数列中的奇偶项问题(分段函数)

数列中的奇偶项问题

例1、（12宁波一模）已知数列{}n a 满足：111,1,2n n n a n a a a n ++⎧==⎨⎩奇，

，偶为数

为数

*n N ∈，设21n n b a -=. （1）求23,,b b 并证明：122;n n b b +=+

（2）①证明：数列{}2n b +等比数列；②若22122,,9k k k a a a +++成等比数列，求正整数k 的值. 解：（1）2321=22(1)4,b a a a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+= 121221=22(1)2(1)22,n n n n n n b a a a b b ++-==+=+=+ （2）①因为111122(2)

1,20,2,22

n n n n b b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2n b +是以3为首项，2为公比的等比数列.

②由数列{}2n b +可得，1121322,322n n n n b a ---=⨯-=⨯-即，则1

22

1132

1n n n a a --

=+=⨯-，

因为22122,,9k k k a a a +++成等比数列，所以21(322)(321)(328)k k k -⨯-=⨯-⨯+，令2=k

t ，得2

3

(32)(1)(38)2t t t ⨯-=-+，解得2

43

t =或，得2k =. 点评：下标进行奇偶转化。

例2、（14宁波二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和

为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈． （I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （II ）设⎩⎨

⎧=为偶数为奇数

n b n a c n

n n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ．

解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14

,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩

． …………3分

230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，

112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥

数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅． …………7分 （Ⅱ）1

4 32n n n

n c n -⎧=⎨

⋅⎩为奇数为偶数

．

当n 为偶数时，

13124()()n n n P a a a b b b -=++++++

+

=

2

12(444)6(14)2222

14

n

n n n n ++-⋅

-+=+--． ……………10分

当n 为奇数时，

（法一）1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1

222

(1)24221n n n n n n -+=+--+=++-

……………13分

点评:根据结论1退而求之.

（法二）132241()()n n n n P a a a a b b b --=++

+++++

+

1

2

21(44)6(14)2221214

n n n n n n -++⋅

-=

+=++-- ． ……………13分

12222,221n n n

n n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数

，为奇数

……………14分

点评：分清项数，根据奇偶进行分组求和。 点评:

1、 数列中的奇数项、偶数项数列问题实质上是对一个数列分成两个新的数列进行考查，易搞错的是

新数列与原数列的项数、公差、公比的判定；

2、 数列问题主要涉及通项与求和、等差与等比、特殊数列与非特殊数列、新数列与旧数列的四大问

题的考查。 3、 常用知识点：

(1) 等差数列的奇数项、偶数项各自组成一个新的等差数列。 （2）项数为奇数21n -的等差数列有：

1

s n

s n =-奇偶； n s s a a -==奇偶中

； 21(21)n n s n a -=-=a ⋅中 项数 （3）项数为偶数2n 的等差数列有：

1

n n s a

s a +=奇偶；s s nd -=偶奇； 21()n n n s n a a +=+ (4) 等比数列的奇数项、偶数项各自组成一个新的等比数列，公比都是2q 。

练习：

1. 已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧

a n 2(a n 为偶数)，

a n －2n (a n 为奇数).若a 3＝1，则a 1的所有可能取值为________．

解析：当a 2为奇数时，a 3＝a 2－4＝1，a 2＝5； 当a 2为偶数时，a 3＝1

2a 2＝1，a 2＝2；

当a 1为奇数时，a 2＝a 1－2＝5，a 1＝7 或a 2＝a 1－2＝2，a 1＝4(舍去)； 当a 1为偶数时，a 2＝1

2a 1＝5，a 1＝10

或a 2＝1

2a 1＝2，a 1＝4.

综上，a 1的可能取值为4,7,10. 答案：4,7,10

2. 一个数列{a n }，当n 是奇数时，a n ＝5n ＋1；当n 为偶数时，a n ＝2

2n ，则这个数列的前2m 项的和是________．

解析：当n 为奇数时，{a n }是以6为首项，以10为公差的等差数列；当n 为偶数时，{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以，

S 2m ＝S 奇＋S 偶＝ma 1＋m (m －1)2×10＋a 2(1－2m )1－2

＝6m ＋5m (m －1)＋2(2m

－1)

＝6m ＋5m 2－5m ＋2m ＋1－2＝2m ＋1＋5m 2＋m －2.

参考题目：

1．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )

A ．10

B ．20

C ．30

D ．40

解析：选A 设这个数列有2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10.

2、等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170， 则这个等比数列的项数为 （C ）

（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10

3、已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10＝________.

解析：∵a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋

1，∴a n ＋2＝2a n .

又∵a 1＝1，a 1·a 2＝2，∴a 2＝2，∴a 2n ＝2n ，a 2n －1＝2n －

1(n ∈N *)，∴b 10＝a 10＋a 11＝64.