10分钟认识剑桥模型

10分钟认识剑桥模型

王川

第一节：认识“临界状态”

首先，大家一定接受以下两张图（无数实验已经证明过）：

图1 摩尔库伦强度理论

图2 土的压实曲线（e为孔隙比，p’为有效应力）那么，如果把τ换成偏应力q（其中q=σ1-σ3），把σ换成平均主应力p（其中p=(σ1+2σ3)/3，p’表示其有效应力），就得到三轴实验中的p-q曲线：

图3 p-q曲线

土样的体积由固体颗粒和空隙组成，由于固体颗粒不可压缩，故土样体积的变化完全取决于空隙的变化，即土样体积v和孔隙率e描述的物理意义等价。那么，将图2中e替换为v，就得到v-logp曲线：

图4 v-logp曲线

与图1和图2一样，图3和图4同样经历了无数实验的验证，属于“事实”。

基于图3和图4的定量分析以及实验观察，可以得出一个结论，这个结论就是临界状态（critical state）：无论土样的初始状态和经历的应力路径如何，在剪切的最终阶段，只有剪应变在持续增加，而土样所受的有效应力和体积趋于不变。临界状态由图3和图4同时确定，因此图3和图4中的曲线也叫临界状态线CSL （Critical State Line）。

将临界状态现象翻译成数学语言：

（1）体积不变对应于，为p’引起的体积的改变；

（2）剪应变在变对应于，为q引起的剪应变；

（3）有效应力不变等价于q与p’的比值为常量。若令在一般情况下，有（被叫做应力比），则可以定义临界状态下的应力比：（被叫做临界状态应力比）。从图3中能看出，M为常量，即“有效应力不变”。

◆第二节：剑桥模型假设

（1）所有的剪应变都不可恢复，即（为弹性剪应变），（

为塑性剪应变）。

（2）假定塑性变性能增量可表示为：（这一假设看不懂没关系，继续往后看）。

（3）相关联流动法则：（与塑性力学中关联流动一致）。

◆第三节：剑桥模型推导

从能量角度推导屈服函数：

应变能的增量等于主应力p’和偏应力q所做的功，即

（式1）

因为：

（此处用了假设1）

所以：

（式2）

（此处用了假设2）

由式1和式2得：

（式3）

根据（假设1），整理式3得：

d为剪胀系数，表示塑性应变的方向（因为d体现了与的相对大小，与塑性力学中流动法则表达得意义一致）；为剪胀方程。

图5 关联流动法则示意

图6 剑桥模型推导示意

在屈服面的A点处，切线方向为；在塑性势面的A点处，法线方向为由于屈服面与塑性势面重合，因此A点处：

即：

上式为常微分方程，解为：

当时，

带入解得：

从而推导出剑桥模型。