第二十一章 动能定理

引入
J ∫ J ∫ J ∫ = xydm xy M
= yzdm
yz M
= xzdm
xz M
称其为惯性积 表示刚体内各质量微元的质量与其两个 直角坐标的乘积之和
再将惯性积代入
J J J J = cos2 α + cos2 β + cos2 λ
L
x
y
Z
J J J − 2 cosα cos β − 2 cos β cosγ − 2 cosα cosγ
O
O
O
O
= 1 mL2 + 1 M (R2 + r2) + M (L + R)2
3
2
3.刚体对任意轴的转动惯量公式
z
l0
如图所示,L为空间任一
L
轴,以A为原点建立任 一与刚体固连的直角
r1 ρ
dm
坐标系 Axyz 则L轴正
A
y
向在Axyz 三个方向的
余弦为
x
l0 = cosα i1 + cos β i2 + cosγ i3
当刚体质量分布具有对称性时,
定理一: 如果刚体有质量对称轴,则该轴是
刚体对轴上任一点的一根惯量主轴, z 同时也是刚体的一根中心惯量主轴
D′(x, y, z)
D(x,y,z)
y x
证明
设z轴为刚体的质量对称轴 在z轴上选一点A,以A为原点 建立任意与刚体固连的直角 坐标系Axyz.
根据对称性,若在坐标为(x,y,z)的D处有一质量 为m的质点,则在坐标为(-x,-y,z)的处也有一质量
例题3 例题5
21.3 动能定理 例题6 例题7 例题8 例题9 例题10 例题11 例题12 例题13
第二十一章 动能定理
基本概念：
动能:物体由于作机械运动而具有的作功能力
21.1 质点系质量分布的特征量 质点系的动力学特性与质点系质量分布密
切相关.质点系质量分布有两个特征量
1．质点系的质量中心---平动的动力学特性 2．质点系的转动惯量---转动的动力学特性
Jz
=
∫M r2dm
=
∫R 0
2M
R2
r3 dr
=
M
2R2
r4
R 0
=
1M 2
R2
3．圆盘对z轴的回转半径为
ρ = JZ = 2 R Z M2
2.转动惯量的平行轴定理
刚体对任一轴的转动惯量等于刚体对过 质心且与该轴平行的轴的转动惯量加上刚 体质量与两轴之间距离平方的乘积 记为
J z = J Z′ + M d2
若以速度作平动的刚体，则其动能为：T
=
1 2
M
v2
(其中
) n
M = ∑ mi
i =1
若以角速度绕轴作定轴转动的刚体，则动能为：
∑ m ρ J ω T = n 1 ( ω)2 = 1
2
2i
i =1
i
2Z
一般平面运动刚体动能：
T
=
1 2
M
v2 C
+
1 2
J
Cω
2
例21.4 图示各均质物体重量为Q，物体尺寸
式中l0 ,i1 , i2, i3 分别矢量为L,x,y,z轴正向的单位
设质量为 dm 的微元相对于A的矢径为r,它在
Axyz 中的坐标为 (x, y, z),该微元到L轴的 距离的平方为
ρ r 2 = r 2 − 2 l
式中 rl = r •l0 = x cosα + y cos β + z cosγ
第三篇 工程动力学
学习任务：分析运动与力之间的关系
学习内容： 动能定理

动量定理

达朗伯原理

动力学普遍方程和拉格朗日方程
基本问题：已知运动求力----动力学第一类问题

已知力求运动----动力学第二类问题
第二十一章 动能定理
21.1 质点系质量分布的特征量
例题1 21.2 动能
例题2 例题4
解:
o
c1
c2
(1) 设 c1 , c2分别为杆,圆环的质心,
刚体可看成是由这三部分组成的:
#1杆,质量为
m R r 1
=
−
π
(
Mπr 2
2−
2)
#2半径为r,中心在 c2 处的均质圆盘1,质量为
m R r 2
=
M
+
π
(
Mπr 2
2−
2)
#3半径为R,中心也在 c2 处的均质圆盘2
J J 杆 = O
xy
yz
xz
4.主转动惯量
如果与某一轴相关的两个惯性积都为零, 那么这轴为刚体对原点的一根 惯量主轴或惯性主轴
如在直角坐标系 Axyz 中,与z轴相关的
两个惯性积J xz
J
为零,则称z轴为刚体对A点的
yz
惯量主轴或惯性主轴
若在A点再建立一个与刚体相固连的直角坐标系
Aξης ,设e1,e2,e3为三轴正向的单位矢量
xz ⎥
J− yz⎥
Jz
⎥ ⎦
转动惯量
惯性积
注意 对确定的刚体,各元素都为常数, 与刚体的运动无关
特征惯量: J x J y J z J xy J yz J xz 惯量张量矩阵: 矩阵J 刚体对任意轴的转动惯量转轴公式:
J J J J = cos2 α + cos2 β + cos2 λ
L
x
y
Z
J J J − 2 cosα cos β − 2 cos β cosγ − 2 cosα cosγ
21.1.1质点系的质量和质量中心
定义： 设一质点系有n个质点组成, 其中第个质点的质量为,相对于某确定定 点的矢径为,将质点系的质量总和,定义为 质点系的质量用M表示,即
n
M = ∑ mi i =1
由下式确定的矢径 r c 所对应的点称为质点
系的质量中心，简称质心:
n
∑ mi ri
r = i=1
定理二:
如果刚体具有质量对称面,则垂直于 该对称面的任一轴必为刚体对该轴与 对称轴交点的一根惯量主轴
证明 z
D(x,y,z)
设垂直与刚体质量 对称面的任意轴为
z轴,它与对称面的
y 交点为A,以A为原点
x
D′(x, y, z) 建立以与刚体固连的
直角坐标系Axyz.
若在质量对称面的一边坐标为(x,y,z)的D处 有一质量为m的质点,在另一坐标为(x,y-z)的 D′ 处也有质量为m的另一质点
ρ = JZ = 3L Z M6
例21. 2 已知厚度相等的均质薄圆盘的半径 为R，质量为M，求圆盘对过其中心，且垂 直于圆盘平面的z轴的转动惯量和回转半径
y
r
C dr
x
解： 1．取半径为r,宽度为的圆环，其质量是:
dm = M (2πrdr) = 2M rdr
π R2
R2
2．上述圆环的各质点到z轴的距离都为r,于是 圆盘对z轴的转动惯量为:
解：
y
dx
x
C
x
(1)建立坐标系，如图所示，沿杆向取微
段 ，其坐标为（x,0,0），其质量为
dm = M dx
L
(2)上述质量微元离z轴的距离为 x ， 杆对z 轴转动惯量为：
J ∫ x ∫ x x = zM
2dm =
1 2
M
−1 2
L
2 dx = 1 M 3L
l 22
−l 2
=
1 12
M
L2
(3) 杆对z轴的回转半径为
⎪⎩z ⎪⎭
⎪⎩ς ⎪⎭
式中(ξ ,η,ς ) 为质量为dm 的同一微元在 Aξης 中
坐标,若记
J′= ⎡ ⎢
Jξ
J ⎢− ξη
J ⎢⎣− ξς
J− ξη
Jη J− ης
J− ⎤
ξς ⎥
J− ης ⎥
Jς
⎥ ⎦
则有 J = QT J ′Q 或 J ′ = QT JQ
存在正交变换矩阵Q,使 J ′为对角矩阵
r2 = x2 + y2 + z2
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
得
ρ y z z x x y 2 = (
2+
2) cos2 α + ( 2 +
2) cos2 β + ( 2 +
2
)
cos2
λ
− 2xy cosα cos β − 2 yz cos β cosγ − 2xz cosα cosγ
ii
式中
ρ m ,
i
i
分别为第 i个质点的质量和
到该轴的距离
若刚体的质量是连续分布的,就可以引入积 分形式表示:
J = ∫M ρ 2dm
式中 ρ 为质量为 dm 的微元到该轴的距离
M 表示积分范围遍及刚体全部质量.
说明 刚体的转动惯量是一个与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ运动状态无关
的而仅与其质量分布有关的特征量
如刚体对z轴的转动惯量表示为
此时 J ξη = Jης = J ξς = 0 ,说明轴都为刚体A的惯量
主轴,这样的坐标系称为惯量主轴坐标系
主转动惯量: 刚体对惯量主轴的转动惯量 中心转动惯量: 过质心的惯量主轴
中心主转动惯量: 过中心转动主轴所对应的 转动惯量
说明
J的三个特征值为主转动惯量 三个特征值对应的特征向量方向为 惯量主轴方向
xy
yz