最短路径问题 PPT
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同理HD=HE，ND=NE,
∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,
CG+GH+HD=FG+GH+HE,
A
在四边形EFGH中，
F M
·C
GO
H N
∵FG+GH+HE＞FE（两点之间，线段最短），
即CG+GH+HD＞CM+MN+ND
D·
E
即CM+MN+ND最短
B
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在 河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B 的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行 的直线，桥要与河垂直。）
作法：1.作点C关于直线
OA 的 对称点点D, 2. 作点C关于直线 OB
AG
的对称点点E,
3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N，
则CM+MN+CN最短
D MO
H
Ｃ .
N
.E
B
如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马
厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边
饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的
最短路径问题
如图所示，从A地到B地有三条路 可供选择，你会选走哪条路最近？ 你的理由是什么？
C ①D E
A
②
Fra Baidu bibliotek
B
两点之间,线段最短
③
F
Ⅰ 两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两侧，在 L上求一点P，使得PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
P
为什么这样做就能得到最短距离呢？
应用
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两 镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气 管线最短？
所以泵站建在点P可使输气管线最短
P
探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛 名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求 教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
AC′+BC′
= AC′+B′C′．
在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
A
·
C′ C
B
·
l B′
探索新知
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
B A
l
探索新知
这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
·B A·
l
你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽 象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
A
·
C′ C
B
·
l
B′
练习
问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，
向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方， 才能使从A、B到它的距离之和最短．
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在 一条直线上时，三角形的周长最小
A/N/+N/B>A/B 所以，AM/+N/B＞AM+NB, 所以，AM/+N/B+M/N/> AM+NB+MN.
a
M′
A
b
M
A′
N′
N
B
最短路线。
F
作法：1.作点C关于直线 A OA 的 对称点点F,
2. 作点D关于直线 OB 的对称点点E,
G
O
·C
H
D·
E
B
3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，
则CG+GH+DH最短
最短路线：A P Q B
N
A/
P
Q
B/
A
M
B
l
证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接…
∵点F,点C关于直线OA对称，点G.M在OA上， ∴GF=GC,FM=CM,
探索新知
现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l 上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当 点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．
B A
C
l
探索新知
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点， 当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
D
B
C
E
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
分别作点A关于OM，ON的对称 点A′，A″；连接A′，A″，分别交 OM，ON于点B、点C，则点B、 点C即为所求
3.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)， AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请 你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
a
A
M
b
N
B
你能证明一下如果在不同于MN的位置造桥 M/N/，距离是怎样的，能证明我们的做法 AM+MN+NB的和是最短距离吗？试一下。
A A′
M N
a b
B
证明:取不同于,M，N的另外两点M/，N/ 由于M/N/=MN=AA/； 由平移的性质可知：AM=A/N,AM/=A/N/ 又根据“两点之间，线段最短”可知
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
A
·
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
C
B
·
l
于点C．
则点C 即为所求．
B′
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,
CG+GH+HD=FG+GH+HE,
A
在四边形EFGH中，
F M
·C
GO
H N
∵FG+GH+HE＞FE（两点之间，线段最短），
即CG+GH+HD＞CM+MN+ND
D·
E
即CM+MN+ND最短
B
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在 河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B 的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行 的直线，桥要与河垂直。）
作法：1.作点C关于直线
OA 的 对称点点D, 2. 作点C关于直线 OB
AG
的对称点点E,
3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N，
则CM+MN+CN最短
D MO
H
Ｃ .
N
.E
B
如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马
厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边
饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的
最短路径问题
如图所示，从A地到B地有三条路 可供选择，你会选走哪条路最近？ 你的理由是什么？
C ①D E
A
②
Fra Baidu bibliotek
B
两点之间,线段最短
③
F
Ⅰ 两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两侧，在 L上求一点P，使得PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
P
为什么这样做就能得到最短距离呢？
应用
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两 镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气 管线最短？
所以泵站建在点P可使输气管线最短
P
探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛 名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求 教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
AC′+BC′
= AC′+B′C′．
在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
A
·
C′ C
B
·
l B′
探索新知
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
B A
l
探索新知
这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
·B A·
l
你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽 象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
A
·
C′ C
B
·
l
B′
练习
问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，
向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方， 才能使从A、B到它的距离之和最短．
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在 一条直线上时，三角形的周长最小
A/N/+N/B>A/B 所以，AM/+N/B＞AM+NB, 所以，AM/+N/B+M/N/> AM+NB+MN.
a
M′
A
b
M
A′
N′
N
B
最短路线。
F
作法：1.作点C关于直线 A OA 的 对称点点F,
2. 作点D关于直线 OB 的对称点点E,
G
O
·C
H
D·
E
B
3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，
则CG+GH+DH最短
最短路线：A P Q B
N
A/
P
Q
B/
A
M
B
l
证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接…
∵点F,点C关于直线OA对称，点G.M在OA上， ∴GF=GC,FM=CM,
探索新知
现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l 上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当 点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．
B A
C
l
探索新知
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点， 当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
D
B
C
E
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
分别作点A关于OM，ON的对称 点A′，A″；连接A′，A″，分别交 OM，ON于点B、点C，则点B、 点C即为所求
3.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)， AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请 你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
a
A
M
b
N
B
你能证明一下如果在不同于MN的位置造桥 M/N/，距离是怎样的，能证明我们的做法 AM+MN+NB的和是最短距离吗？试一下。
A A′
M N
a b
B
证明:取不同于,M，N的另外两点M/，N/ 由于M/N/=MN=AA/； 由平移的性质可知：AM=A/N,AM/=A/N/ 又根据“两点之间，线段最短”可知
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
A
·
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
C
B
·
l
于点C．
则点C 即为所求．
B′
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．