最短路径问题 PPT
合集下载
13.4课题学习 最短路径问题 课件(共31张PPT) 初中数学人教版八年级上册
∙B A∙
l C
B′
【探究2】如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上 造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最 短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线 a 和 b，N 为直线 b上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M.当 点 N 在什么位置的时候，AM+MN+NB 的值最小？
P 地把河水引向 M、N 两地.下列四种方案中，最节省材料的是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短， 可得最节省材料的是：
故选：D.
练习 6 如图所示，某条护城河在 CC 处直角转弯，河宽均为 5m，
从 A 处到达 B 处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设 护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从 A 处到 B 处的路程最短？请确定两座桥的位置.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′.
A
即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. A′ ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′.
即AM+NB+MN的值最小.
M′
M
N′ N
B
a b
练习 1 如图所示，军官从军营 C 出发先到河边（河流用 AB 表示）饮马，再 去同侧的 D 地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将
A
点C，则点C 即为所求的位置， 可以使得 AC+BC 的值最小.
l C
B′
【探究2】如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上 造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最 短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线 a 和 b，N 为直线 b上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M.当 点 N 在什么位置的时候，AM+MN+NB 的值最小？
P 地把河水引向 M、N 两地.下列四种方案中，最节省材料的是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短， 可得最节省材料的是：
故选：D.
练习 6 如图所示，某条护城河在 CC 处直角转弯，河宽均为 5m，
从 A 处到达 B 处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设 护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从 A 处到 B 处的路程最短？请确定两座桥的位置.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′.
A
即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. A′ ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′.
即AM+NB+MN的值最小.
M′
M
N′ N
B
a b
练习 1 如图所示，军官从军营 C 出发先到河边（河流用 AB 表示）饮马，再 去同侧的 D 地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将
A
点C，则点C 即为所求的位置， 可以使得 AC+BC 的值最小.
《最短路径问题》PPT课件
A
a 3、连接PA，PB，由对称轴 的性质知，PA= P1A，
P1
PB=P2B
∴先到点A处吃草，再到点B
处饮水，最后回到营地，
这时的放牧路线总路程最
短，即 (PB+BA+AP)min
• 证明：
P2
b ∵ PA1+A1B1+B1P
B1 B
.P
河
= P1A1+A1B1+B1P2 > P1A+AB+BP2
前面和右面
D D1
③
A 1 A1
C1
2
4
B1
AC1 =√52+22 =√29
左面和上面
• 1、如图是一个长方体木块，已知 AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁 在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 7 4 。
D
4
C
A
5
B3
• 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点 与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽 度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面 圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的 最小值为 10cm 。
在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B
的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥
要与河垂直）
.A M
作法： 1、将点B沿垂直与河岸的方
向平移一个河宽到E
N
2、. E连接AE交河对岸与点M,则
.点BM为建桥的位置，MN为 所建的桥。
A C
M ND E
B
• 证明： ∵ AC+CD+DB = AC+CD+CE = AC+CE+CD > AE+CD = AM+ME+CD = AM+NB+MN ∴ AC+CD+DB > AM+NB+MN
最短路径问题的求解PPT精选文档
这种算法最关键的问题就是如何确定估价函数，估价函数越准，则能 越快找到答案。这种算法实现起来并不难，只不过难在找准估价函数，大 家可以自已找相关资料学习和思考。
.
3
最短路径问题的求解
三、等代价搜索法 等代价搜索法也是在宽度优先搜索的基础上进行了部分优化的一种算法，它与
启发式搜索的相似之处都是每次只展开某一个结点（不是展开所有结点），不同之 处在于：它不需要去另找专门的估价函数，而是以该结点到A点的距离作为估价值， 也就是说，等代价搜索法是启发式搜索的一种简化版本。它的大体思路是：
.
2
最短路径问题的求解
二、 启发式搜索 在宽度优先搜索算法的基础上，每次并不是把所有可展开的结点展开，
而是对所有没有展开的结点，利用一个自己确定的估价函数对所有没展开 的结点进行估价，从而找出最应该被展开的结点（也就是说我们要找的答 案最有可能是从该结点展开），而把该结点展开，直到找到目标结点为止。
.
12
最短路径问题的求解
八、Dijkstra算法（从一个顶点到其余各顶点的最短路径，单源最短路径） 例3、如下图，假设C1,C2,C3,C4,C5,C6是六座城市，他们之间的连线表示两 城市间有道路相通，连线旁的数字表示路程。请编写一程序，找出C1到Ci 的最短路径(2≤i≤6)，输出路径序列及最短路径的路程长度。
3、由数轴可见，A与A'点相比，A点离原点近，因而保留A点，删除A'点，相应的，B、B'点保留B点， D、D'保留D'，E、E'保留E'，得到下图：
.
11
最短路径问题的求解
4、此时再以离原点最近的未展开的点B联接的所有点，处理后，再展开离原点最近未展开的D点， 处理后得到如下图的最终结果：
.
3
最短路径问题的求解
三、等代价搜索法 等代价搜索法也是在宽度优先搜索的基础上进行了部分优化的一种算法，它与
启发式搜索的相似之处都是每次只展开某一个结点（不是展开所有结点），不同之 处在于：它不需要去另找专门的估价函数，而是以该结点到A点的距离作为估价值， 也就是说，等代价搜索法是启发式搜索的一种简化版本。它的大体思路是：
.
2
最短路径问题的求解
二、 启发式搜索 在宽度优先搜索算法的基础上，每次并不是把所有可展开的结点展开，
而是对所有没有展开的结点，利用一个自己确定的估价函数对所有没展开 的结点进行估价，从而找出最应该被展开的结点（也就是说我们要找的答 案最有可能是从该结点展开），而把该结点展开，直到找到目标结点为止。
.
12
最短路径问题的求解
八、Dijkstra算法（从一个顶点到其余各顶点的最短路径，单源最短路径） 例3、如下图，假设C1,C2,C3,C4,C5,C6是六座城市，他们之间的连线表示两 城市间有道路相通，连线旁的数字表示路程。请编写一程序，找出C1到Ci 的最短路径(2≤i≤6)，输出路径序列及最短路径的路程长度。
3、由数轴可见，A与A'点相比，A点离原点近，因而保留A点，删除A'点，相应的，B、B'点保留B点， D、D'保留D'，E、E'保留E'，得到下图：
.
11
最短路径问题的求解
4、此时再以离原点最近的未展开的点B联接的所有点，处理后，再展开离原点最近未展开的D点， 处理后得到如下图的最终结果：
最短路径问题 ppt课件
12
图论及其应用 作业 用Dijkstra算法求出下图中从顶点a到其它所有 顶点的最短路径及及长度。
13
图论及其应用
有向图中求最短路径的Dijkstra算法
设Sj是带权有向图G中自顶点1到顶点j的最短有向路的长度 步骤1：置P={1}，T={2,3,…,n}且S1=0，Sj=w1j， j=2,3,…,n 。 步骤2：在T中寻找一点k，使得Sk=min{Sj}，置P=P{k}， T=T- {k}。若T=，终止；否则，转向步骤3。 步骤3：对T中每一点j，置Sj=min {Sj ，Sk+ wkj}，然后转向步 骤2。 算法经过n-1 次循环结束。
6
1-6-8-B
6-8-B
13
10
5
图论及其应用
指定点到其它所有点的最短路径
解决这一问题最著名的方法是 Dijkstra算法，这个算法是由荷 兰计算机科学教授Edsger W.Dijkstra在1959年提出的。 他在1972年获得美国计算机协 会授予的图灵奖，这是计算机 科学中最具声望的奖项之一。
最终，起点上方的最短路线及权值即为起点到终点的最 短路线及长度。
3
图论及其应用
例 使用回溯法求下图中结点1到结点10的最短路径
2-6-9-10 600
1-4-6-9-10 650
4-6-9-10 500
6-9-10
300
9-10
100 5-8-10
400
8-10
150
3-5-8-10 600
7-8-10 275
定义2 已知矩阵A=(aij)m n ，B =(bij)mn，规定C=AB=(dij)mn，
其中dij=min(aij, bij)
13.4 课题学习 最短路径问题 课件(共15张PPT)人教版初中数学八年级上册
迁移应用
3.如图，点P是∠AOB内任意一点，点M和点N分别是射线OB和射线OA 上的动点，当△PMN的周长为最小时，画出点M,N的位置.
B P'
M P
O
N
A
P''
解：如图所示，点 M,N 即为所求
B
M
P
O
A N
课后延伸
1.课本P93，第15题 2.收集最短路径的其他模型
人教版八年级数学第十三章《轴对称》
课题学习—最短路径问题
情境引入
古从军行 唐·李颀
经验唤醒
如图所示，请规划从A地到B地最近的路线？为什么 这条路线最近？
A
B
AB即为最短路线，因为两点之间，线段最短
探究一
问题情境1
图形
将军从烽火台到河边饮马 在这个情境中我们 再回到营地，饮马点在什么位 分别把烽火台，营 置，可使将军所走的路径最短？ 地，河流抽象成哪
种几何图形？
A. 点 B.线
A
l B
最短路径作法
直线异侧 “两定点”
连定点 得最短
A
l P
B
两点之间 线段最短
探究二
问题情境2
将军从烽火台到河边 饮马再回到营地，饮马点 在什么位置，可使将军所 走的路径最短？
图形
我们可以把情境 2抽象成怎样的几何 图形？
最短路径作法
直线同侧“两定点”
作对称 化折为直得最短
∴AＭ１+M１N１+BN１＝AA１+A１N１+BN１ 在△A１N１B中
因为A1N1+BN1＞A1B 因此AM１+M１N１+BN１＞ AM+MN+BN. ∴AM +MN+BN为最短路径.
《最短路径问题》课件
参考文献
• 算法导论 • 计算机算法设计与分析 • 图解算法
《最短路径问题》PPT课 件
# 最短路径问题PPT课件
介绍最短路径问题的定义和概念，以及为什么最短路径问题在实际生活中很 重要。 同时，探讨最短路径问题的基本性质。
最短路径的求解
1
暴力算法
枚举所有路径并找到最短路径，但随着
Dijkstra算法
2
节点增多，复杂度呈指数级上升。
介绍算法的原理和步骤，通过不断更新
距离表找到最短路径。
3
Floyd算法
介绍算法的原理和步骤，通过动态规划 计算最短路径。
最短路径问题的应用
铁路、公路、航空、航 海
路线规划在交通行业中的重 要性和应用。
互联网中的路由算法
讲解互联网通信中使用的最 短路径算法。
生命科学领域的基因测 序和蛋白质分析
如何利用最短路径问题的变种
任意两点之间的最短路径问题
探讨在图中找到任意两点之间的最短路径。
带负权边的最短路径问题
介绍具有负权边的图中求解最短路径问题的方法。
一般图的最短路径问题
分析在一般图中求解最短路径的挑战和方法。
更多变种问题的介绍
介绍其他类型的最短路径问题及其应用。
总结
总结最短路径问题的基本概念，分析各种算法的优缺点及适用范围。 同时，展望最短路径问题的未来发展方向。
最短路径问题课件ppt
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
·B A·
l
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
A
·
C′ C
B
·
l
B′
探索新知
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
A
·
C′ C
B
·
l
B′
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两侧， 在L上求一点P，使得PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
P
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
思考？？？
为什么这样做就能得到最短距 离呢？
根据：两点之间线段最短.
引入新知
引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
·B A·
l
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
A
·
C′ C
B
·
l
B′
探索新知
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
A
·
C′ C
B
·
l
B′
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两侧， 在L上求一点P，使得PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
P
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
思考？？？
为什么这样做就能得到最短距 离呢？
根据：两点之间线段最短.
引入新知
引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
最短路径问题原创优秀课件_图文
解:如图
(1)作C点关于OA的对称点C1,作D点关于OB 的对称点D1
(2)连接C1D1,分别交OA.OB于P’.Q’,那么沿 C→P’→Q’→D的路线行走,所走总路程最短．
实际应用 要在两条街道a和b上各设 ：立里一才个能使邮邮筒递,M员处从是邮邮局局出,问发邮,到筒两设个在邮哪
筒取完信再回到邮局的路程最短？
A l
C
B
2.运用轴对称解决距离最短问题
如果涉及两条或更多条线段的和 最短, 则运用轴对称将所求线段转化 到一条线段上。
A
A C
C
B B
l l
B′
（3）在两条直线上分别求一点M、N使 三角形MAN的周长最小
l1
A1
M
M’
A
N
l2
N’
A2
3.利用平移确定最短路径选址
在解决最短路径问题时,我们还可以利 用平移变换把不在一条直线上的几条线 段转化到一条直线上,作出最短路径．
A’
Bபைடு நூலகம்
A l
C
B′
轴对称 变换
A l
C
平移 变换
B
两点之间,线段最短.
变式练习
1.如图,A.B是直线a同侧的两定点,定 长线段PQ在a 上平行移动,问PQ移 动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短？
.B A.
a
..
PQ
分析: PQ是一个定长线段,AP+PQ+QB最
短即AP+QB最短.此题类似课本问题二 的“造桥选址”问题。
问:转化为刚才的哪一类似题？
问:平移哪条线段？沿哪个方向平移？
.B
A.
A’
a
(1)作C点关于OA的对称点C1,作D点关于OB 的对称点D1
(2)连接C1D1,分别交OA.OB于P’.Q’,那么沿 C→P’→Q’→D的路线行走,所走总路程最短．
实际应用 要在两条街道a和b上各设 ：立里一才个能使邮邮筒递,M员处从是邮邮局局出,问发邮,到筒两设个在邮哪
筒取完信再回到邮局的路程最短？
A l
C
B
2.运用轴对称解决距离最短问题
如果涉及两条或更多条线段的和 最短, 则运用轴对称将所求线段转化 到一条线段上。
A
A C
C
B B
l l
B′
（3）在两条直线上分别求一点M、N使 三角形MAN的周长最小
l1
A1
M
M’
A
N
l2
N’
A2
3.利用平移确定最短路径选址
在解决最短路径问题时,我们还可以利 用平移变换把不在一条直线上的几条线 段转化到一条直线上,作出最短路径．
A’
Bபைடு நூலகம்
A l
C
B′
轴对称 变换
A l
C
平移 变换
B
两点之间,线段最短.
变式练习
1.如图,A.B是直线a同侧的两定点,定 长线段PQ在a 上平行移动,问PQ移 动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短？
.B A.
a
..
PQ
分析: PQ是一个定长线段,AP+PQ+QB最
短即AP+QB最短.此题类似课本问题二 的“造桥选址”问题。
问:转化为刚才的哪一类似题？
问:平移哪条线段？沿哪个方向平移？
.B
A.
A’
a
人教版八年级数学上册1最短路径问题教学课件
最短路径问题
如图，在直线 上求作一点 ，使得 + 最短.
、 在直线 异侧
′
、 在直线 同侧
例：造桥选址问题
例
如图， 和 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥
. 桥造在何处可使从 到 的路径 最短（假定
河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）?
作 ′ 关于直线 的对称点 ′′.
′
′
′
′′
连接 ′′，与直线 交于一点即
为所求点 .
问题
在直线 上求作两点 ，，使
得四边形 的周长最小.
练习 已知线段 ，点 、 在直线 的同侧，在直线 上求
作两点 ，（点 在点 的左侧）且 = ，使得
四边形 的周长最小.
思考
哪些点是定点？
哪些点是动点？
思考
问题是否可以简化？
问题转化为：
当点 在什么位置时， + + + 最小.
问题转化为：当点 在什么位置时， + 最小.
′
思考
通过哪种图形的变化（轴对称，平移等），
座桥 ．桥造在何处可使从 到 的路径
最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
当点 在直线 的什么位置时，
+ + 最小？
实际问题用数学语言表达.
如图，在直线 上求作一点 ，使得 + 最短.
、 在直线 异侧
′
、 在直线 同侧
例：造桥选址问题
例
如图， 和 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥
. 桥造在何处可使从 到 的路径 最短（假定
河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）?
作 ′ 关于直线 的对称点 ′′.
′
′
′
′′
连接 ′′，与直线 交于一点即
为所求点 .
问题
在直线 上求作两点 ，，使
得四边形 的周长最小.
练习 已知线段 ，点 、 在直线 的同侧，在直线 上求
作两点 ，（点 在点 的左侧）且 = ，使得
四边形 的周长最小.
思考
哪些点是定点？
哪些点是动点？
思考
问题是否可以简化？
问题转化为：
当点 在什么位置时， + + + 最小.
问题转化为：当点 在什么位置时， + 最小.
′
思考
通过哪种图形的变化（轴对称，平移等），
座桥 ．桥造在何处可使从 到 的路径
最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
当点 在直线 的什么位置时，
+ + 最小？
实际问题用数学语言表达.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最短路径问题
如图所示，从A地到B地有三条路 可供选择，你会选走哪条路最近？ 你的理由是什么？
C ①D E
A
②
B
两点之间,线段最短
③
F
Ⅰ 两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两侧，在 L上求一点P，使得PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
P
为什么这样做就能得到最短距离呢？
探索新知
现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l 上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当 点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．
B A
C
l
探索新知
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点， 当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
作法：1.作点C关于直线
OA 的 对称点点D, 2. 作点C关于直线 OB
AG
的对称点点E,
3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N，
则CM+MN+CN最短
D MO
H
Ｃ .
N
.E
B
如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马
厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边
饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
A
·
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
C
B
·
l
于点C．
则点C 即为所求．
B′
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
应用
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两 镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气 管线最短？
所以泵站建在点P可使输气管线最短
P
探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛 名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求 教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
B A
l
探索新知
这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
·B A·
l
你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽 象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
a
A
M
b
N
B
你能证明一下如果在不同于MN的位置造桥 M/N/，距离是怎样的，能证明我们的做法 AM+MN+NB的和是最短距离吗？试一下。
A A′
M N
a b
B
证明:取不同于,M，N的另外两点M/，N/ 由于M/N/=MN=AA/； 由平移的性质可知：AM=A/N,AM/=A/N/ 又根据“两点之间，线段最短”可知
最短路线。
F
作法：1.作点C关于直线 A OA 的 对称点点F,
2. 作点D关于直线 OB 的对称点点E,
G
O
·C
H
D·
E
B
3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，
则CG+GH+DH最短
最短路线：A P Q B
N
A/
P
Q
B/
A
M
B
l
证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接…
∵点F,点C关于直线OA对称，点G.M在OA上， ∴GF=GC,FM=CM,
同理HD=HE，ND=NE,
∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,
CG+GH+HD=FG+GH+HE,
A
在四边形EF N
∵FG+GH+HE＞FE（两点之间，线段最短），
即CG+GH+HD＞CM+MN+ND
D·
E
即CM+MN+ND最短
B
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在 河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B 的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行 的直线，桥要与河垂直。）
D
B
C
E
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
分别作点A关于OM，ON的对称 点A′，A″；连接A′，A″，分别交 OM，ON于点B、点C，则点B、 点C即为所求
3.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)， AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请 你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
AC′+BC′
= AC′+B′C′．
在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
A
·
C′ C
B
·
l B′
探索新知
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
A
·
C′ C
B
·
l
B′
练习
问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，
向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方， 才能使从A、B到它的距离之和最短．
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在 一条直线上时，三角形的周长最小
A/N/+N/B>A/B 所以，AM/+N/B＞AM+NB, 所以，AM/+N/B+M/N/> AM+NB+MN.
a
M′
A
b
M
A′
N′
N
B
如图所示，从A地到B地有三条路 可供选择，你会选走哪条路最近？ 你的理由是什么？
C ①D E
A
②
B
两点之间,线段最短
③
F
Ⅰ 两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两侧，在 L上求一点P，使得PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
P
为什么这样做就能得到最短距离呢？
探索新知
现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l 上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当 点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．
B A
C
l
探索新知
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点， 当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
作法：1.作点C关于直线
OA 的 对称点点D, 2. 作点C关于直线 OB
AG
的对称点点E,
3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N，
则CM+MN+CN最短
D MO
H
Ｃ .
N
.E
B
如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马
厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边
饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
A
·
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
C
B
·
l
于点C．
则点C 即为所求．
B′
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
应用
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两 镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气 管线最短？
所以泵站建在点P可使输气管线最短
P
探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛 名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求 教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
B A
l
探索新知
这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
·B A·
l
你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽 象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
a
A
M
b
N
B
你能证明一下如果在不同于MN的位置造桥 M/N/，距离是怎样的，能证明我们的做法 AM+MN+NB的和是最短距离吗？试一下。
A A′
M N
a b
B
证明:取不同于,M，N的另外两点M/，N/ 由于M/N/=MN=AA/； 由平移的性质可知：AM=A/N,AM/=A/N/ 又根据“两点之间，线段最短”可知
最短路线。
F
作法：1.作点C关于直线 A OA 的 对称点点F,
2. 作点D关于直线 OB 的对称点点E,
G
O
·C
H
D·
E
B
3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，
则CG+GH+DH最短
最短路线：A P Q B
N
A/
P
Q
B/
A
M
B
l
证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接…
∵点F,点C关于直线OA对称，点G.M在OA上， ∴GF=GC,FM=CM,
同理HD=HE，ND=NE,
∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,
CG+GH+HD=FG+GH+HE,
A
在四边形EF N
∵FG+GH+HE＞FE（两点之间，线段最短），
即CG+GH+HD＞CM+MN+ND
D·
E
即CM+MN+ND最短
B
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在 河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B 的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行 的直线，桥要与河垂直。）
D
B
C
E
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
分别作点A关于OM，ON的对称 点A′，A″；连接A′，A″，分别交 OM，ON于点B、点C，则点B、 点C即为所求
3.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)， AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请 你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
AC′+BC′
= AC′+B′C′．
在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
A
·
C′ C
B
·
l B′
探索新知
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
A
·
C′ C
B
·
l
B′
练习
问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，
向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方， 才能使从A、B到它的距离之和最短．
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在 一条直线上时，三角形的周长最小
A/N/+N/B>A/B 所以，AM/+N/B＞AM+NB, 所以，AM/+N/B+M/N/> AM+NB+MN.
a
M′
A
b
M
A′
N′
N
B