平面直角坐标系中的位似-人教版九年级数学下册优秀教案设计

第2课时 平面直角坐标系中的位似

1．学会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换；(重点)

2．掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，对应点的坐标变化的规律．(难点)

一、情境导入

观察如图所示的坐标系．

试着发现坐标系中几个图形间的联系，然后自己作出一个类似的图形．

二、合作探究

探究点一：平面直角坐标系中的位似

【类型一】 利用位似求点的坐标

如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A (6，6)，B (8，2)，以原点O 为位似中心，

在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12

后得到线段CD ，则端点C 的坐标为( )

A ．(3，3)

B ．(4，3)

C ．(3，1)

D ．(4，1)

解析：∵线段AB 的两个端点坐标分别为A (6，6)，B (8，2)，以原点O 为位似中心，在

第一象限内将线段AB 缩小为原来的12

后得到线段CD ，∴端点C 的横坐标和纵坐标都变为A 点的一半，∴端点C 的坐标为(3，3)．故选A.

方法总结：关于原点成位似的两个图形，若位似比是k ，则原图形上的点(x ，y )经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx ，ky )或(－kx ，－ky )．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第3题

【类型二】 在坐标系中画位似图形

在13×13的网格图中，已知△ABC 和点M (1，2)．

(1)以点M 为位似中心，位似比为2，画出△ABC 的位似图形△A ′B ′C ′；

(2)写出△A ′B ′C ′的各顶点坐标．

解析：(1)利用位似图形的性质及位似比为2，可得出各对应点的位置；(2)利用所画图形得出对应点坐标即可．

解：(1)如图所示，△A ′B ′C ′即为所求；

(2)△A ′B ′C ′的各顶点坐标分别为A ′(3，6)，B ′(5，2)，C ′(11，4)．

方法总结：画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第7题

【类型三】 在坐标系中确定位似比

△ABC 三个顶点A (3，6)、B (6，2)、C (2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似

图形△A ′B ′C ′三个顶点分别为A ′(1，2)，B ′(2，23)，C ′(23，－13

)，则△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比是________．

解析：∵△ABC 三个顶点A (3，6)、B (6，2)、C (2，－1)，以原点为位似中心，得到的

位似图形△A ′B ′C ′三个顶点分别为A ′(1，2)，B ′(2，23)，C ′(23，－13

)，∴△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比是1∶3.

方法总结：以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题

探究点二：位似在坐标系中的简单应用

【类型一】 确定图形的面积

如图，原点O 是△ABC 和△A ′B ′C ′的位似中心，点A (1，0)与点A ′(－2，0)是对应

点，△ABC 的面积是32

，则△A ′B ′C ′的面积是________．

解析：∵点A (1，0)与点A ′(－2，0)是对应点，原点O 是位似中心，∴△ABC 和△A ′B ′C ′

的位似比是1∶2，∴△ABC 和△A ′B ′C ′的面积比是1∶4，又∵△ABC 的面积是32

，∴△A ′B ′C ′的面积是6.

方法总结：位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

【类型二】 位似变换与平移、旋转、轴对称的综合

如图，点A 的坐标为(3，4)，点O 的坐标为(0，0)，点B 的坐标为(4，0)．

(1)将△AOB 沿x 轴向左平移1个单位后得△A 1O 1B 1，则点A 1的坐标为(________)，△A 1O 1B 1的面积为________；

(2)将△AOB 绕原点旋转180°后得△A 2O 2B 2，则点A 2的坐标为(________)；

(3)将△AOB 沿x 轴翻折后得△A 3O 3B 3，则点A 3的坐标为(________)；

(4)以O 为位似中心，按比例尺1∶2将△AOB 放大后得△A 4O 4B 4，若点B 4在x 轴的负半轴上，则点A 4的坐标为(________)，△A 4O 4B 4的面积为________．

解析：(1)将△AOB 沿x 轴向左平移1个单位后得△A 1O 1B 1，则点A 1的坐标为(2，4)，

△A 1O 1B 1的面积为12

×4×4＝8；(2)将△AOB 绕原点旋转180°后得△A 2O 2B 2，则点A 2的坐标为(－3，－4)；(3)将△AOB 沿x 轴翻折后得△A 3O 3B 3，则点A 3的坐标为(3，－4)；(4)以O 为位似中心，按比例尺1∶2将△AOB 放大后得△A 4O 4B 4，若点B 4在x 轴的负半轴上，则点

A 4的坐标为(－6，－8)，△A 4O 4

B 4的面积为12

×8×8＝32.故答案为(1)2，4；8；(2)－3，－4；(3)3，－4；(4)－6，－8；32.

方法总结：此题主要考查了图形的旋转以及平移和位似变换、三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．

三、板书设计

位似变换的坐标特征：

关于原点成位似的两个图形，若位似比是k ，则原图形上的点(x ，y )经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx ，ky )或(－kx ，－ky )．

这节课主要是让学生感受在平面直角坐标系中的位似图形根据坐标的变化而变化，教学过程中要提高学生学习积极性、使心情愉悦、思维活跃，这样才能真正激发学生学习数学的兴趣，提高课堂学习效率.