质点系动量守恒定律

dt
dt dt
分析： 如果 dm与 m合并前的速度为 u＝0
vr u v -v
上式代入变质量动力学方程，得
F v dm m dv dt dt
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• 变质量动力学的应用 —— 火箭的运动方程 v
t 时刻，火箭质量为 M，速度为 v
M
当不计空气阻力，只计重力，则
例 如图所示，人与船构成质点系，当人从船头走到船尾
求 人和船各移动的距离
解 在水平方向上，外力为零，则
acx

dvcx dt

0
xc xc
x1' x1
开始时，系统质心位置
xc

mx1 m

Mx2 M
O
x2'
x
终了时，系统质心位置
x2
xc

mx1 m

Mx2 M
解得 S ml mM
说明
Fz 0 miviz Pz 常量
(1) 动量守恒定律适用于惯性系
(2) 动量守恒定律也适用于高速，微观领域
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（3）守恒条件 Fi 0 i 当内力远大于外力时，如碰撞，爆炸，重力等外力可忽略。
（4）动量守恒是对一个确定系统而言的。
例：运煤车往下漏煤，t 时间内漏煤 m，求车速的变化。

f21)dt
d(m1v1)

d(m2v2
)

F1dt
f12 f21
F2dt
f12
0
对任意质点系：
d( mivi )
Fidt （质点系动量定理）
i
i
一对内力
F1
m1
F2
m2
f 21
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d( mivix ) Fixdt
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i
i
直角坐标系： d( miviy ) Fiydt
i
i
d( miviz ) Fizdt
i
i
在有限时间内： mivi mivi0
i
i
i
t t0 Fidt
某段时间内，质点系动量的增量，等于作用在质点系上所
有外力在同一时间内的冲量的矢量和 ——质点系动量定理
解 子弹穿过第一木块时，两木块速 度相同，均为v1
Ft1 m1 m2 v1 0
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
Ft2 m2v2 m2v1
解得
v1

Ft1 m1 m2
v2

Ft1 m1 m2

Ft2 m2
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§4.3 质点系动量守恒定律
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分量形式： 讨论
Macx
FiX

Macy
i
Fiy

i
Macz i Fiz
（1）质心的运动状态完全决定于质点系所受的外力，内
力不能 改变质心的运动。
（2）合外力 F 0
，则 ac 0 ， vc =常数
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v1 v2 0 两球速度总互相垂直
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§4.4 质心 质心运动定理
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一. 质心
N个质点系统（质点系）, 定义质量中心
质心
定义：
rc
N miri
i1 N

mi
N miri
i1
m
i1
—— 分立系统的质心公式
• 对于质量连续分布的系统
解： v 方向不受外力，动量守恒
mv (m m)v
v m v m m
v
v v
分析：不合理，因为研究系统发生了变化。
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例 如图所示，两部运水的卡车A、B在水平面上沿同一方向运 动，B的速度为u ，从B上以6kg/s的速率将水抽至A上，水 从管子尾部出口垂直落下，车与地面间的摩擦不计，时刻 t 时，A车的质量为M，速度为v 。
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§4.5 变质量动力学简介
设质点在 t 时刻的质量为 m，速度为v，由于外力 F 的作用 和质量的并入，到 t +dt 时刻，质点质量变为 m+dm，速度 变为 v+dv 。在 dt时间内，质量的增量为 dm，如 dm与 m 合并前的速度为 u，根据动量定理有
Fdt (m dm)(v dv) (mv dmu)
t

Mg

Mdv dt
vr
dM dt
t
gdt
0
v
0 dv vr
M dM M0 M
v
vrln
M0 M

gt
（火箭的速度方程）
讨论
(1) 若不考虑重力 (2) 多级火箭问题
v
vrln
M0 M
M 0 火箭的质量比 N M
v1 vrlnN1 v2 v1 vrlnN2 v vrln(N1N2 ...)
m2 v2
v0 m1 v1
m
x1
xc x
因为m1向下运动，所以
x1

xc 2

v
2 0
sin cos
2g

xc

m1x1 m1
m2x2 m2
m1 m2
x2

3 2
xc

3v
2 0
sin
2g
cos
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思考： L
21 3 4 让每块砖以最大限度伸出且保持平衡，问第三块 砖应伸出多少？
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M (x2 x2') m(x1'x1)
S
lS
s l S Ml
mM
例 炮弹射出后在最高点分成两块，已知m1=m2 ，且m1向下
运动，m2水平运动，
y
求 落地位置x1，x2。 解 水平方向不受外力，质心
走过的轨迹不变
xc

v
2 0
sin
g
cos
dm = dl
dl Rd dm M Rd
πR
x Rcos y Rsin
yc
ydm
M
π 0
Rsin M
πR
Rd

2R
M
π
说明
y
d
dm

O
x
xc 0
几何对称性
(1) 弯曲铁丝的质心并不在铁丝上 质心与重心的区别 (2) 质心位置只决定于质点系的质量和质量分布情况，与
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1. 动量 2. 冲量
复习
P

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mv
t
I 0 Fdt
平均冲力
I
t2 t1
Fdt

F
(t2

t1)
3. 质点动量定理
d(mv)

dP

Fdt

dI
mv2 mv1
t2
Fdt
t1
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mv2x mv1x
说明
(1) 只有外力可改变系统的总动量
(2) 内力可改变系统内单个质点的动量
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例 一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块, 已知两木块的质量分别为 m1, m2 ，子弹穿过两木块的时间 各为 t1, t2 ，设子弹在木块中所受的阻力为恒力F
求 子弹穿过后， 两木块各以多大速度运动
rc

lim
N
N rimi
i1
m

rdm m
m1, m2 ,......mi, ......mn r1, r2 ,......ri,......rn
z
mi
ri
m2
rC
r1
m1
O
y
x
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例 已知一半圆环半径为 R，质量为M
求 它的质心位置
解 建坐标系如图 取 dl
求 时刻 t ，A 的瞬时加速度
解 选A车M和t时间内抽至A
A
v
B
u
车的水m为研究系统，
A
水平方向上动量守恒
Mv mu (M m)v
v Mv mu M m
v v v mu v
M m
v m u v
M
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a lim v dm u v 6 u v
t0 t dt M M
例 在恒星系中，两个质量分别为 m1 和 m2 的星球，原来为 静止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近，
到相距为 r 时。 求 它们之间的相对速率为多少？
解 由动量守恒，机械能守恒
m1v1 m2v2 0
1 2
m1v12

1 2
m2v
2 2
G m1m2 r

0
m1 v1
• O
m2 v2
x
解得
v1 m2
2G (m1 m2 )r
v2 m1
2G (m1 m2 )r
相对速率 v12 v1 v2 m2
(m1
2G m2 )r

m1
2G (m1 m2 )r
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当 Fi 0
dmivi 0
i
质点系动量守恒定律 mivi 常矢量
如果作用在质点系上所有外力的矢量和为零，则该质点系的
动量保持不变。这称为质点系动量守恒定律。
Fx 0 mivix Px 常量
动量守恒的分量表述 Fy 0 miviy Py 常量
其它因素无关
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二. 质心运动定理
• 质心的速度
vc

drc dt

mi
dri dt

m
mivi m
Pi m
P

mvc
——
质点系的总动量
• 质心的加速度和动力学规律
ac

dvc dt
F

dP dt

m dvc dt

mac
质点系的质量与其质心加速度乘积等于作用在质点系上所有 外力的矢量和。这称为质心运动定理。
t2 t1
Fxdt
mv2y mv1y
t2 t1
Fydt
mv2z mv1z
t2 t1
Fz
dt
§4.2 质点系动量定理
P 表示质点系在时刻 t 的动量

P
mivi
以两个质点组成的系统为例：
i
d(m1v1)
(F1
f12 )dt
d(m2v2 )

(F2
例： 在平面两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时处于 静止状态，另一球速度 v 。
求证：碰撞后两球速度总互相垂直。
解： 设碰撞后两球速度 v1,v2 由动量守恒 v v1 v2
两边平方
v2
v12

2v1 v2

v
2 2
由机械能守恒（势能无变化）
v2
v12

v
2 2
略去二阶无穷小量
Fdt mdv (v u)dm vr u v
Fdt mdv vrdm
dm 与 m 合并前 相对于m 的速度
F
vr
dm dt

m dv dt
（密歇尔斯基方程）
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讨论
变质量动力学方程
F
vr
dm dt

m
dv dt
与牛顿第二定律
F d(mv) v dm m dv 的区别？