第5章 分布滞后与动态模型

我们也可以同时使用两个终端约束，把回归方程 中要估计的三个 a值减少到一个。通过使回归方 程中不包含 X t 1 和 X 一些额外的约束，即 关于 a 的多项式必须在 i 1 和 i (s 1) 时经过0， 如图5.2所示。
这样，一旦估计得到 a1 和 a2 ，就可以计算 a0 ，从 而可以计算 i 。这个约束实际上表明 X t 1 对 Yt 无影 响。这可能并不是合理的假设，特别是在本章消 费—收入的例子中，其中下一年的收入将进入到 恒久收入或终生收入中。当 s1 0 时，一个更为合 理的假设是远终端约束。
Yt ( 0 1i 2i 2 )X t i t
i 0 s
0 i 0 X t i 1 i 0 iX t i 2 i 0 i 2 X t i t
s s s
（5.5）
,0 ,1 和 2可以由以 Yt为被解释 （5.5）式表明 s s s Z X Z iX 0 t i i 0 变量， 、 1 i 0 t i 以及 Z 2 i 0 i 2 X t i为 解释变量的回归估计得到。这个方法由Almon （1965）提出并称为Almon多项式法。
s 4 4 i 0 t 4
研究者通常施加终端约束在Almon滞后模型上。 一个近终端约束是指（5.1）式中的 1 0。这意 味着在等式（5.5）中，这个终端约束对二次多项 1 f (1) 0 1 2 0。 式中的值产生一个约束： 这个约束使我们可以在给定1,2 条件下求出 a0 。 事实上，构造 0 1 2代入（5.5）式，回归方程 变为： Yt 1 (Z1 Z0 ) 2 (Z2 Z0 ) t （5.6）
假设我们观察从1955年到1995年的 X t ， X t 1 为相同的变量， 但是提前一期的，也就是1954-1994年的。因为1954年的 X t 1 1994年 数据观察不到，我们就从1955年开始观察 ，到 Xt 结束。这意味着当我们滞后一期时， 序列将从 1956年 开始到1995年结束。对于实际的应用来说，也就是当我们 滞后一期时，我们将从样本中丢失一个观测值。所以如果 我们滞后s期，将丢失s个观测值。更进一步，对于每一个 滞后值，都要估计出一个额外的 值。因此，自由度会 产生双重损失，即观测值数目的减少（因为引进滞后项）， 以及所需估计的参数的增加。除了自由度的丢失以外，方 程（5.1）式的解释变量相互间还可能存在高度相关。事 实上，大部分经济时间序列通常存在趋势，解释变量和它 们的滞后值间存在高度相关。这些解释变量的多重共线性 程度越高，回归估计的可行性就越低。
i 0
方程（5.9）式是Koyck滞后的无穷滞后形式。一 方面， X t 的一单位变化对 Yt 的短期影响为 (1 ) ; 另一方面，X t 的一单位变化对 Yt 的长期影响为 i0 i i0 i 。Koyck滞后结构暗示着随着时 间的推移， X t 的一单位变化对 Yt 的影响逐渐降低。 例如，如果 1/ 2 ，那么 0 / 2 ，1 / 4 ， 2 / 8 ，…….
i 1
用T个观测值去估计无限个 i ，唯一可行的方法 i 是对 i 施加更多结构。首先，我们标准化这些值， 也即令 。如果所有这 i ，其中 i 0 i i / i 些 值有相同的符号，即与 的符号相同，且对 i 所有的i 有 和 。这意味着 可被 i 0 i 1 0 i 1 视为概率值。Koyck（1954）对施加了几何滞后， i (1 ) i 0,1,..., 也即， ， 。 i i (1 ) 把 i 代入（5.8）式，可得 i （5.9） Yt (1 ) i X t i t
第二节 无穷分布滞后模型
柯依克（Koyck）模型 两类动态经济模型
5.2.1 柯依克（Koyck）模型
在§5.1节中，我们分析的是对 X t 施加有限阶滞后。 一些滞后有时是无穷阶的，例如，几十年前对高 速公路和道路的投资可能在今天仍然对GDP有影 响。在这种情况下，我们把方程（5.1）式重新写 成： ，t 1, 2,..., T （5.8） Yt i X t i t
这里需要注意的是，应用该方法的问题是要选择s 和r，即的滞后项数和每个多项式的次数。 Davidson和MacKinnon（1993）建议，以回归方 程（5.1）式为基础，首先确定合理的最大滞后 值 s ，使之与理论保持一致，然后考察随着s 的 下降，方程的拟合度是否会下降。考察方程拟合 度的一些可行标准包括：（1）最大化 R 2；（2） 最小化AIC（Akaike, 1973），其中 AIC(s) (RSS / T )e2s /T ； 或者(3)最大化BIC，其中 BIC(s) (RSS / T )T ，RSS代 表残差平方和。 R 2 、AIC和BIC会给予较高的s值 一个惩罚，从而避免自由度的过度损失。多数回 归软件如SHAZAM、Eviews和SAS均提供上述统 计值。
第五章 分布滞后与动态模型
分布滞后模型 无穷分布滞后模型
序列相关动态模型的估计与检验 自回归分布滞后模型
实证分析
第一节 分布滞后模型
很多经济模型在回归方程中有滞后项，例如，因为修建桥 和高速公路需要很多时间，所以公共投资对GDP的影响有 一个滞后期，而且这个影响可能会持续数年；研发新产品 需要时间，而后把这个新产品投入生产也需要时间；在研 究消费行为时，一个工资的变化可能影响好几期的消费。 在消费的恒久收入理论中，消费者会用若干期去决定真实 可支配收入的变化是暂时的还是永久的。例如，今年额外 的咨询费收入明年是否还会继续？同样，真实可支配收入 的滞后值会在回归方程中出现，是因为消费者在平滑其消 费行为时十分重视他自身的终身收入。一个人的终身收入 可以用他过去和现在的收入来推测。换句话说，回归关系 可以写为： Yt 0 X t 1 X t 1 s X t s t t 1,2, , T （5.1）
对于这个模型，OLS仍旧是BLUE，因为仍然满 足经典线性回归的基本假设。在方程（5.1）式中 我们所做的就是引入额外的自变量（X t 1 ,, X t s）。 这些变量与随机误差项不相关，因为它们都滞后 于变量 X t ，而 X t 假设与 t 无关。
图5.1 线性算术滞后
为了克服自由度减少的问题，我们可以施加更多 的结构在 上。施加在这些参数上的一种最简单 的假设就是线性算术滞后（Linear Arithmetic Lag）（见图5.1）， i [(s 1) i] i 0,1,..., s （5.2）
所以，
…. … … … s 0 s1 s22
0 0 1 0 1 2 2 0 21 4 2
1 一旦估计得到 0 ,1 和 2 ，就可以计算得到 0 ，， 2 i i 0 1 2 代入方程 …， s 。事实上，把 i （5.1）式，我们可以得到
定义 LX t X t 1 ，作为滞后算子，我们有 Li X t X t i ， 化简式（5.9）式，得到
Yt (1 ) ( L)i X t t
i 0
(1 ) X t /(1 L) t

（5.10）
这里我们定义 i 0 ci 1/(1 c) ，把（5.10）式左右 边都乘以 (1 L) ，可得
图5.2 具有终端约束的多项式滞后
这些额外的约束可能是错的。换句话说，这个多 项式可以与轴相交于其他点而不是-1或 (s 1) 。施 加这些约束，无论其是否是真的，都减少了估计 量的方差，如果约束不是真的，则会产生偏倚。 这从直觉上就可以看出，因为这些约束提供了额 外的信息，这些信息可以提高估计的可信度。可 以用均方误差标准来决定是否应施加这些限制， 具体参见Wallace（1972）。一般说来，我们在使 用这些约束必须非常小心，它们有时看起来是不 合理的或无效的，因此必须进行正式检验，具体 参见Schmidt 和 Waud（1975）。
X t s 其中，Yt 代表被解释变量Y在第t期的观测值， 代表解释变量X第 t s期的观测值， 为截距 0 ，1 ，…， s是 X t 当期和滞后期的系数。方 项， 程（5.1）式就是分布滞后模型，因为它把收入增 长对消费的影响分为s 期。X的一个单位变化对Y 的短期影响由 0 来表示，而X的一个单位变化对Y 的长期影响由( 0 1 s )来表示。
s /T
确定滞后长度s值后，就可以进一步确定多项式的 次数r 值。首先选择一个较高的值并按照（5.5） 式构造变量Z。如果r=4是所选择的多项式最高次 数，且Z i X 的系数 a4 不显著，那么去除Z4， 并令 r 3，重新运行回归，如果 Z3 的系数显著， 则停止该过程，否则进一步降低r 值，令 r 2 ， 再重新运行回归直至停止。
令 i f (i), i 0,1,..., s，如果 f (i) 是定义在一个闭 区间上的连续函数，它可以由一个r 阶多项式来 逼近，即 f (i) 0 1i ... r i r （5.4） 例如 r 2 ，如果，那么
i 0 1i 2i 2 i 0,1, 2,..., s
这意味着 X t ( s1) 对 Yt 无影响。时间越早的变量，对 当期的影响就越小。我们要做的就是要回溯到足 够早，以使其对当期的影响不显著。这个远终端 约束等同于把 X t ( s1) 从等式中移走。而一些学者把 i f (i) 施加在这些约束上，例如 s1 f (s 1) 0 。 a0 (s 1)a1 (s 1)2 a2 0 。 当 r 2 时产生下面的约束： 解 a0 得后代入（5.5）式，约束回归方程变为： Yt 1[Z1 (s 1)Z0 ] 2[Z2 (s 1)2 Z0 ] t （5.7）