第七章 不可压缩流体动力学基础
不可压缩流体动力学基础
（c3）
mx my mz vx v y vz dxdydzdt （c） y z x
微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化为：
mt
A
v x x v x y x 2 y 2
B
v y x v y y vy x 2 y 2
v x v x y vx x x 2 y 2
δx
vx
v x x v x y x 2 y 2
图 7-3 流体微团的平面运动速度分量
（1）平移运动：所有偏倒数为0，如图7-4（a）所示，矩形ABCD各角点 具有相同的速度 v x , v y 。导致矩形ABCD平移△x = v △t, △y = v y △t, x 其ABCD的形状不变。
如果在式（7-10）的第一式右端加入两组等于零的项：
1 v y 1 v y y y 和 2 x 2 x
1 v z 1 v z z z 2 x 2 x
其值不变。经过简单组合，可将该式写成 ：
v x 1 v y v x 1 v x v z 1 v y v x 1 v x v z v Ax v x x ( )y ( )z ( )y ( )z x 2 x y 2 z x 2 x y 2 z x
对于不可压缩流体
vr 1 v v z vr 0 r r z r
式中 r 为极径； 为极角。
球坐标系中的表示式为:
1 ( v ) 1 ( v r r 2 ) 1 ( v sin ) 0 2 r sin t r r r sin
在
（b）
第七章不可压缩流体动力学基础
刚体任意参考点的平移速度
刚体的运动速度
绕参考点的旋转速度
质点上任意参考点的平移速
流体任一质点速度 绕度通过该点的瞬时轴旋转速度
变形速度
流体力学 移动
流体微团的运动 转动
变形运动
流体力学
各点速度关系: M点速度: vx , vy C点速度:
BAMFra bibliotekCvCX
vx
vx x
dx 2
vCY
vy
流体力学
方程组的定解条件
初始条件 定解条件
边界条件
流体力学
1、初始条件
初始条件是指在起始瞬时t＝0所给定的流场中每一点的 流动参数。
也就是说，求得的解在t＝0时所应分别满足的 预先给定的坐标函数。
定常流动不需要给定初始条件。
流体力学
2、边界条件
边界条件是指任一瞬时运动流体所占 空间的边界上必须满足的条件。
根据质量守恒定律：
(ρVx x
)
(ρVy y
)
(ρVz z
)
ρ t
净流入微元体质量流量＝流体质量增长率
ρt
(ρVx x
)
(ρVy y
)
(ρVz z
)
0
将
dρ dt
ρt
Vx
ρx
Vy
ρy
Vz
ρ z
引入
得
ρ t
dρ dt
(Vx
ρx
Vy
ρy
Vz
ρz )
流体力学
代入上式
得
ddρt ρ(
vBx
vCx
vx x
dx
经过dt时间BC边伸长
重庆大学853流体力学考点勾画
重庆大学2022年城市建设与环境学院《流体力学》考研大纲第一章绪论：表面张力不考。
流体的内摩擦阻力计算题要考。
第二章流体静力学：浮体，潜体不考，本章的一些证明不考(如压强公式的证明)第三章*（重点章）一元流体动力学：1、考试重点章节，动量方程为重点。
2、水头线不考，气体部分的总压线和全压线不考。
气体能量方程（供暖，供热，供燃气，通风及空调工程考）。
3、恒定平面势流问题：关于应力和应变率的关系不考，关于微团的流动只需了解，需知道液体微团运动的意义，恒定平面势流中势流的叠加不考，流函数，势函数的关系重点(必考)。
4、不可压缩流体运动微分方程:方程的意义要会写，紊流的基本方程，要知道平均值，切应力如何产生要知道。
第四章流动阻力的能量损失：1、只考普朗特假设，粗糙雷诺数，层流底层厚度，局部阻碍相互干扰要了解比较透彻。
水击不考。
2、切应力计算公式(层流圆管切应力τ)需了解，紊流运动中了解概念，普朗特假设不考。
3、绕流阻力:什么叫绕流阻力，如何产生的？边界层分离的概念要考。
第五章孔口，管嘴，管路闸孔：计算一般不考(非重点，但需了解)1、孔口，管嘴环状管网，闸孔不考，但枝状管网，串，并联要考。
2、管网的水力计算:环状管网的水力计算不考，枝状管网需了解。
3、堰流、闸孔出流不考，水击不考。
4、气孔射流(稳定射流)计算不考，概念要考（如什么叫质量流速）。
第六章射流与扩散：重点掌握射流特征，其余不考。
1、射流计算不考（市政工程，供暖，供热，供燃气，通风及空调工程不用看射流，其他专业要了解它的概念）。
扩散不用看。
第七章不可压缩流体动力基础：1、微团运动不考，但微团的运动分为平动和转动和变形运动要记牢。
应力表示的运动方程不考，应力不考，应变率不考第八章绕流，平面势流*（重点章）：涡流运动的性质不考。
掌握判断势流的叠加，流函数和势函数必考计算题。
差分法不考。
第九章气体动力基础（除供暖，供热，供燃气，通风及空调工程，其他专业不用看）：等温管路不考，绝热管路不考，只考可压缩气体方程。
2018年长安大学831流体力学考研大纲硕士研究生入学考试大纲内容范围
831流体力学考试内容范围
第一章绪论
质量力，表面力，流体的主要力学性质，流体的力学模型。
第二章流体静力学
流体静压强及分布规律，压强的量度单位，液柱测压计，作用于平面及曲面的液体压力，流体平衡微分方程，液体的相对平衡。
第三章一元流体动力学基础
流线和迹线，一元流动连续性方程，恒定元流、总流能量方程，过流断面的压强分布，能量方程的应用，总水头线和测压管水头线，恒定气流能量方程，总压线和全压线，恒定流动量方程。
第四章流动阻力和能量损失
沿程损失和能量损失，层流与紊流、雷诺数，尼古拉兹实验，非圆管的沿程损失，减小阻力的措施。
第五章孔口管嘴管路流动
孔口自由及淹没出流，管嘴出流，简单管路及串、并联，有压管中的水击。
第六章气体射流
无限空间淹没紊流射流的特征，圆断面射流的运动分析，温差或浓差射流，有限空间射流。
第七章不可压缩流体动力学基础
流体微团运动的分析，有旋流动，不可压缩流体连续性微分方程，以应力表示的粘性流体运动微分方程式，纳维—斯托克斯方程，理想流体运动微分方程及积分，流体运动的定解条件。
第八章绕流运动
无旋流动，平面无旋流动，势流叠加，绕流运动及附面层基本概念，附面层动量方程，曲面附面层的分离现象与卡门涡街，绕流阻力与升力。
第九章一元气体动力学基础
理想气体一元恒定流动的运动方程，音速、滞止参数、马赫数，气体一元恒定流动的连续性方程，等温与绝热管路中的流动。
第十章相似性原理和因次分析。
不可压缩流体名词解释
不可压缩流体名词解释
不可压缩流体是指在流动过程中，其体积或密度不发生显著变化的流体。
这类流体在平衡状态下，任何微小变化（如温度或压力的变化），都不会影响其深度、形状或体积等物理性质。
在工程和科学领域，不可压缩流体通常用来描述流体动力学中的一类理想化现象。
例如，一般假设在低速流动中，气体可以视为不可压缩的。
然而，当速度接近或超过音速时，气体的压缩效应就变得重要起来。
不可压缩流体的概念非常重要，因为在许多实际问题中，流体的性质足够接近不可压缩的性质，可以忽略其小的压缩性，从而简化对流体动力学进行的研究和计算。
例如，在研究和设计飞机、船舶、管道、水轮机等的流体力学问题时，常常
假设工作介质为不可压缩流体，以便于使用更简单的方程进行分析。
不可压缩流体理论在流体力学中占据重要位置。
流体运动的基本规律——质量守恒定律、动量守恒定律、能量守恒定律在不可压缩流体中的表现形式，成为流体力学的基础方程。
这些基础方程是研究流体运动最重要的工具，也是解决实际流
体力学问题的基础。
在模拟和解析实际问题时，不可压缩流体假设为工程师和科研人员提供了实用的工具。
这些工具不仅帮助他们理解和解决复杂的流体动力学问题，而且帮助他
们设计和优化了许多工程系统，例如管道输送系统、液压系统、制冷系统等等。
然而，需要注意的是，不可压缩流体模型只是一个理想化的模型，它不一定能完全描述所有类型的流体动力学现象。
例如，对于高速流、音速流或者强烈震动和振动的流，压缩效应可能不能忽略，需要使用其他更复杂的模型来描述其物理行为。
因此，使用不可压缩流体模型时，必须清楚它的适用范围和局限性，以避免误导设计和决策。
流体力学热能第5章 不可压缩流体动力学基础讲解
本章讨论三元流动，主要内容是有关流体运动的基本概念和基本原理， 以及不可压缩流体流动的基本方程。 积分形式的基本方程用于解决控制面上的流动参数问题。 微分方程可用于解决流 动参数在流场中的分布问题。
一、运动形式
§7-1 流体微团运动的分析
1、流体微团：指体积微小，随流体一起运动的一团流体物质。与流体质点不 同，虽体积微小，但包含无数个流体质点。各质点间存在着相对位置的变化。
?x
?
?ux ?x
?y
?
?uy ?y
差值为正，发生伸长变形。
?z
?
?uz ?z
3、旋转角速度
逆时针为正
对角线EMF 的旋转角速度定义为
A
整个流体微团在oxy 平面上的旋转角速度。 E
? ?
?
?
z
?
1
?u (
y
2 ?x
?
?ux ) ?y
?
??
?
y
?
1 (?ux 2 ?z
?
?uz ) ?x
?
??
?
x
?
2、基本运动形式
平移运动
旋转运动
线变形、
变形运动
角变形
BF
二、运动分析
以二元流动的情况为例，研究几种
A
uy
ux C
dy
基本运动形式的速度表达式。
M
E
如图，方形流动微团
D
dx
各侧边中点A、B、C、D的流速分量分别为
M
A
ux
ux
?
?ux ?x
? dx 2
B
ux
?
?ux ?y
不可压缩粘性流体动力学基础_OK
uz y
u y z
zx
xz
1 ux 2 z
uz x
（7—3）
14
江汉大学化环学院
流体力学与流体机械
综上所述，可写出表示流体微团运动的基本形式如下：
表示平移的平移速度：u x、u、y u。z
表示线变形的线变形速度（又称线变率）：
x
u x x
y
u y y
z
u z y
表示角变形的角变形速度（又称角变率）：
一、流体微团（Material Elements of Fluid） 流体微团是由大量的流体质点所组成的一个微小质团，它
具有微小的体积，是研究流体运动的一个基本单元。
4
江汉大学化环学院
流体力学与流体机械
流体微团的尺度在微观上足够大，大到能包含大量的 分子，使得在统计平均后能得到其物理量的确定值，质 点的尺度在宏观上又足够小，远小于所研究问题的特征 尺度，使得其平均物理量可看成是均匀的；而且可以把 流体微团看成是几何上的一个点。
dx dy dz
x y z
21
江汉大学化环学院
流体力学与流体机械
在给定瞬时，在漩涡场中任取一个不是涡线的封闭曲线， 通过这条曲线上每一点作一根涡线，这些涡线就构成一个管 状曲面，称为涡管（Vortex Tube）；涡管中充满着作旋涡运 动的流体，称为涡束，或称为元涡（Vortex Filament）。 涡通量（Vortex Flux）或旋涡强度（Intensity of Vorticity），以 J表示。元涡的涡通量为微元涡的断面积和速度涡量（简称涡 量）的乘积，即
y
ux d yd t y
D
C
C
uy
u y y
dy
不可压缩流体动力学基础习题答案
不可压缩流体动力学基础1．已知平面流场的速度分布为xy x u x+=2，y xy u y 522+=。
求在点（1，-1）处流体微团的线变形速度，角变形速度和旋转角速度。
解：（1）线变形速度：y x xu x x +=∂∂=2θ 54+=∂∂=xy y u yy θ 角变形速度：()x y y u x u x y z +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=222121ε 旋转角速度：()x y x u x u x y z -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=222121ω 将点（1，-1）代入可得流体微团的1=x θ，1=y θ；23/z =ε；21/z =ω2．已知有旋流动的速度场为322+=y u x，x z u y 32+=，y x u z 32+=。
试求旋转角速度，角变形速度和涡线方程。
解：旋转角速度：2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=z u y u y z x ω 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y ω 2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=y u x u x yz ω 角变形速度：2521=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=z u y u y z x ε 2521=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y ε 2521=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=y u x u x y z ε 由z y x dz dy dx ωωω==积分得涡线的方程为：1c x y +=，2c x z +=3．已知有旋流动的速度场为22z y c u x+=，0=y u ，0=z u ，式中c 为常数，试求流场的涡量及涡线方程。
解：流场的涡量为： 0=∂∂-∂∂=zu y u y z x Ω 22z y cz xu z u z x y +=∂∂-∂∂=Ω 22z y cy y u x u x yz +-=∂∂-∂∂=Ω旋转角速度分别为：0=x ω222zy czy +=ω 222z y cyz +-=ω 则涡线的方程为：c dz dy z y +=⎰⎰ωω 即c y dz z dy +-=⎰⎰可得涡线的方程为：c c y =+22 4．求沿封闭曲线2 22b y x =+,0=z 的速度环量。
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zz dz z
zx
应力状态：
zx dz z
xx
xy
xy x
dx
yx
xx
z
y
xz zx
yz
zz
yx
xx dx x
粘性流场中任意一点的应力有9 个分量，包括3个正应力分量和 6个切应力分量：
yx y
dy
x
切应力互等定律
恒定流或非恒定流； 理想液体或实际液体。
一维流动的连续方程
1 A1 2 A2
连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程 之一。任何流体的连续运动均必须满足。
例：已知不可压流体速度,
u x y z , v xy yz zx
2 2 2
u v w 解： 不可压流体 V 0 0 x y z w 2x x z 0 z w 3 x z z 1 2 w z 3 xz f ( x , y , t ) 2
vD D uD C vC
v yt y
D
B A
uC
y
v A u B vB uB
u x t x
x
线变形率
u x x
x
7.1 流体微团的运动分 析 三、角变形率
1. 角变形
y
u yt y
u tg t C y
D vD D uD C uC vC
第七章
不可压缩流体动力学 基础
重点、难点内容
流体微团运动的分析 有旋流动、无旋流动 理想流体运动微分方程 涡线、涡管以及斯托克斯定理
第一节
流体微团运动的分析
分析流场中任意流体微团运动是研 究整个流场运动的基础。 流体运动要比刚体运动复杂得多， 流体微团基本运动形式有平移运动，旋 转运动和变形运动等，而变形运动又包 括线变形和角变形两种。
( v y ) ( v z ) dxdydzdt dxdydzdt ； Z方向： Y方向： y z
2、dt时间内，整个六面体内输入与输出的质量差：
( vy ) ( vx ) ( vz ) dxdydzdt dxdydzdt dxdydzdt x y z ( vx ) ( v y ) ( vz ) dxdydzdt y z x
平移运动、旋转运动、线变形运动 和角变形运动
右图为任意t时刻 在平面流场中所取的一 个正方形流体微团。由 于流体微团上各点的运 动速度不一致，经过微 小的时间间隔后，该流 体微团的形状和大小会 发生变化，变成了斜四 边形。
7.1 流体微团的运动分 析 从xoy平面看速度分解
y C
vD
u D u v y，vD v y y C y
A 、 B 、 C 、 D 的流速分量
可见，微团上每一点 的速度都包含中心点的速度 以及由于坐标位置不同所引 起的速度增量两个组成部分。
平移运动速度
微团上各点公有的分速度 ux 和 uy ，使它们在 dt 时间内均沿 x 方向移 动一距离 uxdt , 沿 y 方向移动一距离 uydt 。因而，我们把中心点 M 的速度 ux和 uy ，定义为流体微团的平移运动 速度。
( x z ) ( y z ) ( z 2 ) z方向： dxdydz x y z
微元体内的动量变化率
x dxdydz x方向： t
流体的瞬时质量为 X方向的瞬时动量为
dxdydz vx dxdydz
z dxdydz y方向： dxdydz z方向： t t
在流场中任取一封闭曲线s则流速沿曲线 s的积分称为曲线s上的速度环量。并规定积分 沿s逆时针方向绕行为s的正方向。
第三节
不可压缩流体连续性微分方程
质量守恒
直角坐标系中的连续性方程
z dy
输入微元体 输出微元体 的质量流量 － 的质量流量
dz
vx dydz
vx dx dydz vx x
2
y
v A u
角变形率 B uB
x
vB
1 1 v u z lim ( ) t 0 2 t 2 x y x
旋转角速 度
1 1 v u z lim ( ) t 0 2 t 2 x y
流体微团的运动 形式与微团内各点速 度的变化有关。设方 形流体微团中心 M 的流速分量为 ux 和 uy （图 7-1 ) ，则微 团各侧边的中点 A 、 B 、 C 、 D 的流速 分量分别为：
适用范围：
恒定流或非恒定流；
不可压缩流体或可压缩流体
当液体平衡时：
dux duy duz 0 dt dt dt
则可以得到欧拉平衡微分方程。
1 p X x
1 p Y y
1 p Z z
运动方程 应力状态及切应力互等定律
zz
yz
yz y dy
在6个切应力分量中，互换下标 的每一对切应力是相等的。
微元体上X和Z方向的表面力
yx xy
yz zy
zx xz
微元体表面力的总力分量
xx yx zx X方向的表面力： dxdydz y z x
xy yy zy Y方向的表面力： dxdydz y z x
y
以应力表示的运动方程
x方向的运动方程：
xx yx zx ( x ) x x x x y z fx t x y z x y z
y方向的运动方程：
y y y y xy yy zy x y z fy t x y z x y z
3、微元体内的质量变化： dxdydzdt
t
从而有： ( vx ) ( vy ) ( vz ) 或：
x y z
dxdydzdt dxdydzdt t
( vx ) ( vy ) ( vz ) 0 t x y z
线变形运动
微团左、右两侧的 A 点和 C 点沿 x 方 向的速度差为 ，当这速度差值为正 时，微团沿 x 方向发生伸长变形；当它为负 时，微团沿 x 方向发生缩短变形。
线变形速度
单位时间，单位长度的线变形 称为线变形速度。 以θx表示流体微团沿 x 方向的 线变形速度，则：
三元流动线变形速度
微团的旋转和角变形
涡线
涡管
在涡量场中任意画一封闭曲线， 通过这条曲线上的每一点所作出的 涡线构成一管状的曲面，称为涡管。
涡通量
涡管强度守恒定理
涡管截面愈小的地方，流体的旋转角速度愈大。
斯托克斯定理
沿任意封闭曲线s的速度环量 等于通确该曲线为边界的曲面 A 的 涡通量。
速度环量
通常，涡通量是利用速度环量这个概念来 计算的。
Z方向的表面力：
xz yz zz y z x
dxdydz
动量流量及动量变化率
vz vx
vz vx v y vx y
dy
动量流量
动量通量
dx dz
vx vx
vx vx x dx
u y u y u y 1 p duy u y Y (u x uy uz ) y dt t x y z
1 p duz u z u z u z u z Z (u x uy uz ) z dt t x y z
理想液体运动微分方程（欧拉运动微分方程）
t
连续性方程
矢量形式： ( ) 0
（适用于层流、湍流、牛 顿、非牛顿流体）
连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空 间输出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。
若流体不可压缩：
v x v y v z 0 x y z
上式表明，对于不可压缩液体，单位时间单位体积空间 内流入与流出的液体体积之差等于零，即液体体积守恒。 适用范围：
旋转角速度
把对角线 的旋转角速度 定义为整个流 体微团在平面 上的旋转角速 度。
角变形速度
直角边 AMC （或BMD）与对角 线 EMF 的夹角的变 形速度定义为流体 微团的角变形速度。
亥姆霍兹速度分解定理
亥姆霍兹速度分解定理
第二节
有旋流动
流体微团的旋转角速度在流场内不完全 为零的流动称为有旋流动。
估算w。
理想液体运动微分方程
方程的物理意义：
以单位体积的流体质量为基准的牛顿第二运动定律
方程可简略表示成：
a F
方程左边是：任意时刻t通过考察 Dvx / Dt ax 点A的流体质点加速度的三个分量； 方程右边是：作用在单位体积流体上 的表面力和体积力在各坐标上的分量。
z
dy dz
自然界和工程中出现的流动大多数是有 旋流动，例如: 龙卷风 管道流体运动 绕流物体表面的边界层及其尾部后面的 流动。
有旋流动与无旋流动
无旋流动
有旋流动
涡量
涡量连续性微分方程
涡线及涡线微分方程
在涡量场中可以画出表征某一瞬时流体 质点的旋转角速度向量方向的曲线，称为涡 线。 在给定的瞬时，涡线上各点的角速度向 量在该点处与涡线相切。
z方向的运动方程： xz yz zz z z z z x y z fz
x
流通面积
vx vx
＝ 动量流量
图中标注的是动量的输入或 输出方向，而动量或其通量 本身的方向均指向x方向，即 分速度vx的方向。
y
vy vx