误差理论与测量平差基础第八章 附有限制条件的间接平差

第八章——附有限制条件的间接平差
误差方程和条件方程如下：
1.786 1.031 1.786 1.031 2.24 ˆ 0 2.063 xC 4.62 1.786 1.032 0 y 6.62 2.063 1.786 1.032 ˆ C V x 0.38 0 2.063 ˆ D 1.786 1.032 0 y 1.38 2.063 1.786 1.032 ˆ D 1.786 1.032 1.786 1.032 6.24 ˆ ˆ 0.500x D 0.866y D 2.20 0
代入误差方程，得：
v1 2m m v2 2m m
于是：
v3 2m m
ˆ ˆ ˆ L1 L1 v1 0.010m , L2 L2 v2 0.018m , L3 L3 v3 0.028m
第八章——附有限制条件的间接平差
4、举例
三角网如图所示， A、B为已知点， 其坐标为：
QK
SX
ˆ
N cc1CN bb1 B T PQLL PB( N bb1 N bb1C T N cc1CN bb1 ) N cc1CN bb1 N cc1CN bb1C T N cc1CN bb1
0
第八章——附有限制条件的间接平差
ˆ 因为: V BX l , dV ( B E ) dX ˆ dl 所以:
第八章——附有限制条件的间接平差
上式对参数求偏导数，并令其为零，得 即
2V T PB 2 K sT C 0 ˆ x
BT PV C T K s 0
ˆ V B x l
n1 nu u 1 s1 su s1 n1
于是，可得附有条件的间接平差的基础方程：
ˆ C x Wx 0
第八章——附有限制条件的间接平差
同理:
QK S K S N cc1CN bb1 B T PQLL PBNbb1C T N cc1 N cc1CN bb1C T N cc1 N cc1 QK S L N cc1CN bb1 B T PQLL N cc1CN bb1 B T QK SW N cc1CN bb1 B T PQLL PB N cc1C
第八章——附有限制条件的间接平差
即
LL W B Pl W0 ˆ X ( N bb1 N bb1C T N cc1CN bb1 ) B T Pl C 0
T 0 K s N cc1CN bb1 B T Pl K S
V B N N C N CN ˆ L L V

Q XX Q XL B T ˆˆ ˆ QLL BQXX B T ( B E ) ˆˆ Q ˆ Q E LX LL
第八章——附有限制条件的间接平差
在间接平差中，我们所选参 数的个数u正好等于必要观测的个 数t，即u = t，并且 t个参数相互独 立。当我们实际选取的参数个数 u 大于必要观测的个数 t 时，情况会如何呢？ 我们通过实例来回答这个问题。在上图所示的三角网中，t=4，当 我们除了选C、D两点的坐标为参数外，还选C、D两点间的距离为 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 参数，即选 X 1 X C , X 2 YC , X 3 X D , X 4 YD , X 5 SCD 由图知 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X 5 ( X1 X 3 )2 ( X 2 X 4 )2 上试表明：当所选参数的个数 u>t时，参数之间一定存在函数关系。 即参数之间存在s=u-t个条件。参数之间存在条件的平差又是一中种 新的平差方法——附有条件的间接平差。
L2 0.016m L3 0.030m 设AB，BC，CA的高差 平差值为参数，试用附 有条件的间接平差求各 观测值的平差值。
第八章——附有限制条件的间接平差
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 解：t=2,u=3, 即 X 1 L1 , X 2 L2 , X 3 L3 取 X i0 Li ，则误差方程为： v1 x1 v2 x2 v3 x3 因为u-t=1，所以参数之间存在一个条件，即
x1 x2 x3 6 0
1 0 0 1 0 0 1 x1 0 1 0 1 x 2 0 x 0 0 0 1 1 3 1 1 0 k S 6
x A 1000.00m y A 0.00m x B 1000.00m
X Y
y B 1732.00m . 已知BD边的边长为 S BD 100000m 无误差。同精度独立观 测值见下表，试按附有条件的间接平差对该网进行平差
第八章——附有限制条件的间接平差
角号 1 观测值 60 00 03 角号 4 观测值 59 59 57
第八章——附有限制条件的间接平差
于是，法方程的解为：
ˆ x Nbb1 ( E C T N cc1CN bb1 )W Nbb1C T N cc1Wx ˆ 将 x 代入误差方程，可求出V。进而可得
（4） （5）
ˆ ˆ ˆ L L V , X X 0 x
3、附有限制条件的间接平差步骤
观测值的平差值（略）
习题：8.1.10，8.1.11
第八章——附有限制条件的间接平差 §8-2 精度评定
(1)、单位权中误差 在附有条件的间接平差中，单位权中误差的估值仍为
V T PV ˆ2 0 r
(2)、基本向量的协因数矩阵 在附有条件的间接平差中，基本向量为：
ˆ ˆ L, W , X , K s , V , L
（1）
其中
su s1
ˆ C x Wx 0 , s u t
rk ( B) u , rk (C) s , u n
因为方程个数为n+s个，未知数的个数为n+u个，故上 式有无穷组解。为了求既满足条件，又能使 V T PV min 的一组解，组成新函数
ˆ V T PV 2K sT (Cx Wx )
（1）根据具体问题，按（1）式列出误差方程和条件方 程。
（2）由误差方程和条件方程列出法方程（3）式。
（3）按（4）式计算参数的改正数 x 。 ˆ
（4）按（5）式计算观测值的平差值和参数的平差值。
教材：8－1
第八章——附有限制条件的间接平差
4、举例
水准网如图所示，同 精度观测值为： L1 0.008m
u n n n n1 u s s1
（2）
BT P V C T K s 0
第八章——附有限制条件的间接平差
2、基础方程的解 以上基础方程中，方程的个数为n+u+s个，而未知数 为n个改正数、u个参数、s个联系数，也是n+u+s个， 故有唯一解。将基础方程的第一式代入第二式，得 T ˆ ˆ B T PBx C T K s B T Pl 0 或 N bb x C K s W 0 （3） ˆ Cx Wx 0 ˆ Cx Wx 0 上式为附有条件的间接平差的法方程。因 N bb 为满秩 方阵，故用 CN bb1 左乘以上第一式，并减去第二式，得 CNbb1C T K s (CNbb1W Wx ) 0 令 N cc CN bb1C T ，则 K s N cc1 (CN bb1W Wx )
QVV
QVl BQXX B T P E Q LL ( BQXX B T PQLL Q LL ) ˆˆ ˆˆ BQXX B T Q LL QVV ˆˆ QVW BQXX B T P E Q LL PB BQXX N bb B ˆˆ ˆˆ QVX ˆ
ˆˆ XX
2
3
60 00 02
60 00 04
5
6
59 59 56
59 59 59
解：选待定点C、D的坐标平差值为参数。因本例n=6， t=3，u=4，故s=u-t=1。取参数近似值为：
0 0 xC 1500 00m , yC 866.00m . 0 0 x D 500.00m , y D 866.00m
第八章——附有限制条件的间接平差
组成法方程如下：
ˆ 0 6.380 0 0 xC 22.718 12.759 ˆ 12.768 0 6.390 0 y C 7.220 0 6.380 ˆ 0 12.759 0 0.500 x D 24.504 0 ˆ 6.390 0 12.768 0.866 y D 2.065 0 0 0 0.500 0.866 0 k s 2.200
T
参数平差值为：
0 ˆ ˆ X C X C xC 1500m 1.8505 1499.981m cm ˆ ˆ Y Y 0 y 866.00m 0.6653 865.993m cm C C C 0 ˆ ˆ X D X D x D 500m 0.1399cm 499.999m ˆ ˆ Y Y 0 y 866.00m 2.4593 865.975m cm D D D
求解法方程，得
ˆ xC 1.8505 , yC 0.6653 cm ˆ cm ˆ x D 0.1399 , y D 2.4593 cm ˆ cm k S 28.9655
第八章——附有限制条件的间接平差
改正数为：
V 2.4 5.7 5.7 8.0 0.0 0.0
第八章——附有限制条件的间接平差
第八章 附有限制条件的间接平差
§8-1 附有限制条件的间接平差原理