第三章 不可压缩无粘流体平面势流

本章基本要求
• 掌握平面不可压位流中位函数与流函数的性质与关系；
• 掌握平面不可压位流的基本方程即拉普拉斯方程的特点 、叠加原理和边界条件； • 掌握四种基本而重要的位流流动即：直匀流，点源（点 汇）、偶极子和点涡的表达； • 重点掌握直匀流与偶极子和点涡的叠加； • 掌握儒可夫斯基升力定律；
3.1、理想不可压缩流体平面位流的基本方程
3.1、平面不可压位流的基本方程
在流函数相等的线上，有
d dx dy vdx udy 0 x y dx dy u v
上式即为平面流动的流线方程。 （3）流函数在某一方向的偏导数顺时针旋转90度方向的速度分量。 Vn nm m x y Vn v cos(m, x) u cos(m, y ) m x m y m 根据流函数这一性质，如果沿着流线取s，反时针旋转90度取n方向，则有 （流函数增值方向沿速度方向反时针旋转90度方向） （4）理想不可压缩流体平面势流，流函数满足拉普拉斯方程。即
（2）速度势函数 满足拉普拉斯方程，是调和函数。满足解的线性迭加原理。 如果速度势函数 i 满足拉普拉斯方程，则它们的线性组合也满足拉普拉斯 方程。 n n 2i 2i 2i 2 2 2 Cii 2 2 Ci 2 2 2 2 0 x y z x y z i 1 i 1 （3）速度势函数相等的点连成的线称为等势线，速度方向垂直于等势线。
1 v u 1 1 2 2 z 2 x ( x ) y ( y ) 2 x 2 y 2 2 x y 0
Vs n Vn 0 s
v u K1K 2 1 u v 说明流线与等势线在同一点正交。 （3）流网及其特征 在理想不可压缩流体定常平面势流中，每一点均存在速度势函数和流函数值。 这样在流场中，存在两族曲线，一族为流线，另一族为等势线，且彼此相 互正交。把由这种正交曲线构成的网格叫做流网。在流网中，每一个网格 的边长之比等于势函数和流函数的增值之比。 d Vs dn d Vs ds 如果 d d 网格正方形。 dn d dn ds ds d
早期流体力学发展的一种理想化近似模型，比求解真实粘性流动问题
要容易的多。在粘性作用可忽略的区域，这种理想模型的解还是有相 当的可信程度。 1、不可压缩理想流体无旋流动的基本方程
u v w 0 x y z 1 dV f p dt
3.1、平面不可压位流的基本方程
2 2 2 0 x 2 y 2 z 2 V 2 p C (t ) t 2
初始条件 边界条件为
t t0
V V0 ( x, y, z) p p0 ( x, y, z)
无穷远处 在流体力学中的边界条件多数属于第二类边界条件，即在边界上给定速度势函 数的偏导数。
V u x v y w z
如果将上式代入不可压缩流体的连续方程中，得到
V 0 u v w 0 x y z 2 2 2 0 x 2 y 2 z 2
3.1、平面不可压位流的基本方程
第3章
理想不可压缩流体平面位流
3．1 3．2
理想不可压缩流体平面位流的基本方程 几种简单的二维位流
直匀流 点源 偶极子 点涡 直匀流加点源 直匀流加偶极子 直匀流加偶极子加点涡
— 3 ．2 ．1 — 3 ．2 ．2 — 3 ．2 ．3 — 3 ．2 ．4
3 ．3
一些简单的流动迭加举例
— 3 ．3 ．1 — 3 ．3 ．2 — 3 ．3 ．3
由此可见，利用无旋流动和连续条件所得到的这个方程是大家熟知的二阶 线性偏微分方程，拉普拉斯方程，这是一个纯运动学方程。如果对这个方 程赋予适定的定解条件，就可以单独解出速度位函数，继而求出速度值。 与压强p没有进行偶合求解，那么如何确定压强呢？在这种情况下，可将速 度值作为已知量代入运动方程中，解出p值。实际求解并不是直接代入运动 方程中，而是利用Bernoulli(或Lagrange)积分得到。对于理想不可压缩流 体，在质量力有势条件下，对于无旋流动，运动方程的积分形式为 V 2 p C (t ) t 2
dx dy vdx udy x y V y c d
3.2、几种简单的二维位流
2、点源
源可以有正负。正源是从流场上某一点有一定的流量向四面八方流 开去的一种流动。负源（又名汇）是一种与正源流向相反的向心流 动。如果把源放在坐标原点上，那末这流动便只有υr，而没有 设半径为r处的流速是υr，那末这个源的总流量是
3.2、几种简单的二维位流
1、直匀流 直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为
ua vb
位函数为
；
u
a v b x y
dx dy adx bdy x y ax by c d
常用平行于x轴的直匀流，从左面远方流来，流速为 V 。 相应的流函数和势函数为 V x c
3.1、平面不可压位流的基本方程
流网不仅可以显示流速的分布情况，也可以反映速度的大小。如流线密 的地方流速大，流线稀疏的地方流速小。
如果相邻流线之间的流函数差为常数，等于单宽流量增量。即
d dq Vs1 dn2 Vs dn dn Vs 2 dn1
表示流速与网格间距成反比，因此流线 的疏密程度反映了速度的大小。
d 0 d V ds 0
V ds
3.1、平面不可压位流的基本方程
（4）连接任意两点的速度曲线等于该两点的速度势函数之差。速度线积分与 路径无关，仅决定于两点的位置。如果是封闭曲线，速度环量为零。
B V ds (udx vdy wdz)
0 n p ps V V
固壁面条件
自由面条件
3.1、平面不可压位流的基本方程
2、速度势函数的性质 （1）速度势函数沿着某一方向的偏导数等该方向的速度分量，速度势函数沿 着流线方向增加。由此可得出，速度势函数允许相差任意常数，而不影响 流体的运动。
Vs ds V ds udx vdy wdz V ds dx dy dz Vs u v w ds ds ds ds dx dy dz Vs x ds y ds z ds s
对于理想不可压缩流体，流动的基本方程是连续方程和欧拉运动方 程组。在第二章中已给出这些方程的推导过程，本章应该讨论怎样求 解这些方程。但是，要想得到这些偏微分方程的解，并非易事。因为 实际飞行器的外形都比较复杂，要在满足这些复杂边界条件下求得基 本方程的解，困难是相当大的。为了简化求解问题，本章首先介绍流 体力学中一类简单的流动问题，理想不可压缩流体的无旋流动。这是
v 。
3.1、平面不可压位流的基本方程
5、理想不可压缩流体平面定常无旋流动数学问题的提法 对于理想不可压缩平面定常无旋流动问题的数学提法共有三种。 设给定一平面物体C，无穷远为直均流，在绕流物体不脱体的情况下，求 这个绕流问题。 （1）以速度势函数为未知函数的提法
2 2 2 0 2 x y
3.1、平面不可压位流的基本方程
（5）任意两条流线之间的流函数之差等于通过此两条流线之间的单宽流量q。
q Vs dn dn d 2 1 n 1 1 1
2 2 2
4、平面势流流函数与速度势函数之间的关系及其流网的概念 （1）理想不可压缩流体，平面势流流函数和速度势函数均满足拉普拉斯方程 ，且满足柯西-黎曼条件。
（2）以流函数为未知函数的提法
n
0
C
u vHale Waihona Puke Baidux y
2 2 2 0 C 0 2 x y
（3）以复位势w(z)为未知函数提法
v u x y
w( z ) i
需要求解满足一定定解条件的在C外区域内的解析函数。
B A A
( dx dy dz) d B A x y z A A
B B
3、流函数及其性质 根据高等数学中，格林公式可知（平面问题的线积分与面积分的关系）
Q P Pdx Qdy x y dxdy L
对于定常流动，质量力只有重力，得到 V2 p gz C 2
如果忽略质量力（在空气动力学中经常不考虑重力的作用）
V2 p C 2
由此说明，只要把速度势函数解出，压强p可直接由Bernoulli方程得到。在这 种情况下整个求解步骤概括为：
3.1、平面不可压位流的基本方程
（1）根据纯运动学方程求出速度势函数和速度分量；（2）由Bernoulli方程确 定流场中各点的压强。这使得速度和压强的求解过程分开进行，从而大大简 化了问题的复杂性。综合起来，对于理想不可压缩流体无旋流动，控制方程 及其初边界条件为
u x y v y x
（2）过同一点的等速度势函数线与等流函数线正交（等势线与流线正交）。 等流函数线是流线，有
d vdx udy 0 dy v K1 dx u
3.1、平面不可压位流的基本方程
另一方面，过该点的等势函数线方程为
dx dy udx vdy 0 x y dy u K2 dx v 在同一点处，流线与等势线的斜率乘积为 d
初始条件和边界条件为 V V ( x, y, z) p p(x,y,z) 在t=t0时刻， 在物体的边界上 Vn 0 在无穷远处 V V 如果没有无旋流条件进一步简化上述方程，求解起来也是很困难的。这是 因为方程中的对流项是非线性的，而且方程中的速度V和压强p相互偶合 影响，需要一并求出。但是，对于无旋流动，问题的复杂性可进一步简化 ，特别是可将速度和压力分开求解。这是因为，对于无旋运动情况，流场 的速度旋度为零，即 rotV V 2 0 存在速度势函数（位函数）为
如果令
P v Q u u v vdx udy x y dxdy L
3.1、平面不可压位流的基本方程
由此可见，下列线积分与路径无关
vdx udy 0
L
存在的充分必要条件是
u v 0 x y
这是不可压缩流体平面流动的连续方程。这样，下列微分一定是某个函数的全 微分，即 d vdx udy dx dy vdx udy x y u v y x 这个函数称为流函数。由此可见，对于不可压缩流体的平面流动，无论是理想 流体还是粘性流体，无论是有涡流动还是无涡流动，均存在流函数。流函 数的概念是1781年Lagrange首先引进的。流函数具有下列性质 （1）流函数值可以差任意常数而不影响流动。 （2）流函数值相等的点的连线是流线。即等流函数线的切线方向与速度矢量 方向重合。