北航2010-2011年研究生数值分析期末模拟试卷1-3

数值分析模拟试卷1

一、填空（共30分，每空3分） 1 设⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数)(1A cond =________. 2 设

,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________,

],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________.

3 设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-++≤≤+=2

1,121

0,)(2

323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________.

4 设∞

=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则

⎰=1

)(dx x xq k

________，=)(2

x q

________.

5 设⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当

其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的. 二、（14分）设4

9,1,41,)(2102

3

===

=x x x x x f , （1）试求)(x f 在]4

9,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足

2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='.

（2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式.

三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3

2

41+

=+， （1） 证明R x ∈∀0均有∙

∞

→=x x n x lim （∙

x 为方程的根）；

（2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；

（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.

四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式

有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？

五、（15分） 设有常微分方程的初值问题⎩⎨

⎧=='0

0)()

,(y x y y x f y ，试用Taylor 展开原理构造形如

)()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误

差主项.

六、（15分） 已知方程组b Ax ＝，其中⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=21,13.021b A ， （1） 试讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的收敛性. （2） 若有迭代公式)()()()

1(b Ax a x x

k k k ++=+，试确定一个的取值范围，在这个范围内

任取一个值均能使该迭代公式收敛. 七、（8分） 方程组，其中

，A 是对称的且非奇异.设A 有误差，则原方

程组变化为

，其中

为解的误差向量，试证明

.

其中1λ和2λ分别为A 的按模最大和最小的特征值.

数值分析模拟试卷2

填空题（每空2分，共30分）

1. 近似数231.0=*

x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字； 2. 设

)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是

_______________________________________________；

3. 对1)(3

++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________； 4. 已

知

⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛-='-=1223,)3,2(A x ，则

=

∞||||Ax ________________，

=)(1A Cond ______________________ ；

5. 用二分法求方程01)(3

=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为

_________，进行二步后根所在区间为_________________；

6. 求解线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=+=+045

11532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为

_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径

=)(G ρ_______________；

7. 为使两点数值求积公式：

⎰

-+≈1

1

1100)()()(x f x f dx x f ωω具有最高的代数精确度，其

求积节点应为=0x _____ , =1x _____,==10ωω__________. 8. 求积公式

)]2()1([2

3

)(3

f f dx x f +≈⎰

是否是插值型的__________，其代数精度为

___________。

二、（12分）(1)设LU A =，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。已知

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛------=210012*********

2A ，求L ，U 。

(2)设A 为66⨯矩阵，将A 进行三角分解：LU A =，L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，试写出L 中的元素65l 和U 中的元素56u 的计算公式。

三、（12分）设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式)(x H ，满足

3)1()1(,1)2()2(,1)1()1(,0)0()0(='='======f H f H f H f H ，

并写出插值余项。 （12分）线性方程组

⎩⎨

⎧=+=-2

211

2122b x x b x x ρρ

（1） 请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式，并讨论收敛性。 （2） 设2=ρ，给定松弛因子2

1=

ω，请写出解此方程组的SOR 方法的迭代格式，并讨论

收敛性。

五、（7分）改写方程042=-+x x

为2ln /)4ln(x x -=的形式，问能否用迭代法求所给方程在[1,2]内的实根？

六、（7分）证明解方程0)(23=-a x 求3a 的牛顿迭代法仅为线性收敛。

七、（12分）已知.4

3

,21,41210===

x x x （1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；

（2）指明求积公式具有的代数精度；