意圆周运动中有关对称规律

如从同一直线边界射入的粒子，再从这一边射出时，速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。

3、电场和磁场对电荷作用的区别如何？

(1)电荷在电场中一定要受到电场力的作用，而电荷在磁场中不一定受磁场力作用。只有相对于磁场运动且运动方向与磁场不平行的电荷才受磁场力的作用，而相对磁场静止的电荷或虽运动但运动方向与磁场方向平行的电荷则不受磁场力作用．

(2)电场对电荷作用力的大小仅决定于场强E和电荷量q，即F=qE，而磁场对电荷的作用力大小不仅与磁感应强度B和电荷量q有关，还与电荷运动速度的大小v及速度方向与磁场方向的夹角θ有关，即，F=qvBsinθ．

(3)电荷所受电场力的方向总是沿着电场线的切线(与电场方向相同或相反)，而电荷所受磁场力的方向总是既垂直于磁场方向，又垂直于运动方向(即垂直于磁场方向和运动方向所决定的平面)．

(4)电荷在电场中运动时，电场力要对运动电荷做功(电荷在等势面)运动除外)，而电荷在磁场中运动时，磁场力一定不会对电荷做功。

【典型例题】

例1、图中MN表示真空室中垂直于纸面的平板，

它的一侧有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感

应强度大小为B。一带电粒子从平板上狭缝O处以垂直

于平板的初速v射入磁场区域，最后到达平板上的P点。

已知B、v以及P到O的距离l，不计重力，求此粒子的电荷e与质量m之比。

例2、一个负离子，质量为m，电量为q，以速率v垂直于屏S经小孔O射入有匀强磁场的真空室中，磁感应强度B的方向与离子运动方向垂直，并垂直于纸面向里，如图所示。如果离子进入磁场后经过时间t到达P点，则直线OP与离子入射方向之间的夹角θ跟t的

关系式如何？

例3、如图，在某装置中有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于Oxy所在的纸面向外。某时刻在x=l0、y=0处，一质子沿y轴的负方向进入磁场；同一时刻，在x=-l0、y=0处，一个α粒子进入磁场，速度方向与磁场垂直。不考虑质子与α粒子的相互作用。设质子的质量为m，电荷量为e。

（1）如果质子经过坐标原点O，它的速度为多大？

（2）如果α粒子与质子经最短时间在坐标原点相遇，α粒子的速度应为何值？方向如何？

【针对训练】

1、在图所示的各图中，匀强磁场的磁感应强度均为B，带电粒子的速率均为v、带电量均为q。试求出图中带电粒子所受洛仑兹力的大小，并标出洛仑兹力的方向。（）

2、每时每刻都有大量带电的宇宙射线向地球射来，地球磁场可以有效地改变这些宇宙射线中大多数带电粒子的运动方向，使它们不能到达地面，这对地球上的生命有十分重要的意义。假设有一个带正电的宇宙射线粒子正垂直于地面向赤道射来，（如图，地球由西向东转，虚线表示地球自转轴，上方为地理北极），在地球磁场的作用下，它将（）

A、向东偏转

B、向南偏转

C、向西偏转

D、向北偏转

3、如图所示，光滑半圆形轨道与光滑斜面轨道在B处与圆弧相连，带正电小球从A静止起释放，且能沿轨道前进，并恰能通过圆弧的最高点C。现将整个轨道置于水平向外的匀